专题14 二次函数综合（七大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题14 二次函数综合（七大题型，35题） 目录 题型一：线段周长问题 1 题型二：面积问题 3 题型三：角度问题 5 题型四：特殊三角形问题 7 题型五：特殊四边形问题 9 题型六：相似三角形问题 11 题型七：其他问题 14 一、题型一：线段周长问题 1．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 2．（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 5．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 二、题型二：面积问题 6．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 7．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 8．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 10．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 三、题型三：角度问题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 12．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 13．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 14．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 15．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 四、题型四：特殊三角形问题 16．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 17．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 18．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 19．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 20．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 五、题型五：特殊四边形问题 21．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 22．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 23．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 24．（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 25．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 六、题型六：相似三角形问题 26．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 27．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 28．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 29．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 30．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 七、题型七：其他问题 31．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 32．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 33．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，设该抛物线与轴的另一个交点为点A，顶点为点，连接交轴于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)求的面积： (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 34．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 35．（2024·上海杨浦·三模）已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点与点重合时，求平移的距离； (3)连接，如果与互补，求点的坐标． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题14 二次函数综合（七大题型，35题） 目录 题型一：线段周长问题 1 题型二：面积问题 12 题型三：角度问题 29 题型四：特殊三角形问题 45 题型五：特殊四边形问题 58 题型六：相似三角形问题 72 题型七：其他问题 86 一、题型一：线段周长问题 1．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 2．（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式； （2）令，确定，设点，，则)，根据题意得出一元二次方程求解即可； （3）由（2）得：，确定，利用待定系数法确定直线的解析式分别为：，，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线，得 将点代入抛物线，得 ∴抛物线的解析式为：； ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：令得， ∴或 ∴， 设点，，则)，如图所示：    ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）由（2）得：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式分别为：，， 将点代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式分别为：，，    ∴直线与y轴的交点分别为， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F到直线的距离相等，且点F在y轴上， ∴点F为的角平分线及高线，即直线与y轴的交点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：； （2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为， 点关于对称后的点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于成中心对称， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线：与：交于A、B， ∴令， 解得：或， 则A、B两点横坐标分别为和， 设，，其中， 则， ∴当时，最大为8． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值． 4．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 5．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 二、题型二：面积问题 6．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，平移后的顶点为，． ⅰ．如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求的取值范围； ⅱ．点在原抛物线上，新抛物线交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)ⅰ．；ⅱ． 【分析】（1）根据点A，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线，开口向上，由二次函数的性质可得出答案； ．，证出，由等腰三角形的性质求出，由直角三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：．， 抛物线的顶点坐标为， 即点是原抛物线的顶点， 平移后的抛物线顶点为， 抛物线向右平移了个单位， ， ， ， 即平移后的抛物线的对称轴为直线， 在的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为轴，开口向上， ； ．把代入， ， ， 由题意得，新抛物线的解析式为， ， ， ，， ， ， 如图，过点作轴于，则， ，， ，， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 10．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； （2）解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 三、题型三：角度问题 11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点． 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 12．（22-23九年级上·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如果点的坐标为，连接、，求的正切值； (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0，求得C点坐标； （2）过D作延长线的垂线，通过证明求出和的长度，再求出正切值； （3）设，通过可求出参数t，从而得出P点坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 解得：， ∴抛物线为， 令，得， 故． （2）解：过作交延长线于， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，由勾股定理得，， ∴， ∴，，， ∴． （3）解：设，连接、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或舍去，经检验符合题意； ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 13．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 14．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可． （2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且， ∴， 解得， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作于点，交右侧的的延长线于点， ∵， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴ ∴， 设的解析式为，的解析式为 ∴， 解得 ∴的解析式为，的解析式为， ∴， 解得， 故； （3）∵，点, 设抛物线向左平移了个单位，则点， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，直线的表达式为：， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键． 15．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且与y轴相交于点C． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D为轴正半轴上一点，联结，如果，求点D的坐标； (3)设点P在y轴上，且位于点C下方的一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，先求出，，进而得到，，，再根据根据定理建立方程求解即可； （3）如图所示，过点A作轴于D，则，进而求出，再证明，即可证明，得到，由勾股定理求出，，则，则． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：设， 由（1）得 在中，当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴；    （3）解：如图所示，过点A作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 四、题型四：特殊三角形问题 16．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 17．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 18．（2024·上海静安·三模）已知直角坐标平面中，为原点，抛物线经过点、，点为抛物线顶点． (1)当时，求抛物线解析式及顶点坐标． (2)若点在直线上，且，求抛物线的解析式． (3)联结交于点，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）求出点，得到，则，则，求出，求出a、b的值，即可得到答案； （3）分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解；当时，抛物线经过点、，把、代入得， 解得 ∴， ∵ ∴顶点 （2）∵抛物线经过点、，点为抛物线顶点． ∴， 把代入得到， 把代入中 得到 即， ， ， ∴，   （3）由题意可知， 仅有和两种情况， 由（2）可知，， 设直线的解析式为，把代入得到，， ∴， ∴， 当时，，解得， ①时，，      ，， （负舍） ②， ，， （负舍） 综上所述，或 19．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 20．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则点在上，点D′代入的解析式，即可求解； （3）分情况讨论：当时，列出方程，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， ∴， 作点D关于直线的对称点，交于点T，    ∵平分， ∴由轴对称的性质可得：， 过点D作x轴的平行线交于点H，连接， ∵，， ∴， 则， 则为等腰直角三角形， 由轴对称的性质可得：为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形，则点在上， 设点， 当，则， ∴， ∴， ∴点， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点，而， ∴，， ， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键． 五、题型五：特殊四边形问题 21．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质， （1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可； （2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题； （3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为， 当，代入，得， ， 抛物线表达式为， 抛物线的“轮换抛物线”为表达式为； （2）解：抛物线：， 当时，，即与y轴交点为， 抛物线：的“轮换抛物线”为， 抛物线表达式为， 同理抛物线与y轴交点为， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的对称轴与直线交点， 点在点的上方， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ，即， 解得：， ； （3）解：由（2）知 ：，：，，，，， 点在抛物线上， 即， 如图， 点关于对称， ， 又平行于y轴， ， ， 和相似， 有两种可能： 情形1：， ， ，， ， 解得：（符合题意）； 情形2：， ， ，， ， 解得：（符合题意）或（符合题意）， 综上，当与相似时，的值为或或． 22．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 23．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点作于点，则，得到，即可求解； （3）由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和，列出方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则，即点， 由一次函数的表达式知，，即点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：或，即点， 过点作于点， 由点、的坐标知，，， 则，     ∴， 则； （3）解：设点且，点， 由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和得： ， 解得：， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点问题、一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 24．（2023·上海浦东新·二模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． (1)求抛物线的表达式； (2)如果抛物线的对称轴与直线交于点D，求的值； (3)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上．当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）连接，求出，再求出直线的表达式为：，根据抛物线的对称轴为直线，求出，根据两点之间的距离公式得出，即，最后根据求解即可． （3）求出，设点，点，求出中点坐标：，中点坐标：，根据平行四边形对角线互相平分得出，求出，得出点Q的坐标，即可得出平移后的表达式． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的表达式为：； （2）解：连接， 把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴把代入得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， ∵，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵平移后的抛物线顶点Q在原抛物线上， ∴设点， ∵点E在y轴上， ∴设点， ∵， ∴中点坐标：，中点坐标：， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：． ∴， ∴平移后的函数表达式为：， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的特征，解直角三角形的方法． 25．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过点和． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形的面积为24时，求点的坐标； (3)在直线是否存在一点，使得与相似，如存在求出点坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2)或 (3)在直线存在一点， 【分析】（1）可设抛物线解析式为，将A、B两点的坐标代入求出a，k的值即可，进而可写出顶点坐标； （2）可设E点的坐标为，由的面积为24，可知的面积为12，列方程求出m即可得E点坐标； （3）由于是直角三角形，要使与相似，则也为直角三角形，因此直线与直线垂直，可先求出直线的解析式，再写出直线的解析式，然后联立两条直线的解析式求出交点坐标即为P点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式， 把和代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即， 顶点坐标为； （2）解：设E点的坐标为， ∵， ∴， 即， ， ∵点在第四象限， ∴得， 化简得， 解得， ∴E点的坐标为 或； （3）解：在直线存在一点，理由如下： ∵与相似，且是直角三角形， ∴也是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合运用，题目综合性较强有一定难度，熟练掌握求二次函数的解析式以及平行四边形的性质，相似三角的性质是解答此题的关键． 六、题型六：相似三角形问题 26．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 27．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 28．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 29．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，，， (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）证明，则直线的表达式为，即可求解； （）当与相似时，证明，得到，则  ，即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）由题意得: ，解得： ， 当时，，则， （2）由（）得： ∴抛物线解析式为，    由点、的坐标知，轴， 由点、的坐标知，， 则直线的表达式为： ， 联立得：，解得：（舍去）或， ∴时，， 则点； （3）由点、的坐标得直线的表达式为：， 故设点， 由点、、、的坐标得，，，， 当与 相似时， ∵，， 则 ， ∴， 则 ， 即， 即， 解得：， 则点， 则抛物线的表达式为：． 30．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点． (1)求m的值和点E的坐标； (2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①连接、，如果，求点M的坐标； ②点是抛物线上一点，连接，当直线垂直平分时，求点的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①点 ，，②点， 【分析】（1）把代入，求出，求出抛物线的对称轴，在用待定系数法求出直线的解析式，可得点的坐标． （2）①设，证明，得到，利用勾股定理得出，，的长，列方程求，可求的坐标． ②连接，求出，的纵坐标为，在代入二次函数解析式求横坐标． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ， 解得， ，抛物线的解析式为， ， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）①如图，设，    ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， （不合题意舍去），． 点的坐标为，； ②连接．    ，， ， ， 直线垂直平分， ，， ． ∵点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ，不合题意舍去．． 所以点的坐标为，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用． 七、题型七：其他问题 31．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 32．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据题意，可设该抛物线解析为，将点代入并求得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，连接，设，易得，再根据垂径定理以及勾股定理可得求解即可； （3）设，则，由，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可设该抛物线解析为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析为； （2）如下图，过点作轴于点，连接， 设，则有， ∵， ∴， ∵以为圆心，为半径画圆交轴于，两点， ∴， ∵轴， ∴， ∴； （3）如下图， 由（2）可知，， ∵，， ∴，， 设，则， 若， 则有，即， 解得（舍去），， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，结合题意正确作出图形，并熟练运用相关知识是解题关键． 33．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，设该抛物线与轴的另一个交点为点A，顶点为点，连接交轴于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)求的面积： (3)如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】（1），令，则，令，则，求出则点、的坐标，将点、坐标代入抛物线，即可求解； （2）先用待定系数法求出直线解析式，从而求点，根据求解即可； （3）分点在轴负半轴和在轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由 ，令，则，令，则， ∴点、的坐标分别为、， 把分别代入，得， 把，代入抛物线得：，解得：， 故抛物线的表达式为：， ∵ ∴抛物线顶点； （2）解：连接， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：过点D作轴于G， ∵点A、、、、的坐标分别为、、、、， 则，，，，，， ， ∵，， ∴， 则， ①当点在轴负半轴时， 过点作交的延长线于点， 则， 设：，则， ， ， 即：，解得：， ， 故点； ②当点在轴正半轴时， 同理可得：点； 故：点坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质，解直角三角形，图形与坐标，三角形的面积，勾股定理，此题属二次函数综合题目，其中（3）小问，确定，是本题的突破口． 34．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 35．（2024·上海杨浦·三模）已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点与点重合时，求平移的距离； (3)连接，如果与互补，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点、代入抛物线：上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到， ，最后由得，即可得解； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解． 【详解】（1）解：∵点和点在抛物线：上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线：，， ∴对称轴为，顶点， 把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为， ∴，， 对于抛物线：， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，，，对称轴为， ∴，，，，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵抛物线：与轴交于点和点， 当时，得， 解得：或， ∴， ∴， ∴， ∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为， ∴， ∵对称轴与轴平行，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵与互补，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$