专题13 实际问题与二次函数（八大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题13 实际问题与二次函数（八大题型，40题） 目录 题型一：图形问题 1 题型二：图形运动问题 3 题型三：拱桥问题 4 题型四：销售问题 6 题型五：投球问题 7 题型六：喷水问题 9 题型七：增长率问题 11 题型八：其他问题 11 一、题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知菱形的周长为，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不必写出定义域） 2．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 3．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A． (1)如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； (2)连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 4．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，是斜边上的中线，点是射线上的一点，以为斜边向左侧作等腰直角，连接．    (1)当点在线段上（点与点、点不重合），求证：； (2)在（1）的条件下，设，的面积为y，求y关于的函数关系式及其定义域； (3)探究：当点在射线上运动时，是否可以成为等腰三角形？若可以，求出的长度；若不可以，请说明理由． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 (1)求面积的最小值； (2)设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)当为等腰三角形时，求的周长． 二、题型二：图形运动问题 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 7．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，，点E是边上一动点，连接，过C作，截取，连接． (1)在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； (2)①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 8．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，线段长为10，点P自点A开始在上向点B移动，并分别以为边作等边和等边．设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域． 9．（2023·上海·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．    (1)当点B为的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)过点B作交于F，当和相似时，求的长． 10．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点都不重合），是射线上一点，且，设两点的距离为，的面积为． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，求的面积． 三、题型三：拱桥问题 11．（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 12．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 13．（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 14．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 15．（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 四、题型四：销售问题 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 17．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 18．（2023·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 19．（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系．当每件玩具售价为12元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为14元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式(其中，且x为整数)； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 20．（2024·广东珠海·模拟预测）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 五、题型五：投球问题 21．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 22．（2023·上海青浦·一模）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 23．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 24．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 25．（22-23九年级上·上海·单元测试）某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是米，如果运动员在距篮下距离为米起跳，求的值． 六、题型六：喷水问题 26．（22-23九年级上·广东东莞·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ． 27．（2023·上海杨浦·一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米． 28．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 29．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 30．（2023·河南洛阳·一模）图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足二次函数关系，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．    (1)求y关于x的函数关系式； (2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树． 七、题型七：增长率问题 31．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 34．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 35．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 八、题型八：其他问题 36．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 37．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 38．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表： 时间t/秒 0                     1      ．． 行驶的距离s/米 0                     10      假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系． （1）其函数表达式为 ； （2）刹车后汽车行驶了 米才停止． 39．（23-24九年级下·上海浦东新·阶段练习） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 40．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）为装饰墙面，在墙面上的点，处分别钉一颗钉子，在、之间悬挂一条近似抛物线的彩带．，以水平地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为． (1)求的长； (2)现要在抛物线上的点处粘贴一个气球（不改变抛物线的形状），已知点到的距离为，求点到水平地面的距离． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题13 实际问题与二次函数（八大题型，40题） 目录 题型一：图形问题 1 题型二：图形运动问题 12 题型三：拱桥问题 24 题型四：销售问题 29 题型五：投球问题 34 题型六：喷水问题 39 题型七：增长率问题 44 题型八：其他问题 47 一、题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知菱形的周长为，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不必写出定义域） 【答案】 【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．正切等于对边比邻边，菱形的四边长度相等． 根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出，再由勾股定理得出的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，是边上的高， ∵菱形的周长为， ∴， ∵的正切值为2， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴ 解得：， 菱形面积为， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1) (2)有可能与相似，的长为或 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分别求出三角形高，底边长即可求解； （2）假设三角形相似，根据相似三角形的性质，分别求出对应的的长； （3）构造直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴是等腰三角形，如图所示，过点作于， ∴，在中，， ∴， ∴的面积为． （2）解：如图所示， 过点作于， ∵， ∴，且， 假设与相似，设， ①当时，， ∴，则， ∴，即，解得； ②当时，， ∴， ∴，即，解得． 综上所述，的长为或． （3）解：如图所示，过点作于， 由（2）可知，，，且， ∴， ∴，且， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴中，， ∴， ∴， 故与的函数解析式，函数的定义域． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键． 3．（2023·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A． (1)如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； (2)连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 【答案】(1)①顶点；点；②点； (2)． 【分析】（1）①把代入求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B（3，m）代入求出m的值即可得点B坐标；②先求出的解析式，根据，列出等式即可求点D的坐标． （2）过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N，构建直角三角形，从而得到，，即可建立等式求出k的值． 【详解】（1）解：如图1，① 把代入， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为 ∴顶点 把代入，得， ∴点， ②∵， 可得直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， 解得 ∴点． （2）解：如图2，过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N， 由题意可得，点， ∵， ∴， 由题意可得， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数、角的和差等综合内容，准确理解题干信息并正确作图是解题的关键． 4．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，是斜边上的中线，点是射线上的一点，以为斜边向左侧作等腰直角，连接．    (1)当点在线段上（点与点、点不重合），求证：； (2)在（1）的条件下，设，的面积为y，求y关于的函数关系式及其定义域； (3)探究：当点在射线上运动时，是否可以成为等腰三角形？若可以，求出的长度；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或4或 【分析】（1）证明，则有，即可证明； （2）在中，由勾股定理得：，化简即可； （3）分当点在线段上，在线段上时，在线段的延长线上时分别讨论，紧扣，即可解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 化简得， ， （3）可以，当点在线段上时，则有， 设，则， 由（1）知， ， ， ， ， 当点在线段上时，则有， 则点与点重合时满足条件，此时， 当在线段的延长线上时，且，如图，    同理可得， ， 设，则， 解得， ， 综上所述：的长为或4或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，勾股定理等知识，证明出是解题的关键． 5．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 (1)求面积的最小值； (2)设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】(1)2 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾 股定理以及二次函数的性质应用等知识 ： （1）根据证明根据，得四边形的面积的面积，当的面积最大时，的面积最小，由已知，则，求得，求出的面积最大值为2，则可得的面积最小值； （2）由（1）可得，，在中，，进一步求出四边形的周长为； （3）分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴， 又是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴四边形的面积的面积， 当的面积最大时，的面积最小， ，则， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为2， ∴的面积最小值，为； （2）解：由（1）知， ∴ 在中， ∴ ∴四边形的周长为 ； M是边上一动点（不与B，C重合），且 ∴， ∴； （3）解：为等腰三角形，没有明确说明哪条边是腰，所以分三种情况， 当时，与重合， ∴的周长； 当时， ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴的周长； 当时，过点M作，如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴的周长, 综上，的周长为或或． 二、题型二：图形运动问题 6．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，．四边形是的内接矩形，，设为，矩形面积为． (1)写出关于的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，过点A作，垂足为H，由，求出，根据，证明，用x表示，根据，证明，用x表示，根据矩形的面积公式即可得出结果； （2）连接，利用勾股定理求出，当时，证明，得到，根据四边形是矩形，推出，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为H， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， 当时，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（2024·上海·模拟预测）如图，在中，，，点E是边上一动点，连接，过C作，截取，连接． (1)在点E运动过程中，不变的角为_______，度数为________； (2)①设，为S，求S关于x的函数解析式及其定义域，并求出S的最大值 ； ②求点D运动路径长 ； ③设点D到线段距离为y，求y关于x的函数解析式及其与x轴夹角的正切值． 【答案】(1)， (2)①，，S的最大值为8；②；③， 【分析】（1）证明，则，，由，可知在点E运动过程中，不变，由，点E运动过程中，变化，可知变化，则变化； （2）①由题意知，，如图1，作于，则，当时，，由勾股定理得，，则，即；当时，同理求解即可；进而可得，， 然后求最值即可；②由（1）知，在点E运动过程中，不变为，则在过点且垂直于的直线上运动，且点D运动路径长为；③如图2，延长交于点，过作的延长线于，则，由①②可知，，，则，，，则，即，可求直线与轴的交点分别为、，进而可得y关于x的函数解析式与x轴夹角的正切值为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即在点E运动过程中，不变， ∵，点E运动过程中，变化， ∴变化， ∴变化， 故答案为：，； （2）①解：∵，， ∴， 如图1，作于，            图1 ∴， 当时，， 由勾股定理得，， ∴，即； 当时，， 由勾股定理得，， 同理可得，， 综上所述，，， ∵， ∴当或时，取最大值为8； ②解：由（1）知，在点E运动过程中，不变为， ∴在过点且垂直于的直线上运动， ∵，点E运动路径长为， ∴点D运动路径长为； ③解：如图2，延长交于点，过作的延长线于，则，          图2 由①②可知，，， ∴， ∴，， ∴，即， 当时，， 当时，， ∴直线与轴的交点分别为、， ∴y关于x的函数解析式与x轴夹角的正切值为， ∴y关于x的函数解析式为，其与x轴夹角的正切值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，勾股定理，余弦，正切，一次函数解析式等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，二次函数的最值，勾股定理，余弦，正切，一次函数解析式是解题的关键． 8．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，线段长为10，点P自点A开始在上向点B移动，并分别以为边作等边和等边．设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域． 【答案】 【分析】作垂直于，垂足为点，根据等边三角形的性质得到，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】作垂直于，垂足为点． ∵是等边三角形，， ∴，得 ∴， ∵， ∴， 同理， ∴． 【点睛】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中已知等边三角形的边长会求面积是做题的关键． 9．（2023·上海·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．    (1)当点B为的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)过点B作交于F，当和相似时，求的长． 【答案】(1)； (2)y关于x的函数关系式，x的取值范围为； (3)的长为4或． 【分析】（1）利用勾股定理可求得的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得，进而得到，证明，然后根据相似三角形的性质，求得的长度，即可求出的长； （2）由，求得的长度，从而由求得y关于x的函数关系式，再写出x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论：①，利用相似三角形的性质，求得的长度，再证明，得到，即可求出的长度；②，利用相似三角形的性质，求得的长度，得到，进而证明，得到，设，由（2）可知，，列方程求解即可求出的长． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， ， 点B为的中点， ， ， ； （2）解：， ， 设，， ， ， ， y关于x的函数关系式，x的取值范围为； （3）解：①如图，若，则，    ， ， ，，，， ，， ， ， ， ； ②如图，若， 则，，    ，， ， ， ， 设，由（2）可知，， ， 化简得：， 解得：，（舍）， ， 综上可知，的长为4或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，求二次函数关系式，勾股定理等知识，正确运用相似三角形的判定与性质是解题关键，注意分类讨论． 10．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点都不重合），是射线上一点，且，设两点的距离为，的面积为． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或5 【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案； （2）由，得，进而可得出与的关系，作，垂足为点，由可得出，进而可得出与的关系式； （3）由，得，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的面积为， 整理，得， ∵点是上一点， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴定义域是； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当与相似时，只有两种情形：或， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， ∴，解得， ． 综上所述，当与相似时，的面积为或5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 三、题型三：拱桥问题 11．（21-22九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 12．（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 13．（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标，利用待定系数法求解即可． 【详解】设抛物线解析式为， 由图象可知，点的坐标为， 代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 14．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽为12米，如图建立直角坐标系．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中） 【答案】(1)； (2)米 【分析】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点，函数过点，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式； （2）水位上升，由此时对应水面纵坐标为1，代入函数表达式得到，可得，，即可得到答案． 【详解】（1）由题意可知函数关于轴对称，为其顶点，， ∴函数过点， 设抛物线解析式为， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）水位上升米，即此时对应水面纵坐标为1，令，可得，，     则水面宽度为（米）． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，拱桥问题转化为二次函数问题，一般可将抛物线解析式设为顶点式进行求解，根据题目要求将文字语言转化为数学语言即可解决问题． 15．（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 四、题型四：销售问题 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）当时，则，然后解一元二次方程即可求得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 17．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 18．（2023·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)13元 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，， 将，代入得， 解得， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意知，利润， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童玩具，进价为每件10元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系．当每件玩具售价为12元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为14元时，每周的销量为40件． (1)求y与x之间的函数关系式(其中，且x为整数)； (2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？ 【答案】(1)（其中，且x为整数） (2)当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）； （2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W， 由题意得 ，且，且x为整数， 当时，W取最大值，最大值为180， 即当每件玩具售价为13元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是180元． 20．（2024·广东珠海·模拟预测）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要A原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒产品的成本为30元 (2)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设原料单价为元，则原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元 （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； ∴， ， 抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 五、题型五：投球问题 21．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 22．（2023·上海青浦·一模）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 【答案】/ 【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离． 【详解】解：根据题意得： ∵， ∴， ∴， ∴铅球运动过程中最高点离地面的距离为米． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是正确记忆抛物线顶点坐标公式． 23．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【答案】(1)①见解析②3.6米；③擦网而过 (2)2.075 【分析】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式． （1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象； ②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式； ③当时求出y的值与3.05比较即可； （2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴y与x满足的函数解析式为； ③当时，， 又 而， ∴小石第一次投篮练习擦网而过； 故答案为：擦网而过； （2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为， ∵第二次篮球运行的抛物线经过， ∴， 解得， ∴米， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米． 故答案为：2.075． 24．（22-23九年级·上海·假期作业）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求： (1)出手点A离地面的高度； (2)最高点C离地面的高度； (3)该运动员的成绩是多少米？ 【答案】(1)米 (2)3米； (3)10米． 【分析】（1）根据解析式直接令求值即可； （2）将解析式化为顶点式，即可得到答案； （3）令，解方程即可 【详解】（1）解：令中，得， ∴出手点，即出手点离地面高度为米； （2）∵， ∴顶点， 可知最高点离地面高度为3米； （3）令，解得，， ∴， 由此可知该运动员成绩为10米． 【点睛】此题考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数各点表示的实际意义，可将实际问题转化为点坐标的求解． 25．（22-23九年级上·上海·单元测试）某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是米，如果运动员在距篮下距离为米起跳，求的值． 【答案】4米 【分析】在已知解析式中，求出时的值，根据图象，舍去不合题意的值，将求出的与2.5相加即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：，（舍去）， 米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 六、题型六：喷水问题 26．（22-23九年级上·广东东莞·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ． 【答案】 【分析】由题意令，得到的值即为水管的长． 【详解】解：在中， 令，得， 水管的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值． 27．（2023·上海杨浦·一模）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是，那么水珠达到的最大高度为 米． 【答案】6 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵ =， ∵ ∴抛物线开口向下，有最大值， 又 ∴时，y取最大值6， 即水珠的高度达到最大6米， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 28．（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 29．（2024·山东临沂·一模）消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） (1)求出水口在D点时抛物线的解析式: (2)若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ (3)若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【答案】(1) (2)水能够射进窗户 (3)正好能击中火苗，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可； （2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较； （3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点， 设解析式为，代入得：， 解得：. ∴解析式为：； （2）解：经过平移后抛物线的解析式为， 即为： 当时，， ∵， ∴水能够射进窗户； （3）由题意可得，抛物线的解析式为， 此时着火点的横坐标为40，当时，， 因此，正好能击中火苗． 30．（2023·河南洛阳·一模）图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足二次函数关系，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．    (1)求y关于x的函数关系式； (2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树． 【答案】(1) (2)因为，所以水珠能越过这棵树 【分析】（1）根据题意抛物线顶点坐标，再利用抛物线过，结合待定系数法求解可得； （2）代入求得的值后与比较大小后即可确定正确的结论． 【详解】（1）根据题意可得：抛物线顶点坐标，且过，过， 设抛物线解析式为， 解得 关于的函数关系式为． （2）设树的竖直高度为h，则， 得：， 当时，， 所以水珠能越过这棵树． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、解直角三角形、二次函数的图象与性质等知识点． 七、题型七：增长率问题 31．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 32．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 33．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，依题意得，． 【详解】解：由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式． 35．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 八、题型八：其他问题 36．（2024·山西·模拟预测）实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W． 【答案】220 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的的性质求出最大值即可． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点 ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴ 解得 ∴ ∵， ∴抛物线有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故答案为：220 37．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 【答案】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）某汽车在刹车后行驶的距离s（米）与时间t（秒）之间的部分数据如下表： 时间t/秒 0                     1      ．． 行驶的距离s/米 0                     10      假设这种变化规律一直延续到汽车停止，如果选择用二次函数表示s（米）与t（秒）之间的关系． （1）其函数表达式为 ； （2）刹车后汽车行驶了 米才停止． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质并能结合实际意义比较刹车时的平均速度的大小． （1）设出二次函数解析式，把3个点的坐标代入可得二次函数解析式，进而再把其余的点代入验证是否在二次函数上； （2）汽车在刹车时间最长时停止，利用公式法，结合（1）得到的函数解析式，求得相应的最值即可； 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 又由点可得：， 解得：； ∴二次函数的解析式为：； 经检验，其余各点均在上． （2）解：汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离， 当时，滑行距离最大，， 即刹车后汽车行驶了米才停止． 故答案为：；． 39．（23-24九年级下·上海浦东新·阶段练习） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 【答案】[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速： 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是求函数的解析式； [任务一]①根据材料二分析判定即可；②，将，代入可求，将，代入可求； [任务二]，代入与作比即可； [任务三]如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】解：[任务一]①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适； 故选：B． ②设，将，代入得：， 解得：， ∴， 设，将，代入得， 解得：， 故； [任务二]超速，理由： ， 当时， ∴超速； [任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ∴， 列式得， 解得， 故应限速． 40．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）为装饰墙面，在墙面上的点，处分别钉一颗钉子，在、之间悬挂一条近似抛物线的彩带．，以水平地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为． (1)求的长； (2)现要在抛物线上的点处粘贴一个气球（不改变抛物线的形状），已知点到的距离为，求点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2)点到水平地而的距离是 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，求函数值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键， （1）将抛物线解析式化为顶点式为．得抛物线的顶点坐标为，利用抛物线的对称性即可得解； （2）由点到的距离为．得点到的距离为，把代入解析式即可得解． 【详解】（1）解：抛物线解析式化为顶点式为． 抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，关于对称轴对称， ． （2）解：点到的距离为． 点到的距离为， 当时，． 点到水平地而的距离是． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$