专题12 二次函数y=ax²+bx+c的图象（八大题型，45题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

专题12 二次函数y=ax²+bx+c的图象（八大题型，45题） 目录 题型一：把y=ax²+bx+c化成顶点式 1 题型二：y=ax²+bx+c的图象与性质 3 题型三：二次函数图象与各项系数符号 4 题型四：根据二次函数的图象判断式子符号 6 题型五：y=ax²+bx+c的最值 7 题型六：待定系数法求二次函数解析式 9 题型七：二次函数图象的平移 11 题型八：求抛物线与x/y轴的交点坐标 13 一、题型一：把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知二次函数．    (1)用配方法将该二次函数化为的形式．并写出其图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)在直角坐标系中画出该函数的图像，并说明函数值随自变量的变化而变化的情况． x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线． (1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 5．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数 (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 二、题型二：y=ax²+bx+c的图象与性质 6．（2024·上海·模拟预测）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　） A．时间内甲、乙的位移大小不相等 B．时间内甲、乙的位移大小之比为 C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 7．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足 ，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足 ． 8．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为 ． 9．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 10．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 12．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 13．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 三、题型三：二次函数图象与各项系数符号 14．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 四、题型四：根据二次函数的图象判断式子符号 19．（2023·上海金山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴直线与x轴交于点D，若，那么下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2022·上海青浦·一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 21．（21-22九年级上·上海徐汇·期中）若二次函数的图像经过一、二、三象限，则下列结论正确的是（      ）． A． B． C． D．． 22．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______． 23．（2023·上海徐汇·一模）如图所示的抛物线的图像，那么的值是 ． 五、题型五：y=ax²+bx+c的最值 24．（2024·上海·模拟预测）对于整式，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q，例如，下列相关说法正确的个数是（　　） ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作Q的化简结果为（k为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为M，则M的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 25．（2022·上海杨浦·一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如上图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（    ） 水平距离/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 （第一次训练数据） A．23.20m B．22.75m C．21.40m D．23m 26．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为 27．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 28．（2023·上海徐汇·三模）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． (1)判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ①（    ），②（    ）； (2)求出“五好函数”的“五好距”； (3)已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间（含A，B两点），不论m取何值，不等式恒成立，若函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 六、题型六：待定系数法求二次函数解析式 29．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 30．（2024·上海·模拟预测）将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 31．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 32．（2024九年级上·上海·专题练习） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．    (1)当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分． 33．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 34．（23-24九年级下·上海松江·阶段练习）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为． (1)求B点坐标； (2)在轴上找一点E（E在B的左边），使得，求E点的坐标； (3)直线交轴于F点，若线段上存在一点P，使，请直接写出过点O，B，P的抛物线的解析式． 35．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 七、题型七：二次函数图象的平移 36．（2024·上海普陀·三模）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 37．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 38．（2024·上海·三模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为． (1)求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）： (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角的正切值为，求a的值． 39．（2024·上海奉贤·二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． (1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 40．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 八、题型八：求抛物线与x/y轴的交点坐标 41．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 42．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 43．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 44．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 3 … y 0 m n 0 … (1)该二次函数图像的对称轴是直线__________． (2)如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标． 45．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． (1)求m的值； (2)如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数y=ax²+bx+c的图象（八大题型，45题） 目录 题型一：把y=ax²+bx+c化成顶点式 1 题型二：y=ax²+bx+c的图象与性质 6 题型三：二次函数图象与各项系数符号 16 题型四：根据二次函数的图象判断式子符号 22 题型五：y=ax²+bx+c的最值 25 题型六：待定系数法求二次函数解析式 31 题型七：二次函数图象的平移 47 题型八：求抛物线与x/y轴的交点坐标 56 一、题型一：把y=ax²+bx+c化成顶点式 1．（2024九年级上·上海·专题练习）已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知二次函数．    (1)用配方法将该二次函数化为的形式．并写出其图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)在直角坐标系中画出该函数的图像，并说明函数值随自变量的变化而变化的情况． 【答案】(1)，该图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． (2)见详解． 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、图像特征及用描点法画二次函数的图像． （1）先用配方法将该二次函数化为的形式，根据a的符号可判断开口方向，二次函数的对称轴为，顶点坐标为． （2）用描点法画函数图像，取点时先取顶点，再以对称轴为轴取几对对称点，再描点即可． 熟练掌握二次函数图像的画法及二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】（1） 该图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． （2）列表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 如图，二次函数的图像如下图所示：    由图像可知，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小． 4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知抛物线． (1)用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）设平移后的抛物线解析式为，代入点，求得的值即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； （2）设平移后的抛物线解析式为， ∵新的抛物线经过点， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标是． 5．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数 (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)15 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）配方法配方即可，配方后即可求得对称轴与顶点坐标； （2）设对称轴交x轴于点E；令，可求得点A的坐标；令，可求得点C的坐标；由即可求解． 【详解】（1）解：配方得：， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：设对称轴交x轴于点E； 令，即， 解得：， 点A的坐标为，即， 令，得， ∴，即； ∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴ ． 二、题型二：y=ax²+bx+c的图象与性质 6．（2024·上海·模拟预测）甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a、b所示，图线a是直线，图线b是抛物线，时间内图线a、b与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为，下列说法正确的是（　　） A．时间内甲、乙的位移大小不相等 B．时间内甲、乙的位移大小之比为 C．时间内乙的平均速度大于甲的平均速度 D．时间内甲的加速度一直小于乙的加速度 【答案】B 【分析】本题考查了图象，解题的关键是知道图象与坐标轴围成的面积表示位移．根据数学知识计算时间内两质点的位移，即可得到位移之比；平均速度是位移与时间的比值，比较位移的的大小即可得到平均速度的大小， 图象切线的斜率表示加速度，据此求解即可． 【详解】解∶ 图象中，图线与时间轴围成的面积表示位移， 时间内图线a、b与横轴的面积相等，则甲、乙的位移大小相等，故选项A错误，不符合题意； 图线B是抛物线，根据抛物线的特点可知，设时间内甲、乙的位移为x，由几何关系得时间内甲的位移为，由抛物线的对称性可知乙的位移为，则甲、乙的位移大小之比为，故选项B正确，符合题意； 时间内a与坐标轴围成的面积大于b与坐标轴围成的面积，可知此时间段内甲的位移大于乙的位移，则甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项C错误，不符合题意； 图象中图线的斜率等于加速度，则根据图象可知时间段内乙的加速度是不断减小的，到施科乙的加速度为零，而甲的加速度一直固定不变，则时间段内甲的加速度大小一开始小于乙的加速度大小，之后甲的加速度大小大于乙的加速度大小，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 7．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线，当抛物线经过一，二，三象限时，需满足 ，当抛物线经过一，二，四象限时，需满足 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线，经过一，二，三象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即；由抛物线，经过一，二，四象限，可知抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即；求解作答即可． 【详解】解：∵抛物线，经过一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴左侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，三象限时，，，； ∵抛物线，经过一，二，四象限， ∴抛物线开口向上，即；对称轴在轴右侧，即；抛物线交轴正半轴，即； ∴当抛物线，经过一，二，四象限时，，，； 故答案为：，，；，，． 8．（2023·上海·模拟预测）已知点、在抛物线上，点，点在轴上，且位于点的上方，如果四边形是正方形，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，正确表示出点的坐标是解题的关键． 连接，利用正方形的性质得出与互相垂直平分，，设，即可得出，代入得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， 与互相垂直平分，， 轴， 设， 点， ， ∴， 点、在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：． 9．（2024·上海·模拟预测）若直线与抛物线与抛物线有三个不同交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键时利用数形结合的方法，画出图像，分析图像和性质才能得出结论，属于较难题型．在坐标系中画出抛物线与抛物线的图象，分情况找到临界位置的的值，进而确定的取值范围． 【详解】对于抛物线，当时，或， 对于抛物线，当时，或， 两条抛物线如下图： ∴，，， 当直线经过时，，得， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在下方时，只有两个交点不符合题意； 当直线与抛物线只有一个交点时， 即：方程只有一个解，即：方程只有一个解， ∴，解得：， 此时直线与抛物线与抛物线有两个交点，此时， 结合图象可知，当直线在上方时，最多只有两个交点不符合题意； 综上，当时，直线与抛物线与抛物线有三个不同交点， 故答案为：． 10．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 12．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 【答案】(1)，； (2)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点代入解析式， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得或， ∴； （2）解∶当时，， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向左平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位再向下平移得点， ∴向右平移个单位再向下平移也得点， ∵， ∴即； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线的对称轴，平行四边形的性质及平移的性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用平移的性质，分类确定点的位置是解题的关键． 13．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线． (1)当对称轴为直线时，请直接写出的值． (2)若，当时，抛物线与x正半轴交点，当时，抛物线与x轴正半轴为，若，判断m和n的大小，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的性质和代数式的运算， 结合题意可求得a的值，再结合系数即可求得代数式的值； 根据抛物线与x正半轴交点可将m和n用p和q表示，再将m和n作差，进行异分母的通分化简，结合，求得对应的各单项式的正负即可判断其关系． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，解得， 则； （2）解：∵当时，抛物线与x正半轴交点， ∴，则， 同理，， 则 ∵， ∴，，， 则， 那么，． 三、题型三：二次函数图象与各项系数符号 14．（2024·上海·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由图像可知，，对称轴为直线，，则，进而可判断①的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，由图像可知，，可得，进而可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可知的解，即为交点的横坐标，当时，，如图，可知，有两个不同的交点，即有两个不相等的实数根，进而可判断④的正误． 【详解】解：由图像可知，，， ∵其顶点坐标为， ∴对称轴为，， ∴，则， ∴，故①正确； 由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为， 由图像可知，， ∴，故②错误； ∵，， ∴为任意实数时，，故③正确； ∵， ∴的解，即为交点的横坐标， 当时，， ∵，图像向右下方倾斜，如图， ∴，有两个不同的交点， 即有两个不相等的实数根，故④正确； 故正确的有①③④，共3个， 故选：C． 15．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 16．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知、对称轴确定b的正负，即可判定①；根据抛物线可知，再结合①a、b的正负即可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值小于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键． 【详解】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为 ∴，，即，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，即，故②错误； 由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确； 根据抛物线与x轴有两个交点，可知； 综上，正确的有③④；共2个． 故选B． 17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论： ①； ②； ③； ④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知即可判定①、抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，可判定，则可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值大于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故①正确． ∵抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴， ∴，， ∴， ∴，故②错误， 当时，， 即，故③错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确， 综上①④正确， 故选：B． 18．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 四、题型四：根据二次函数的图象判断式子符号 19．（2023·上海金山·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴直线与x轴交于点D，若，那么下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知：当时，，选项错误，不符合题意； B、由图可知：， ∵， ∴， ∴点的横坐标大于， ∵时，随的增大而增大， ∴当时的函数值小于点的纵坐标0， 即：，选项错误，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为， ∴，即：， 由图可知，当时，， ∴，选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∵关于对称轴对称， ∴，即点的横坐标在和之间， ∵时，随的增大而减小， ∴当时的函数值小于点的纵坐标0， 即：，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 20．（2022·上海青浦·一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中的函数图像和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图像可得， A．该函数图像与轴交于正半轴， ∴，故此选项不符合题意； B．该函数图像开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴左侧， ∴， ∴，故此选项不符合题意； C．该函数图像与轴有两个交点， ∴，故此选项不符合题意； D．该函数图像与轴正半轴的交点坐标为， ∴当时，，即，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．（21-22九年级上·上海徐汇·期中）若二次函数的图像经过一、二、三象限，则下列结论正确的是（      ）． A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】二次函数的图像经过一、二、三象限,则此二次函数开口向上,与y轴交于(0,1),对称轴在y轴左侧,按此分析各选项即可; 【详解】解: 的图像经过一、二、三象限 ∴二次函数开口向上,即,故B错; 二次函数与x轴有两个交点,即,故A错; 对称轴在y轴左侧,即＜0,又可得,故C错; 当x=1时,y＞0,∴a-b+1＞0,即,故D对． 故答案为:D 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出系数间的关系是解题的关键． 22．（2023·上海长宁·一模）已知抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵抛物线在y轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 23．（2023·上海徐汇·一模）如图所示的抛物线的图像，那么的值是 ． 【答案】 【分析】把原点坐标代入抛物线解析计算即可求出b的值，再跟进抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后求解即可． 【详解】解：有图可知，抛物线经过原点（）， 将（）代入中得， ， 解得：， ∵抛物线的对称轴在轴的右边， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，准确识图判断出函数图像经过原点坐标是解题的关键． 五、题型五：y=ax²+bx+c的最值 24．（2024·上海·模拟预测）对于整式，在每个式子整体前添加“”或“”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q，例如，下列相关说法正确的个数是（　　） ①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②若有一种“和绝对”操作Q的化简结果为（k为常数），则或； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为M，则M的最大值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式的应用：根据，可以判断①；分别求出八种操作后的结果可得或，则，据此可判断②；根据所求的八种结果，分别求出对应的最小值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数，故①正确； ； ； ； ； ； ； ； ； 若有一种“和绝对”操作Q的化简结果为，则或， ∴， ∴，故②错误； 当或时，Q的最小值为0， 当或时，Q的最小值为0， 当时，Q的最小值为； 当时，Q的最小值为0； 综上所述，M的最大值为，故③正确； 故选：C． 25．（2022·上海杨浦·一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如上图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为（    ） 水平距离/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 （第一次训练数据） A．23.20m B．22.75m C．21.40m D．23m 【答案】A 【分析】找到表格中函数值相同的两个自变量的值，根据抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，进而确定函数的最大值即可． 【详解】解：由表格可知：当和时，函数的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为：， 由表格可知：抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，函数值最大：； 故选A． 【点睛】本题考查求二次函数的最值．通过抛物线的对称性，确定抛物线的对称轴，是解题的关键． 26．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识点，把代入二次函数得出，根据二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，得出，即有且只有一个根，推出，求出，，从而得出，最后由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵点是二次函数的“相反点”， ∴， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个“相反点”， ∴，即有且只有一个根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，， 解得：，， ∴当时，函数的最小值为，最大值为， 故答案为：． 27．（2024·上海·模拟预测）若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 28．（2023·上海徐汇·三模）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． (1)判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ①（    ），②（    ）； (2)求出“五好函数”的“五好距”； (3)已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间（含A，B两点），不论m取何值，不等式恒成立，若函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 【答案】(1)①；② (2)4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据与轴没有交点，结合“五好函数”的定义即可得解；②求出与轴有两个不同的交点，结合“五好函数”的定义即可得解； （2）当时，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再由计算即可得出答案； （3）先求出，令，结合题意求出，表示出，再结合二次函数的性质分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①与轴没有交点，故不是“五好函数”，故答案为：； ②当时，解得：或， ∴与轴有两个不同的交点，故是“五好函数”，故答案为：； （2）解：当时，，， ∴“五好距”为； （3）解：由题可得，当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 令， ∵， ∴关于的函数有最小值， ∵不论m取何值，不等式恒成立， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，此时当时，函数有最小值，为， ∴， 解得：； 当时， ∵该函数的对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数值去最小值，即最小值为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，b的值为或． 六、题型六：待定系数法求二次函数解析式 29．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了抛物线的性质，等边三角形的性质，三角函数值求特殊角度，设平移后的抛物线解析式为，由推出，得到是等边三角形，进而得到，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【详解】设平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，设抛物线与x轴正半轴交点为B， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 将代入，得， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为， 故答案为． 30．（2024·上海·模拟预测）将抛物线绕点O顺时针旋转后，得到的抛物线解析式为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出旋转后顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变是解本题的关键．根据题意将抛物线绕点O顺时针旋转后，顶点坐标横纵坐标变成原来的相反数，开口方向相反，开口大小不变，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点是，绕点O顺时针旋转后， ∴顶点坐标为，开口大小不变，开口方向相反，即， ∴旋转后的解析式为． 故答案为：． 31．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）配方得到，即得顶点； （2）过点B作轴于C，根据可求得点A的坐标，根据三角函数的定义可得，得到，得到的中点坐标，得到点O关于中点的中心对称点的坐标，代入抛物线的解析式求出b的值即可； （3）过点作于H，过H作轴于G，过点作于M，根据勾股定理和旋转的性质得：，证是等腰直角三角形，得到，证，得到，，根据，，得到，得到，代入，解得．即得． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点； （2）解：如图1，过点B作轴于C， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∴点O关于中点的中心对称点的坐标为， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得， ∴，， 故顶点； （3）解：如图2，过点作于H，过H作轴于G，过点作于M， 由（1）得：， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得． 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称性质，旋转性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键． 32．（2024九年级上·上海·专题练习） 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等； 如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数． 已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．抛物线上有一点，以点为顶点的抛物线经过点（点与点不重合），抛物线和形状相同，开口方向相反．    (1)当抛物线经过点时，求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴； (3)当时，设抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与轴的交点为，联结、、，求证：平分． 【答案】(1) (2)直线 (3)见解析 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的解析式，求出的值； （2）通过题意求出抛物线的解析式，假设点的坐标，代入抛物线求出的值，从而得到抛物线的对称轴； （3）过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，利用表示点、点的坐标，得到各边的数量关系，通过证明，得到平分． 【详解】（1）将点代入抛物线， 得，解得， 得抛物线得表达式为； （2）由抛物线和形状相同，开口方向相反，设抛物线得表达式为， 把代入抛物线，得， 则抛物线得表达式为， 由点在抛物线上，设点的坐标为， 由点是抛物线的顶点，得，解得， 得点的坐标为， 即抛物线的对称轴为直线； （3）由点是抛物线的顶点，得， 过点作轴，轴，垂足分别为点，，交轴于点，如下图所示，   ， ， 是等腰直角三角形， ， ，即， 设直线表达式为， 代入，，得， 直线表达式为， 把代入，得， 得点的坐标为， ， ，， ， ， 平分． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定等知识点． 33．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【答案】(1) (2) (3)R 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）在中，，，则，解得，在中，，故点的坐标为，进而求解． 【详解】（1）解：将，点，代入函数解析式得：， 解得：， 这个二次函数的表达式是； （2）解：过点作轴的平行线交过点与轴的平行线与点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 即， 解得（舍去）或4， 故； （3）解：过点作交的延长线于点， 由抛物线的表达式知，点，， 则， ，故， 故设，则， 在中，，， 则，解得， 在中，， 故点的坐标为， 由旋转的定义知，点是点、的中点， 则， 故点的坐标为． 【点睛】本题要考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形，解题的关键是正确的利用性质． 34．（23-24九年级下·上海松江·阶段练习）如图，直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为． (1)求B点坐标； (2)在轴上找一点E（E在B的左边），使得，求E点的坐标； (3)直线交轴于F点，若线段上存在一点P，使，请直接写出过点O，B，P的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，同底等积三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． （1）根据题意求出一次函数解析式，即可求出点坐标； （2）根据题意求出直线表达式，设直线与轴的交点为，求出的值即可得到，即可得到答案； （3）过点作于点，过点作于点，根据三角形相似的判定和性质求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， ， 与轴交于点， ， ， ； （2）解：与轴交于点， ， ， 设直线表达式为，与轴的交点为， ，解得， 故直线表达式为， 当时，， ， ， ， E在B的左边，设， ， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设过点O，B，P的抛物线的解析式为：， 将代入， 得，解得， ． 35．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 【答案】(1)， (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）作轴于点D，求出，，证明，得出，进而可求出，把代入，即可求出抛物线的解析式，令，，可得另一个交点的坐标为； （2）用勾股定理求出的长，用三角函数求出即可证明结论； （3）求出两个三角形的面积即可得结论． 【详解】（1）解：作轴于点D， ， 当时，， ， 当时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入， 得， 解得， ， 令，， ， 另一个交点的坐标为； （2）证明：在，， ， ， 在，， ， ， ， 平分； （3）解：. 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，综合运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 七、题型七：二次函数图象的平移 36．（2024·上海普陀·三模）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，掌握平移的规律是解题的关键．将条件中“沿着方向平移3个单位”转化为“向左平移个单位，再向上平移个单位”或者“向右平移个单位，再向下平移个单位”两种情况． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点沿着方向平移3个单位， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 故答案为：或． 37．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 38．（2024·上海·三模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为． (1)求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）： (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角的正切值为，求a的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴ ∴ ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴抛物线解析式为 ∴ （2）解：如图所示，过点作于点， 设向下平移个单位，平移后的抛物线为 ∵，锐角的正切值为， ∴，则，， 当时，， ∴① 将点代入 ② 联立①②得； 39．（2024·上海奉贤·二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为． (1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）； (2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值； (3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线开口向下， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，相似三角形的性质与判定； （1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解； （3）根据题意可得则，根据题意得出直线的解析式为，进而得出，由抛物线对称轴与轴交于点，得出，则，勾股定理可得，进而代入比例式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴ ∴ ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴抛物线解析式为 ∴ （2）解：如图所示，过点作于点， 设向下平移个单位，平移后的抛物线为 ∵，锐角的正切值为， ∴，则， ∴① 将点代入 ② 联立①②得 （3）解：如图所示 ∵ 当时， ∴ ∵， 设直线的解析式为 ∴ ∴ ∴直线的解析式为， 当时， ∴ ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴ ∴， 勾股定理可得， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：（正值舍去） ∴抛物线解析式为． 40．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，求得，由此得到答案． （2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为，根据已知条件，令，求出，得到答案． ②先利用已知条件，求出点，点，由此得到轴，过点，作轴于点，得到，又，设，，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 点，点在抛物线上， ， 解得：， 该抛物线的表达式为：． （2）①根据题意得： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的表达式为： ， 令， 解得：， ， ， 解得：； ②由①抛物线的表达式为： ， 其对称轴为， 则点， 当时，， 即点， 点、的纵坐标相同， 轴， 过点，作轴于点， 由的坐标，得到， 则， ， 设，， 在中， ， 解得：， 则点坐标为：． 八、题型八：求抛物线与x/y轴的交点坐标 41．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出的坐标，过点作轴于，平行线分线段成比例，求出点的横坐标为，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，所以，利用三角形面积公式得到的面积，接着根据二次函数的性质得到的面积有最大值为，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 当时，，解得，， ，， ， ， ， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ， 的面积的面积的面积， 的面积， 当时，的面积有最大值为， ， 解得． 42．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）将 代入求出b，进而求出抛物线的表达式，再化成顶点式可得D的坐标． （2）令，可求得B的坐标，令，求得C的坐标，再分别求出、、的长，由勾股定理逆定理可得，进而求出的值． 【详解】（1）解：将 代入中， ， 抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点D坐标为； （2）如图    令，即 ，或 令， ， ， ， ， ， ， ， ． 43．（2024·上海杨浦·一模）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)设该函数的图像与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标； (2)． 【分析】（）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标； （）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）根据题意画图， 令，则， ∴点，则， 令，则，解得，， ∴，， ∴， 由（）得：， ∴， ， ． 44．（23-24九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示： x … 0 1 3 … y 0 m n 0 … (1)该二次函数图像的对称轴是直线__________． (2)如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）先用待定系数法求出函数解析式，再求与y轴的交点坐标． 【详解】（1）∵和时，， ∴二次函数图像的对称轴是直线． 故答案为：； （2）设二次函数解析式为， 把，代入，得 ， ∴， ∴， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 45．（21-22九年级上·上海闵行·期中）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． (1)求m的值； (2)如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)（0，8）或（0，80） 【分析】（1）根据对称轴进行求m的值即可； （2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线的解析式，然后代入坐标（6，8）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：由（1）知，m=4， ∴此抛物线的表达式为y=x2+4x+3=（x+2）2-1． ∵向右平移n个单位后，所得抛物线的表达式为y=（x+2-n）2-1， ∵新的抛物线经过点（6，8）， ∴， ∴， 解得或， ∴新的抛物线解析为或， ∴令，解得或， ∴新的抛物线与y轴的交点为（0，8）或（0，80）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数对称轴公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$