专题10 二次函数的概念（基础全掌握，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题10 二次函数的概念（基础全掌握，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 5．若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 6．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 7．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 8．函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 9．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 10．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 11．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（    ） A．是完美方根数对； B．是完美方根数对； C．若是完美方根数对，则； D．若是完美方根数对，则点在抛物线上． 12．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 二、填空题 13．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 14．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 15．若是的二次函数，则 ． 16．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 17．当 时，是二次函数． 18．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ． 19．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 三、解答题 20．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 21．已知是二次函数，求a． 22．已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 23．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 24．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 25．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 26．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 27．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 28．已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 29．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 30．如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 6 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题10 二次函数的概念（基础全掌握，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数． 2．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】由题意得， ∴y是x的一次函数。      ， ∴z是x的二次函数． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键． 3．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故A选项符合题意； B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意； C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意； D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 4．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值 D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ，， 和是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，， ， 即， y与x满足一次函数关系， ，最大值为1， S与x满足二次函数关系，且S存在最大值． 故选：A． 5．若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：由于 是二次函数， 且， 且， ． 故选B． 6．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（    ）    A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 【答案】A 【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 则阴影部分的面积为， 即：，为一次函数， 故选：A． 7．下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 8．函数是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B．或 C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 9．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 10．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 11．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面四个结论不正确的是（    ） A．是完美方根数对； B．是完美方根数对； C．若是完美方根数对，则； D．若是完美方根数对，则点在抛物线上． 【答案】B 【分析】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．∵，，…，， ∴是完美方根数对，故该选项正确，不符合题意， B．∵， ∴不是完美方根数对，故该选项错误，符合题意， C．∵是完美方根数对， ∴， 解得：，， ∵为正整数， ∴，故该选项正确，不符合题意， D．∵是完美方根数对， ∴， ∴， ∴点在抛物线上，故该选项正确，不符合题意， 故选：B． 12．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 二、填空题 13．如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 14．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 15．若是的二次函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解，解题的关键是注意二次项的系数不能为0． 【详解】解：是关于的二次函数， ， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 16．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 17．当 时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交y轴于点B，当点从运动到时，点随之运动，点经过的路径长是 ． 【答案】/4.5/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q．证明，得出 ，设，则，设，代入整理得到，根据二次函数的性质以及，求出 y的最大与最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长交y轴于P点，则 轴．作，交的延长线与Q． 在和中， ， ， 设，则，设， ， ， 时，y有最大值4，此时 ． , y有最小值0，此时点B与点P重合， 综上所述，点B的运动路径的长为． 故答案为：． 19．如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为， 故答案为：． 三、解答题 20．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 21．已知是二次函数，求a． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，根据二次函数的定义得到，求解即可． 【详解】解：是二次函数， ， ， 或． 22．已知函数 (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)当为何值时，是的二次函数？ 【答案】(1)当时，是的一次函数； (2)当时，是的二次函数． 【分析】（）根据一次函数的定义即可求解； （）根据二次函数的定义解答即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数，掌握一次函数和二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴当时，是的一次函数； （2）解：由题意得，， ∴， ∴当时，是的二次函数． 23．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 24．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 25．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 26．已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 (3)该函数图像始终过定点 【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键． （1）用根的判别式即可解答． （2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可； （3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是原方程的两根， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 的值为1； （3）解：． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以， 解得， 当时，， 所以该函数图像始终过定点． 27．已知函数． (1)当函数是二次函数时，求的值： (2)当函数是一次函数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得，，，，， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得，，，， ∴． 28．已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 29．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 30．如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； （）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围； （）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解； 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：设与相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，线段的长度最短． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$