专题07 等边三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题07 等边三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 5 【考点三 等边三角形的判定】 10 【考点四 等边三角形的判定和性质】 12 【考点五 含30°的直角三角形】 17 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，D为等边三角形内的一点，，则 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）是等边三角形，是等腰直角三角形，且点D与点A在的同侧，连接，则的度数为 ． 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 【考点三 等边三角形的判定】 例题：如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【变式训练】 1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 2．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【考点四 等边三角形的判定和性质】 例题：如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点． (1)求证：； (2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形． 【变式训练】 1．如图，在等边中，点在内，，且，． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)判断线段，的数量关系，并说明理由． 2．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，求的长． 【考点五 含30°的直角三角形】 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在中，，为边上的中线， 则的长等于 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边的中点，若，则 ． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·山东德州·一模）如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 5．（23-24八年级上·天津·阶段练习）如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 7．（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）已知一个直角三角形斜边上的中线长为6，那么这个直角三角形的斜边长为 ． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，于点E，D为上一点，是正三角形． (1)求的度数； (2)若，求的长． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 13．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等边三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 5 【考点三 等边三角形的判定】 10 【考点四 等边三角形的判定和性质】 12 【考点五 含30°的直角三角形】 17 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，D为等边三角形内的一点，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，先等边三角形的性质证明，得出，再证明，则，即可作答． 【详解】解：连接， ∵三角形是等边三角形 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 利用“边角边”证明和全等，可得，根据“八字型”求出即可． 【详解】解：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）是等边三角形，是等腰直角三角形，且点D与点A在的同侧，连接，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分三种情况：当为斜边时；当为斜边时，当为斜边时，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 根据题意分三种情况： ①如图，当为斜边时，，， ∵，． ∴． ②如图，当为斜边时，，，， 则，． ∴． ∴． ③如图，当为斜边时，，， 则． ∵，，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：或或． 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   【答案】6 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得、两点关于直线对称，连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，求出即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，为高， ∴、两点关于直线对称， 连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为， ∵E为的中点， ∴，即为的高， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，含的直角三角形的性质等知识，熟练运用各个定理是解题的关键． 解法一：过点D分别作于点M，作于点N，连接，证明及可证明，在中，利用即可求出，再求出，即可求出结果； 解法二：过点D作，交于点G，证明即可证明，再根据中位线定理，求得，即可求得结果． 【详解】解法一：如解图①，过点D分别作于点M，作于点N，连接， ∵D是的中点， ∴是的平分线，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ，同理，， ， ，． 多解法 解法二：如解图②，过点D作，交于点G， 则，，． ， ， ∵， ∴是等边三角形， 又∵D是边的中点 ∴， ， ． ∵D是的中点，∴G是的中点， ， ，， 故答案为：1． 【考点三 等边三角形的判定】 例题：如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【变式训练】 1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 2．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形； （2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键． 【考点四 等边三角形的判定和性质】 例题：如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点． (1)求证：； (2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）根据已知条件证明即可得证； （2）证明，再证明可得，进而证明为等边三角形； 【详解】（1）证明：和均是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得， ， 由（1）得， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形． 【变式训练】 1．如图，在等边中，点在内，，且，． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)判断线段，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形； （2）证明，即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ． 又，， ， ， 是等边三角形． （2）解：． 理由：由（1）知是等边三角形， ， ． ， ． 在和中， ， ． 2．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题． （2）只要证明得到即可证明是等边三角形； （3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，进而利用勾股定理求出的长，则由等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． （3）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ， ， ∵，即，， ， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 【考点五 含30°的直角三角形】 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ． 【答案】12 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形角平分线定义可得，可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求得，再根据含有角的直角三角形的性质即可求得，进而得到线段的长度． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在中，，为边上的中线， 则的长等于 ． 【答案】4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边的中点，若，则 ． 【答案】3 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．在中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长． 【详解】解：在中，是边的中点，， ． 故答案为3． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点，， ∴． 故答案为：8 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此解答即可． 【详解】解：如图：连接， ∵公路的中点M， ∴， ∵， ∴， ∴M，C两点间的距离为． 故选B． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点，连接，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出的长． 【详解】解：分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了基本作图，三角形的外角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4．（2023·山东德州·一模）如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 【答案】A 【知识点】图形类规律探索、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：A 5．（23-24八年级上·天津·阶段练习）如图，点在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点，连接，．下列结论：①；②；③为等边三角形；④平分．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出；由，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形；由得到和面积相等，且，从而证得点B到的距离相等，利用角平分线判定定理得到点B在角平分线上． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，，， ∴，， 在和中， ∴，∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，∴②正确； 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，∴③正确； ∵， ∴，， ∴点B到的距离相等， ∴B点在的平分线上， 即平分；∴④正确； 综上，①②③④都正确； 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 【答案】70 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 7．（23-24八年级下·广西桂林·阶段练习）已知一个直角三角形斜边上的中线长为6，那么这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】12 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长为6， ∴这个直角三角形的斜边长为12， 故答案为：12． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：4． 10．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    【答案】②③④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质 【分析】当是的中点或者平分时，，故①错误；根据等边三角形的性质得，，则，可得，故，再判断，所以；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，故，故②正确；作于，于，由得到，即可证明，故，根据角平分线的判定定理即可得到平分，进而可以判断④正确． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴当是的中点或者平分时， ∴， 但题中的位置不确定， ∴和不一定相等， 故①错误； ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于，于，如图，    ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴平分， 故④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，于点E，D为上一点，是正三角形． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用相关性质求解是解题的关键． （1）设，则可得，根据，可得，再根据是正三角形，可得，列方程，可得答案； （2）计算的角度，可得为等腰三角形，即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 是正三角形， ， 设，则可得，， 可得， 解得， 故的度数为； （2）解：， ， ， ， 根据三角形内角和可得， ， ， ， ． 12．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2）解：连接，   则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 13．（23-24八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)，理由见解答过程 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， 点是边的中点， ， ． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，直接写出和之间满足的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可证得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）过点作于，于，设交于．由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）在上取一点，使得，连接，证明是等边三角形，同理（1）可证，，得出，由三角形面积关系可得出，则可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质的运用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， ． ． （2）证明：过点作于，于，设交于． ， ， ，， ，， ，， ， 平分； （3）解：，理由如下： 在上取一点，使得，连接， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证， ， 设，，， ， 同法可证， ， ， ， ， 15．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$