第三章《不等式》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

第三章《不等式》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 11．下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，，则的取值范围为 13．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 14．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知 的最小值． （2）已知求的最大值． 16．解关于的不等式：． 17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 18．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章《不等式》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误， 故选：B. 2．下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特值法进行排除，利用不等式的性质进行判断. 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，当时，，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，若，式子显然不成立，故D错误. 故选：C. 3．若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 4．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得，再由基本不等式计算即可得出结论. 【详解】由不等式的解集为， 可知1和是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可得，即可得， 所以. 当且仅当时，即时等号成立； 即可得. 故选：D 6．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 7．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数， 即，恒成立. 则，即， 解得，或. 故选：C. 8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 10．已知正数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11．下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用不等式的性质运算即可得解. 【详解】解：设，则， 解得：，，则， 而由，可得， 再由，可得， 所以， 即，可得. 故答案为：. 13．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 14．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知 的最小值． （2）已知求的最大值． 【答案】（1）12 ；（2） 【分析】（1）由乘“1”法结合基本不等式即可求解.（2）转换为二次函数最值问题即可求解. 【详解】（1），两边同时乘以，得， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为12. （2）令，其中 所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，有最大值， 所以当时，的最大值为. 16．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1) (2)6万元 【分析】（1）依题意求解即可； （2）由 结合基本不等式求解即可. 【详解】（1） ． 因为，所以 （2）因为 ． 又因为，所以， 所以（当且仅当时取“”） 所以 即当万元时，取最大值30万元． 18．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为 ②当时，，因为， 所以不等式的解集为 ③当时，．又， 所以不等式的解集为, 综上：，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （3）由题对任意，不等式恒成立． 即，因为时，恒成立． 可得，设，则，所以， 可得 因为，当且仅当是取等号． 所以，当且仅当是取等号． 故得m的取值范围． 19．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$