2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 （第二课时） 一 二 三 学习目标 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，培养逻辑推理的核心素养 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 能归纳整理用坐标法解决平面几何问题的三部曲 学习目标 判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 代数法： ① △＞0 ② △＝0 ③ △＜0 方程有两不等实根 方程有两个相等实根 方程无实数根 直线l与圆C相交 直线l与圆C相切 直线l与圆C相离 几何法： ③ d＞r ① d＜r 直线l与圆C相交，有两个公共点； ② d＝r 直线l与圆C相切，只有一个公共点； 直线l与圆C相离，没有公共点. 联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 圆心到直线的距离 复习回顾 复习回顾 ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. ②常选特殊点作为直角坐标系的原点. ③尽量使已知点位于坐标轴上. 建立平面直角坐标系应遵循的原则有哪些？ 建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程. 本节课来学习用直线与圆的方程解决实际问题. 典例解析 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). A O B P 思考1 点O是圆拱所在圆的圆心吗？ 思考2 如何建立比较适当的平面直角坐标系？ 思考3 以上两种方案是否较为适当？有没有更好的建系方案？ y x x2+(y-b)2=r2 典例解析 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑, 求支柱A2P2的高度(精确到0.01m). A O B P y x 分析：建立如图所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标. 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 解: 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有 解得 所以，圆的方程是 把 代入上式，得 所以支柱A2P2的高度约为3.86m. 典例解析 问题1 如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？ A B P C P2 H O 如图，过点P2作 P2H OP，垂足为H 另解: 由已知|OP|=4，|OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心. 在RtAOCA中，有． 设圆拱所在圆C的半径是r，则有 解得r =14.5. 在RtCP2H中，有. 因为|P2H|=|OA2|=2 于是有． 于是有|OH| =|CH|CO| 又|OC|=14.5 4=10.5， = =3.86 (m). 所以支柱A2P2的高度约为3.86 m. 可以看到，运用综合法需要添加多条辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理,并多次使用勾股定理进行计算，过程比较复杂. 典例解析 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁, 暗礁分布在以小岛中心为圆心, 半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处, 港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港, 那么它是否会有触礁危险? • 港口 O • 轮船 • x y 分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0, 3)，轮船所在位置的坐标为(4, 0). 轮船航线所在直线l的方程为 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 典例解析 问题2 还能用其他方法解决上述问题吗？ • 港口 O • 轮船 • x y A B 如图，设轮船开始位于轴上的A点，港口位于y轴上的B点. 利用平面几何知识，在RtAOB中，原点О到直线AB的距离即为斜边AB上的高. 因为|OA|=40 km，|OB|= 30 km 根据勾股定理，有|AB|=. 设点О到AB的距离为d，则d·|AB|=|OA|·|OB| 所以 因为24>20，所以这艘轮船不必改变航线，不会有触礁的危险. 巩固练习 课本P95 1. 赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程. A B P O x y 解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱所在圆的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 7.2), (18.7, 0)，则有 故所求圆拱的方程为 解得 巩固练习 课本P95 2. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m. 这条船能否从桥下通过? A B P O x y C F E D 解: 建立如图所示的直角坐标系. 设圆拱的圆心坐标为(0, b)，圆的半径为r，则圆的方程为 由题意，点P, B在圆上，且它们的坐标分别为(0, 4), (10, 0)，则有 故所求圆拱的方程为 解得 把 代入上式，得 因为船在水面以上的高度为3m，3<3.1， 所以该船可以从船下穿过. 3. 在一个平面上, 机器人从与点C(5, －3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行, 在行进过程中保持与点C的距离不变, 它在行进过程中到过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少? 2 2 l A(0,12) • C(5,-3) x O y • B(-10,0) • 解：依题意得, 机器人在以C(5,－3)为圆心, 9为半径的圆上运动, 其圆的方程为 经过点A(－10, 0)与B(0, 12)的直线方程为 ∴点C到直线AB的距离为 ∴圆C上的点到直线AB的最近距离为d－r＝ 巩固练习 课本P95 最远距离为d＋r＝ 概念生成 坐标法解决有关直线与圆的位置关系的实际问题的步骤 第1步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题 第2步：通过代数计算，解决代数问题 第3步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第1步：几何—代数 第2步：解决代数问题 第3步: 还原为实际结论 实际问题 数学问题 2.求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形： (1)圆心为M(3,-5)，且与直线x－7y+2=0相切； (2)圆心在直线y=x上，半径为2，且与直线y=6相切； (3)半径为,且与直线2x－3y+6=0相切于点(3,4). 目标：求半径 目标：求圆心 目标：求圆心 综合应用 课本P98 3.求直线l：3x-y-6=0被圆C:x²+y²－2x-4y=0截得的弦AB的长. 4.求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程. 5.求与圆C:x²+y²－x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的圆的方程. 目标：求圆心/半径 综合应用 课本P98 $$