精品解析：广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷 班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知正方体的棱长为1，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ） A 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 5. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 7. 四棱锥，底面是平行四边形，，则这个四棱锥的底面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（共18分，每题6分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知空间中的单位向量，其两两夹角均为，则___________． 13. 如图，在平行四边形中，，沿着它对角线将折起，当二面角的大小是时，则的两点间距离为___________． 14. 下列说法正确的是___________． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 四、解答题（共77分） 15. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面成角的大小． 16. 在平面直角坐标系中有， （1）求直线的一般方程； （2）在三角形中，求边的高线方程； （3）若直线将面积两等分，求的值 17. 已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面距离． 18. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 19. 如图，平行六面体所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内． （1）若中点，求证：平面； （2）若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷 班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称性的点的坐标特点是，横，竖坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 2. 已知正方体的棱长为1，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可． 【详解】根据题意知， 则， 所以原式， 故选：C． 3. 平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果. 【详解】如下图所示： 易知. 故选：D 4. 若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先判断法向量位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】∵，则， ∴，故. 故选：B. 5. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则， 即的最小值是， 故选：D 7. 四棱锥，底面是平行四边形，，则这个四棱锥底面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求，结合同角关系求，根据平行四边形面积公式，求结果. 【详解】因为， 由向量夹角公式可得， 又， 所以 所以底面的面积 . 故选：B． 8. 已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 二、多选题（共18分，每题6分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0得到向量垂直可判断B；根据投影向量的定义可计算出投影向量从而判断C，得出向量共面可判断D． 【详解】因为，所以， 可得， 则向量与向量的夹角为，故A错误； 因为， ， 所以，即B正确； 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以C正确； 由向量，可知， 向量与向量共面，所以D正确． 故选：BCD. 10. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论． 【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时， 即使，也不能说明，故A错误； 若，则， 所以，所以四点共面，故B正确； 由题意可得，若与垂直， 则，解得，故C正确； 由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知空间中的单位向量，其两两夹角均为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模长公式，结合数量积的性质计算即可. 【详解】由已知，， 所以， 所以 所以， 故答案为：. 13. 如图，在平行四边形中，，沿着它的对角线将折起，当二面角的大小是时，则的两点间距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果． 【详解】根据垂直关系，与的夹角，即为二面角的平面角， 且，，， 所以. 故答案为：． 14. 下列说法正确的是___________． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④． 【详解】直线即直线， 当时，，即直线恒过定点，①错误； 直线，倾斜角为，斜率为，所以，②正确； 因为直线过点，且在轴上截距相等， 当截距都0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，③故正确． 若倾斜角小于，逆时针旋转，倾斜角加，即； 若倾斜角大于或等于，逆时针旋转，倾斜角为，④故正确； 故答案为：②③④． 四、解答题（共77分） 15. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱上的动点． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明平面，则可证明. （2）建立空间直角坐标系，根据的值，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案. 【小问1详解】 如图所示：连接， 因为平面，平面,所以，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以. 【小问2详解】 以为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示： 设平面一个法向量为， 又， 所以， 因为，所以取，所以法向量 所以，所以向量夹角为，所以线面夹角为. 16. 在平面直角坐标系中有， （1）求直线的一般方程； （2）在三角形中，求边的高线方程； （3）若直线将面积两等分，求的值 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由截距式求直线方程，化简即可； （2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再求直线方程； （3）先由两直线的交点坐标的求法求得D，E的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 由题意的，直线AC在x轴和y轴的截距分别为2和3， 由截距式方程得AC的方程为， 化简得； 【小问2详解】 直线AB的斜率， 根据垂直关系可得，边AB上的高线斜率不存在， 由于高线过点，所以边AB上的高线方程为； 【小问3详解】 设直线与边分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ． 17. 已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系； （2）构建空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式进行求解． 【小问1详解】 取的中点M，连接 在中，， ， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，， 面面 又面面 面面 又面， 面； 【小问2详解】 取中点，连接 为等腰三角形， 面面，面面， 面 在，易得 以为原点，分别为轴，以建立空间直角坐标系 ， ， 设平面的法向量为， ，设，取 ． 18. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因，，设，， 所以， 则， 则， 故； 【小问2详解】 ，则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 19. 如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内． （1）若中点为，求证：平面； （2）若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何关系求出，证明， ，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）构造平面平面，从而确定点必在上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值． 【小问1详解】 连接，，， ，同理， 是正方形对角线中点， ，且， 所以， 所以,故为等腰直角三角形， ， 所以， 所以， 面，面， 面； 【小问2详解】 法一： 取中点，连接， 易得，， 故四边形是平行四边形， ，又平面平面， 平面，同理， 平面平面， 平面，且，面， 故平面平面， 则点必在上，且当时取得的最小长度， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为． 法二： 取为一组空间基底，则， 平面， ，代入整理得， 故， 动点在平面内， ， ， 故， 当且仅当时，有最小值为． 法三： 由第一问知，如图建立空间直角坐标系， 则， ， ， 同理， ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 设点， ，即 故， 当且仅当时，有最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $