期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形的性质 1．已知两个相似三角形的对应边的比为则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 4．若与相似，一组对应边的长为，，那么与的相似比是 ． 5．如图，若，则 ． 6．若，且，则与的周长之比为 ． 类型二、一元二次方程的整体代入 1．关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 2．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2021 B．2019 C． D． 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 4．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 6．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 类型三、一元二次方程的实数根 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若方程的其中一个根为，求方程的另一个根． 6．已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程为一元二次方程，且方程的一个根为，请你求出方程的另一个根． 类型四、相似的应用 1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 5．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 6．一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 类型五、三角形的中位线 1．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，连接，若，，则点到的距离为（   ） A． B． C．2 D． 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 4．如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点作交于点，连接，交于点，过点作交于点，则 ． 5．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 6．【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴①_____________________． ∴，且． ∴②______∽______，______∽______ ∴， 任务： (1)笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______ (2)如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长． 类型六、位似图形 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 4．如图，和是位似三角形，点O是位似中心，且，，，则 ． 5．如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，已知线段，点，均在格点（网格线的交点）上． (1)将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段，连接； (2)将向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，画出； (3)以点A为位似中心，在网格图中，将放大为原来的2倍，得到，画出． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C点均在格点上，在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出的边上的中线； (2)在图②中画出，点、分别在边、上，满足； (3)在图③中画出，点、分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为． 类型七、阴影面积与周长 1．如图，矩形中，，，矩形中，，，则阴影部分的面积为（   ） A．102 B．103 C．104 D．105 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知面积为40，点M为的三等分点，且，N为的中点，交对角线于点O，则阴影部分的面积为    4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    5．综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正三角形纸片，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图①、图②．填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 ． (2)图①中，若，则 ． (3)图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； (4)如图②，点落在边上，若，则 ． 6．综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，，垂足为． 实践操作 （1）若是的中点，请直接写出的长以及的值． （2）如图2，隐去，作，分别与，交于点，．若，求的长． 拓展延伸 （3）如图3，在图2的基础上，连接，，，请直接写出图中阴影部分的面积．    类型八、一元二次方程的根与系数关系 1．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．已知一元二次方程的两根为，，则 ． 4．已知实数、满足，，则的值为 ． 5．已知关于的方程． (1)说明：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围 (2)若，求k的值． 类型九、根式在数轴上的化简 1．如图，点A是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 化简为 （   ） A． B． C． D． 2．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ． 4．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ． 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 6．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． (1)　　，　　； (2)x表示的整数部分，y表示的小数部分，则　　，　　； (3)实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 类型十、相似中的尺规作图 1．如图，在中，D为中点，E为上一点，连接，且． (1)尺规作图：过点B作角平分线，交于点F，连接（只保留作图痕迹） (2)求证：，请根据下面内容填空． 证明：∵平分， ∴________________________ ∵在和中， ， ∴， ∴________________ 又∵D为的中点， ∴DF为的中位线 ∴_________________． 2．如图，在等边中，点M、N分别在边上． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ①过点N作的平行线交于点D； ②在边上求作点P，使，请找出所有满足条件的点； (2)若，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 3．如图，在中，D是边上一点，且 (1)在边上求作点E，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）所作的图形中，若，求的长. 4．如图，在中，，M，N分别为边的中点． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：垂直平分． 5．如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 6．如图，已知．    (1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①分别作边，的中点，记为点D，E； ②连接并延长，在的延长线上取点F，使； ③连接． (2)在（1）所作的图中，试判断四边形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似三角形的性质 1．已知两个相似三角形的对应边的比为则它们的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边的比为 ∴它们的周长之比为， 故选：C． 2．两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方求解即可． 【详解】解：两个相似三角形对应高之比为， 它们的相似比为， 面积比． 故选：D． 3．已知和中，，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意，易得，根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的周长之比为； 故选B． 4．若与相似，一组对应边的长为，，那么与的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于相似比，解题的关键在于确定对应边． 【详解】相似三角形对应边的比等于相似比且 与的相似比为： 故答案为：． 5．如图，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 6．若，且，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 类型二、一元二次方程的整体代入 1．关于的方程两根分别为，，则方程的两根为（    ） A．， B．，8 C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于的方程两根分别为，，则方程的两根为或，然后解方程即可，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于的方程两根分别为，， ∴方程的两根为或， 解得，， 故选：A． 2．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（   ） A．2021 B．2019 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 故选：A． 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根的定义及整体代入求值方法是解题的关键．利用一元二次方程根的定义得到，整理可得，整体代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 6．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 类型三、一元二次方程的实数根 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得且， ∴且． 故答案为：且． 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 5．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若方程的其中一个根为，求方程的另一个根． 【答案】(1)m (2)方程的另一个根是0 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握定理是解题的关键． （1）根据方程有实数根，得到计算即可． （2）根据方程的一个根为 1，代入方程求解，再代入方程计算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴． （2）解：∵方程的其中一个根为， ∴， ∴， ∴原方程为． ∴，， ∴方程的另一个根是0． 6．已知关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程为一元二次方程，且方程的一个根为，请你求出方程的另一个根． 【答案】(1)的取值范围为； (2)方程的另一个根为． 【分析】（）分当时，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式，可得关于的不等式，解不等式即可得出的取值范围； （）把代入方程，得出的值，再将的值代入原方程，解方程即可； 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，方程为，有实数根， 当时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且， 综上可知：方程有实数根，的取值范围为； （2）∵方程为一元二次方程，且方程的一个根为， ∴，解得：， ∴原方程为，即有， 解得：，， ∴方程的另一个根为． 类型四、相似的应用 1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 2．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 3．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】20 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 4．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 5．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表．根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 【答案】 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答. 证明得到对应边成比例，列方程解决即可. 【详解】解：设米，米， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 6．一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图) ．已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米． 请根据以上数据求出城楼的高度． 【答案】城楼的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出是解题的关键．过点作于点，交于点，由题意得：米，米，米，米，进而得到米，米，米，证明得到，求出米，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， 由题意得：米，米，米，米， ， 四边形是矩形， 又， 米， （米），（米）， ， ， ，即， 米， 城楼的高度为：（米）． 类型五、三角形的中位线 1．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，连接，若，，则点到的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明和熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．取的中点H，连接，设与相交于点G，过点O作于点M，由勾股定理求出，由正方形的性质得到，，由勾股定理求出，则，由三角形中位线定理得到，证明，则，，得到，根据即可求出答案． 【详解】解：取的中点H，连接，设与相交于点G，过点O作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∵的中点H，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点O到的距离为， 故选：D 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，并延长交与，连接，由矩形的性质得出，，证明得出，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】解：如图，连接，并延长交与，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵H是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 3．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ，，， ， E、F分别为边，的中点， ，． G为的中点， ， 在和中， ， ． ，． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 4．如图，菱形的对角线与分别为8，6，过点作交于点，连接，交于点，过点作交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用菱形的性质以及勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．【阅读与思考】 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴①_____________________． ∴，且． ∴②______∽______，______∽______ ∴， 任务： (1)笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______ (2)如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长． 【答案】(1)是的中位线，， (2)，理由见解析 (3)４ 【分析】（1）由三角形中位线定理和相似三角形的判定定理可得出结论； （2）连接，证明，得出，，证明，得出 ，则可得出答案；（3）连接，由平行四边形的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出，由平行线得出，可证，得出；设则证明是的中位线，由三角形中位线定理得出得出由勾股定理得得出方程，求出，在中，由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接， ∵D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴②， ∴， （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图，连接 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明三角形相似是解决问题的关键 类型六、位似图形 1．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，易证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴， 故答案为：． 4．如图，和是位似三角形，点O是位似中心，且，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得出位似比，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是位似三角形，点O是位似中心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 5．如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，已知线段，点，均在格点（网格线的交点）上． (1)将线段绕点A逆时针旋转得到线段，画出线段，连接； (2)将向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，画出； (3)以点A为位似中心，在网格图中，将放大为原来的2倍，得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转得到的点C，连接即可得到答案； （2）根据平移方式分别得到点A、B、C的对应点、、，连接即可得到答案； （3）按照位似图形的作法，作出点、点、点，连接即可得到答案 【详解】（1）解：如图，线段，线段即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， 【点睛】本题考查了平移作图、位似作图、旋转作图，熟练掌握相关作图方法是解题的关键． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A、B、C点均在格点上，在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，画出的边上的中线； (2)在图②中画出，点、分别在边、上，满足； (3)在图③中画出，点、分别在边、上，使得与是位似图形，且点为位似中心，位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点，连接，线段即为所求； （2）分别取，的中点，，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，取点，使得，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求． ； （2）解：如图②中，线段即为所求． ； （3）解：如图③中，线段即为所求． ． 类型七、阴影面积与周长 1．如图，矩形中，，，矩形中，，，则阴影部分的面积为（   ） A．102 B．103 C．104 D．105 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；由可判定，由全等三角形是性质得，由三角形的面积得 ，设，由相似三角形的判定方法，由相似三角形的性质得，可求，由勾股定理得，由即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 在中， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 故选：D． 2．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把正方形平移放入正方形内（如图2），使点在上，点在上，并将正方形沿翻折，得到正方形，若图2中，，三点共线，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，连接交于点，设交于点，交于点，则点在上，由正方形的性质得，，，可证明，得，则四边形是矩形，所以点在上，而，所以，则，再证明，则，再证明△，得，由，证明，则，求得，，则，于是得到问题的答案．此题重点考查正方形的性质、平移的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：如图2，设，连接交于点，设交于点，交于点， ，，三点共线， 点在上， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 点在上， 由平移得， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ， 四边形是矩形， ， 故选：B． 3．已知面积为40，点M为的三等分点，且，N为的中点，交对角线于点O，则阴影部分的面积为    【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，从而可证，进而可得，再根据N为的中点，可得，然后证明8字模型相似三角形，求出，从而求出的面积，即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ； 如图，连接， ∵N为的中点， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：（或）． 4．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 5．综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 折一折：把边长为的正三角形纸片，将其沿直线折叠，使点落在点处，分别得到图①、图②．填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 ． (2)图①中，若，则 ． (3)图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； (4)如图②，点落在边上，若，则 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，根据阴影部分的周长的计算方法将线段转换为等边三角形三边之和，由此即可求解； （2）根据折叠的性质可得，根据平角的性质可算出的值，结合三角形内角和定理可求出的度数，由次即可求解； （3）根据相似三角形的判定方法“两角对应相等，两三角形相似”即可求解； （4）根据等边三角形的性质可求出，根据角的关系可证明，设，则，根据相似三角形的性质可求出，，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得，， 如图所示，设与交于点，与交于点， ∵阴影部分的周长为：， ∴ ， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：根据折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，且， ∴相似三角形有（包括全等三角形）：，，共4对， 故答案为：4； （4）解：∵，是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，且， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）， 经检验是原方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，，垂足为． 实践操作 （1）若是的中点，请直接写出的长以及的值． （2）如图2，隐去，作，分别与，交于点，．若，求的长． 拓展延伸 （3）如图3，在图2的基础上，连接，，，请直接写出图中阴影部分的面积．    【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）利用等角的余角相等证得，推出，利用相似三角形的性质即可求解； （2）过点作于点．同理证明．据此求解即可； （3）利用四边形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴； （2）如图．过点作于点．    ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． ∴； （3）∵，，， ∴图中阴影部分的面积． 类型八、一元二次方程的根与系数关系 1．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据根与系数关系得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ∴， 故选：A 2．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据根与系数的关系得到，再由，代值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．已知一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，熟记根与系数的关系式是解题的关键，根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可得到答案 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 故答案为：17． 4．已知实数、满足，，则的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则 ； 若，则 故答案为：或2． 5．已知关于的方程． (1)说明：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)的值为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， 即， 无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵关于的方程， ∴， ∵， ∴， 则， 解得或， ∴的值为或． 6．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围 (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解一元二次方程： （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再由完全平方公式的变形得到，根据题意得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 类型九、根式在数轴上的化简 1．如图，点A是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点B是以点O为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点A，B表示的数分别为a，b． 化简为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，数轴上的点表示实数，二次根式的性质． 根据勾股定理求得，，得到，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据勾股定理，得，， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：B 2．实数a，b的数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质．先根据数轴推出，进而得到，，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，， ∴ ， 故选：B． 3．如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 4．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴． ∴原式． 故答案为： 5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； （2）解：当，时，原式． 6．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足． (1)　　，　　； (2)x表示的整数部分，y表示的小数部分，则　　，　　； (3)实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查非负数、二次根式、绝对值和无理数的估算等知识，掌握非负数的性质、二次根式的意义以及无理数的估算是解决问题的关键． （1）利用非负性的性质，即可求出答案； （2）估算的整数部分和小数部分即可； （3）根据数轴判断出，，再根据二次根式性质化简，最后根据绝对值性质化简即可． 【详解】（1）解：根据题意，∵， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 即， ∴的整数部分为11，即， 的小数部分为，即， 故答案为：； （3）解：根据数轴可得， ∴， ∴ ． 类型十、相似中的尺规作图 1．如图，在中，D为中点，E为上一点，连接，且． (1)尺规作图：过点B作角平分线，交于点F，连接（只保留作图痕迹） (2)求证：，请根据下面内容填空． 证明：∵平分， ∴________________________ ∵在和中， ， ∴， ∴________________ 又∵D为的中点， ∴DF为的中位线 ∴_________________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；． 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握作一个角的平分线是解决问题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用平分得到，则根据“”可判断，则，于是可判断为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到结论． 【详解】（1）解：如图，、为所作； （2）∵平分， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 又∵D为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：；；；． 2．如图，在等边中，点M、N分别在边上． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ①过点N作的平行线交于点D； ②在边上求作点P，使，请找出所有满足条件的点； (2)若，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 【答案】(1)①作图见解析；②作图见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）①过点作交于， 则即为所求； ②以A为圆心，为半径作弧，交于点D，作的外接圆，交于， 则点即为所求； （2） 证明 可得，设，列出方程 整理得：当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P不存在，进而可以解决问题． 本题主要考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质． 【详解】（1）解：①过点作交于，如图， ∵， ∴， 则即为所求． ②以A为圆心，为半径作弧，交于点D，作的外接圆，交于， 则点即为所求，如图： （2）解：如图， 在等边中， 设 ∵只能作出唯一的点P， ∴该方程有两个相等的实数根， ， ∴当时，只能作出唯一的点． 3．如图，在中，D是边上一点，且 (1)在边上求作点E，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）所作的图形中，若，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作，再结合同位角相等，推出； （2）先因为平行线分线段成比例，得出，再结合两边成比例夹角相等证明再运用相似三角形的性质列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 即 ∴ 4．如图，在中，，M，N分别为边的中点． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）作，即可； （2）由作法得：，由三角形中位线定理可得，，从而得到，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：证明：由作法得：． ∵M，N分别为边的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 又∵， ∴垂直平分． 5．如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，已知．    (1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①分别作边，的中点，记为点D，E； ②连接并延长，在的延长线上取点F，使； ③连接． (2)在（1）所作的图中，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)四边形为平行四边形，证明见解析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练的作图是解本题的关键； （1）先分别作线段，的垂直平分线，可得线段的中点，再延长，使，再连接即可； （2）先证明，，再证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，，，，，即为所求； ．   （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$