期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 5．如图，在矩形中，，点从点出发，按的方向在边和上移动，记，点到直线的距离为，则的最小值是 ． 6．如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    类型二、规律问题 1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 4．数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 5．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是 ． 6．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ． 类型三、选填压轴结论正确(个数) 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．在四边形中，，E为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，中，，，点D在边上（与B，C不重合），以为边在右侧作正方形，过点F作，交的延长线于点N，连接，交于点P．给出以下结论：①；②四边形为矩形；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）． 5．如图，正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结，下列结论：①；②；③当时，；④的周长是个定值．其中所有正确结论的序号是 ． 6．如图，在菱形中，已知，，，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确结论是 ． 类型四、相似中的折叠 1．如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（    ） A．8 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 3．如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 4．如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将沿折叠得到，与交于点，则的长为 ． 5．【操作实践】（1）如图，将折叠，使顶点落在边上点处，折痕为，过点作交于点． ①____（填“”“”或“”） ②若，，求线段的长； 【拓展变式】（2）如图，若将沿折叠后使点落在边延长线上，且，交的延长线于点，若，求的值． 6．在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 类型五、相似中的比值 1．如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是 ． 4．如图，点E是菱形的边上一点，于点F，若，，则的值为 ． 5．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，．请直接写出的值． （3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接．求的值；        6．问题背景：如图，在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：． 问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，若，，求出的值．      类型六、相似三角形的动点求t 1．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 2．如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求线段的长； (2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）； (3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 3．如图，在矩形中，，，点P以每秒2个单位的速度从点A沿向终点C运动（点P与点D不重合），当点P出发后，作，点E在直线上，将沿PE翻折到处，设运动时间为． (1)的长为 ； (2)用含t的代数式表示的长度； (3)当点Q落在矩形的对角线上时，求t的值．（求出一个即可） (4)连接，当直线经过矩形的边的中点时，直接写出t的值．（写出一个即可） 4．如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 5．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； (4)直接写出点B关于直线AP的对称点落在内部时t的取值范围． 6．如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 类型七、一元二次方程的新定义 1．阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 2．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程是不是“倍根方程”； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系． 4．定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 6．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 类型八、相似中的新定义 1．在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． (1)在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ； (2)已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ． 2．阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是________； (3)若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”． (1)在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________； (2)将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________； ②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 4．数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 5．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线． 【问题探究】 （1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）； 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的“相似对角线”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知是四边形 “相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长． 6．我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形． (1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子． (2)如图1，，，，分别是四边形的边，，，的中点，已知四边形是菱形，求证：四边形是和美四边形； (3)如图2，四边形是和美四边形，对角线，相交于，，、分别是、的中点，求与之间的数量关系． 类型九、函数中的相似 1．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距为u，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 2．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. (1)求直线的函数解析式： (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 4．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 5．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线（m，n为常数）与x轴交于点B，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点P是直线上一动点，当与相似时，求点P的坐标； (3)如图2，在平面内有一点，连接交x轴于点N，连接，在平面内是否存在点Q，使得，且，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 类型十、相似中的无刻度尺作图 1．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． (1)的面积为________． (2)图①中，画出的中线AD； (3)图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1． 2．如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)如图，先画点使四边形为平行四边形，连接交于点，再在上画点，使； (2)在图中，先在内部画格点，连接，，，使，再画点关于的对称点． 3．如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在边上找中点P，连接，则与的数量关系是________； (2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使． 4．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、均在网格上． (1)线段的长为__________． (2)在图①中，在线段上画出点，使． (3)借助网格，用无刻度的直尺在上作出点，使．（要求保留作图痕迹，不要求证明） 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，三点是格点，点是与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，取的中点，的中点，连接，再作平行四边形； (2)在图2中，在上画出一点，使； (3)在图3中，点在格点上，连接，，在上画点，使平分四边形的面积． 6．如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 2．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 3．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、），点P是坐标平面内的一个动点中．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，根据题意可得点在半径为2的上，在线段上取一点，满足，证明，由相似三角形的性质得出，，从而得出，当且仅当三点共线时等号成立，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴点在半径为2的上， 如图，在线段上取一点，满足， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当且仅当三点共线时等号成立， 在，， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，点从点出发，按的方向在边和上移动，记，点到直线的距离为，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质等等，根据题意，分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为4；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此可得答案． 【详解】解：解：根据题意，分两种情况： （1）当点在上移动时，点到直线的距离为：． （2）如图1，当点在上移动时， ∵在矩形中，，且， ∴，，， ， 在和中， ， ， ， ． ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，； 综上所述，； 故答案为： 6．如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂线段最短，首先判断出点的运动轨迹是线段，过点F作于点H，则为的最小值 【详解】解：连接交于点N，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴即， ∴点在上， 过点F作于点H， 根据题意知，点的运动轨迹是线段，由“垂线段最短”知为的最小值， ∵点是的中点， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： 类型二、规律问题 1．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 2．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】此题考查图形的变化规律，由题意可知：第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：；则第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：，问题随之得解． 【详解】第（1）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， 第（2）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， 第（3）个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， …， ∴第n个图案中，三角形的个数为：，点个数的个数为：， ∵第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍， ∴，n为正整数， 解得：， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形规律题，熟练掌握正方形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，归纳出正方形边长的规律，是解本题的关键是． 利用勾股定理求出，再用三角形相似得出，得到，求出，，推导出，即得． 【详解】∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ， …， ∴， ∴． 故选：A． 4．数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式，再证明即可． 【详解】∵n是正整数， ∴． 故答案为：． 5．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了图形的规律以及解一元二次方程，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据前4个图形中棋子的个数找出一般规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：∵第1个图形中棋子的个数为； 第2个图形中棋子的个数为； 第3个图形中棋子的个数为； 第4个图形中棋子的个数为； … ∴第n个图形中棋子的个数为． ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：12． 6．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出 点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，，，，， ， 点与同在一个象限内， ，，， 点． 故答案为：． 类型三、选填压轴结论正确(个数) 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点O 重合，角的一边与 x 轴正方向重合，反比例函数与相交于点M， 以 M 为圆心为半径作弧，交 反比例函数于点N， 分别过点M、N作x 轴和y 轴平行线，两线相交于点C，连接、相交于点D， 过 点M 作轴，垂足为E，  与相交点F，   则下列结论：①：②：③：④ 当时，： 其中一定正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数与矩形的综合应用，根据反比例函数k的几何意义可判断①；证明四边形是矩形，得，则，而无法证明，故可判断②；运用平行线的性质可判断③；证明可判断④ 【详解】解：①∵点M在反比例函数的图象上，且轴， ∴，故①正确；   设点 M 的坐标为，设点 N 的坐标为， ∴点 C 的坐标为， 设直线的表达式为 代入，得 ∴ ∴直线的表达式为 ， ∴点 F 的坐标为， ∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 而无法证明， ∴与不一定相等，故②不正确； ∵是的外角，且， ∴， 又∵轴， ∴， ∴，故③正确； 当时，， ∴， 而， ∴，， ∴，故④正确， 综上，正确的结论是①③④， 故选：C 2．在四边形中，，E为边上一点，，且．连接交对角线于H，连接．下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据三线合一可得；由为直角三角形，且即可判定②；根据全等三角形的性质可判定③，过H作 ，利用相似三角形的性质可判定④⑤． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵为直角三角形，且 ∴ ∵ ∴ ∴，故②错误； 由①知， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为等边三角形 ∴ ∴，故③正确； 过H作 ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用熟记各性质是解题的关键． 3．如图，中，，，点D在边上（与B，C不重合），以为边在右侧作正方形，过点F作，交的延长线于点N，连接，交于点P．给出以下结论：①；②四边形为矩形；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的外交性质．根据正方形的性质得到，，利用定理证明，可判断①；根据全等三角形的性质得到，，根据矩形的判定定理判断②；根据三角形内角和定理判断③；证明，根据相似三角形的性质判断④． 【详解】解：四边形为正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形为矩形，故②正确； ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有4个， 故选：D． 4．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （请填上所有正确结论的序号）． 【答案】①④/④① 【分析】证明，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到，可判断①，再利用三角形等积法可算出，可判断②；再证明，求出，，，可判定，可判断④；，又与有交点，得到与不平行，可判断③． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 和分别为和中点， ， ， ，， ， ， ，即，故①正确； ，， ， ，故②错误； 为中点， ， ， ∵， ， ，， ， ，故④正确； ∵，又与有交点， 与不平行，故③错误； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长． 5．如图，正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连结，下列结论：①；②；③当时，；④的周长是个定值．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】如图1，过作于，证明，则，可判断①的正误；由，，可得，可判断②的正误，设，则，，由勾股定理得，，则，证明，则，即，可得，可判断③的正误；如图2，作于，证明，则，，证明，则，由的周长为，可判断④的正误． 【详解】解：如图1，过作于，             图1 ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，， ∴，②正确，故符合要求； ∵， 设，则，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，③错误，故不符合要求； 如图2，作于，            图2 ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长为，即的周长是个定值，④正确，故符合要求； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形与折叠，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在菱形中，已知，，，点E在的延长线上，点F在的延长线上，有下列结论：①；②；③；④若，则点F到的距离为．则其中正确结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． ①只要证明即可判断； ②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断； ③根据相似三角形的判定方法即可判断； ④求得点F到的距离即可判断． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，．故①正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴和不会相似，故③不正确； 过点A作于点G，过点F作于点H， ∵，， ∴， 在中，∵，， ∴，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，∵，， ∴． ∴． ∴点F到的距离为，故④不正确． 故答案为：①②． 类型四、相似中的折叠 1．如图，在矩形中，，分别以所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，连接，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，则此时k的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 过点作于，则，根据点都在反比例函数的图象上，则，由折叠知，．推出，推出，根据，则，则，得出，因为，则，得出． 【详解】解：过点作于， ， ， ∵点都在反比例函数的图象上， ， 由折叠知，． ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，则的值为（    ） A．27 B．48 C．54 D．108 【答案】D 【分析】过作于F，交于E，设，，，通过证明，得到 ，解方程组求得m与n的值，即可得到的坐标进而得到反比例函数中k的值． 【详解】解：如图所示 过A′作于F，交于E，由折叠性质以及正方形性质可得：， ， 设， ∴，． ∵ 正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点， ∴ ，． ∵， 即 解得：，．经检验符合题意； ∴ ∴ 反比例函数中， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得的坐标是解决本题的关键． 3．如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由折叠的性质可知，，，根据直角三角形的定义，分两种情况讨论，证明，得出，进而求出的长，再表示出的长即可． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，，， 为直角三角形， 当时，如图所示，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即x的值为； 当时，如图所示， 同理可证，， ， ， ， ， ，即x的值为； 综上可知，x的值为或； 4．如图，在正方形中，，点是边上一点，且，连接，将沿折叠得到，与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形中的翻折问题，涉及正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．连接，过点作于点，延长交于点，先利用翻折中的垂直平分线性质和求出，得值，再利用等面积法求出，再求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，，， ∴， 由翻折知：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：，， ∴， 由， 得：， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5．【操作实践】（1）如图，将折叠，使顶点落在边上点处，折痕为，过点作交于点． ①____（填“”“”或“”） ②若，，求线段的长； 【拓展变式】（2）如图，若将沿折叠后使点落在边延长线上，且，交的延长线于点，若，求的值． 【答案】（1）①；②（2） 【分析】（1）①由折叠的性质和平行线的性质可得，即可证明；②证明，可得，即可求解； （2）证明，易得，结合可得，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵将折叠，使顶点落在边上点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （2）∵将沿折叠后使点落在边延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 【答案】(1)点F的坐标为；， (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到分别为、的中点，进而求解； （2）求出点的坐标为，得到，则，得到，即可求解； （3）当在轴上时，推出，求出的表达式，又由平分，，联立两条直线，得到的中点的坐标，再求出的表达式，求得的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：点为中点， 由中点坐标公式得：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 、分别为、的中点， ，； （2）解：，理由如下： 将代入，得， 点的坐标为， ， 将代入，得， 点的坐标为， ， ， 又， ， ∴, ； （3）当在轴上时，如图： 沿着折叠至， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得， 的表达式为：， 如图，当平分时，， ， 与轴的交点坐标为：， 表达式为：， 联立， 解得， 点坐标为， 的中点的坐标为， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得：， 故直线表达式为：， 设直线表达式为：，代入， 的表达式为：， 当时，， 点坐标为， ， 此时反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 类型五、相似中的比值 1．如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质．设正方形的边长为，得，，，根据勾股定理得，证明，得，即可得解．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 4．如图，点E是菱形的边上一点，于点F，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，由菱形性质得，结合列关于的比例，求出，即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O， 四边形是菱形， ，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得． ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 5．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，．请直接写出的值． （3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接．求的值；        【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）证明，从而得出结论； （2）证明，进而得出结果； （3）①先证明，再证得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （3）解：，， ， ，， ， ， 6．问题背景：如图，在矩形中，点分别是的中点，连接，求证：． 问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图，在“问题探究”的条件下，若，，求出的值．      【答案】问题背景：证明见解析；问题探究：证明见解析；问题拓展：． 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，，根据点分别是的中点，可得，即可求证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，设，则，，可得，，又可得垂直平分，得到，，即可证明，得到，，进而由（），可得，设，则，，即可由得到，即可证明，得到，即可得，进而即可求解． 【详解】解：问题背景：四边形是矩形， ∴，， ∵分别是的中点 ， ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，，    ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 类型六、相似三角形的动点求t 1．在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N 为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t 的值； 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； 【详解】（1）解：在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）解：是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂线交于， 则，， ∴，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂线交于， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形． 2．如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求线段的长； (2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）； (3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 通过证明，可得，即可求解； 先判断出，求出，再判断出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案； 分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）当时，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由运动知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由运动知，， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 若，， ∴， ∵， ∴， ∴(不合题意舍去)， 若，， ∴， ∴， ∴． 故当时，与相似． 3．如图，在矩形中，，，点P以每秒2个单位的速度从点A沿向终点C运动（点P与点D不重合），当点P出发后，作，点E在直线上，将沿PE翻折到处，设运动时间为． (1)的长为 ； (2)用含t的代数式表示的长度； (3)当点Q落在矩形的对角线上时，求t的值．（求出一个即可） (4)连接，当直线经过矩形的边的中点时，直接写出t的值．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3)当或时，点落在矩形的对角线上 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质结合勾股定理计算即可得出答案； （2）分两种情况：当时；当时；分别表示出即可； （3）分两种情况：当点落在矩形的对角线上时，根据三角形面积公式计算得出结果；当点落在矩形的对角线上时，则，证明，计算即可得出答案； （4）分两种情况：当直线经过矩形的边的中点时；当直线经过矩形的边的中点时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴； （2）解：由题意得：当时，；当时，， ∴； （3）解：如图，当点落在矩形的对角线上时， ， 由折叠的性质可得：， 由矩形的性质可得：， ∵， ∴， 解得：； 如图，当点落在矩形的对角线上时，则， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述，当或时，点落在矩形的对角线上； （4）解：如图，当直线经过矩形的边的中点时， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，当直线经过矩形的边的中点时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)t的值为2或 (4)， 【分析】（1）运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合运动方向和运动速度列式作答即可． （3）依题意，进行分类讨论，当①当点M落在上时，且结合图形，由正方形的性质得出，证明，列式计算，得出；②当点M落在上时，过点Q作于点K，由正方形的性质证明，，然后证明，得出，然后得，则，进行即可作答． （4）依题意，当点的中点F落在边上，作图，结合正方形的性质，证明，列式，结合（3）②可知，，则，计算出，则，再结合勾股定理，即可得出进行作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动， ∴， ∴； （3）解：依题意，①当点M落在上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点M落在上时，如图2， 过点Q作于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 在和中． ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴当正方形的顶点M落在的边上，t的值为2或 （4）解：当点的中点F落在边上时，如图3， 过点Q作于点E， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）②可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值； (4)直接写出点B关于直线AP的对称点落在内部时t的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3)或或 (4) 【分析】（1）分点在边上和点P在延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列出方程求解即可； （3）先求得，再分与两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可； （4）考虑极值情况，即落在边上和落在边上两种情况，分别利用相似三角形的性质和勾股定理求出对应的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， 当点P与点C重合时，则，解得， 当点Q与点D重合时，则， ∵当点Q到达点D时，两点同时停止运动， 当时，， 当时，； （2）当时，如图1，，则，    ∴， ∴，解得； 当时，如图2，，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，的值为或； （3）∵点M为DQ的中点，， ∴， ∴， 当，，且时，如图3，    则， ∴，解得； 当，，且时，如图4，    则， ∴，解得； 当，，且时，如图5，    则， ∴，解得； 当，，且时，如图6， 则， ∴，解得，不符合题意，舍去， 综上所述，的值为或或； （4）连接，如图7， ∵点与点B关于直线AP对称， ∴AP垂直平分， ∴，， 当点落在AC上时，如图7，    ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当点落在CD上时，如图8，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点落在内部时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、列代数式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 6．如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或或． 【分析】（）当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果； （）证明从而得出，进一步得出结论； （）分当时和当时两种情况分析即可； （）分为点到和距离相等和到和的距离相等两种情形，当到和的距离相等时，可推出是等腰三角形，从而得出，当到和的距离相等时，可推出，进一步得出结果． 【详解】（1）∵， ∴， 当点在线段上时，， 当当点在线段上时，， 综上所述：； （2）如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（）得， 由题意得：， 如图，当时， ， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，, ∴，， 则， ∴， ∴； （4）如图， 当点到和距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到和的距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，延长交于，作， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 类型七、一元二次方程的新定义 1．阅读材料： 材料1：一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造． 例如，如果实数m、n满足、，且，则可将m、n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造． 例如，如果实数a、b满足、，则可以将a、b看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、n满足，，且，求值． (2)已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：，实数m、n满足，， ∴、 可看作方程的两根， ， ； （2）解：∵、， ∴将，看作是方程得两实数根； ， 而， ，即 c的最大值为2． 2．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； 3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，通过计算，判断一元二次方程是不是“倍根方程”； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求a、b、c之间的关系． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系， （1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：，即， 解得和， 故一元二次方程是“倍根方程”． （2）由题意可设：与且是方程的两个根， ∴， 解得：，； （3）设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 4．定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ． (1)写出一元二次方程的“友好方程 ” ； (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ； (3)已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根． 【答案】(1) (2)；；互为倒数 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证，； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程 ” 的两根为，，因此方程的两根，，即，，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； （2）解：对于方程， ， 解得，， 根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数；证明如下： 一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根，， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；；互为倒数； （3）解：方程的两根是，， 该方程的“友好方程”的两根为，， 则方程的两根，， 即，， 整理方程得， 关于x 的方程的两根为，． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”． (1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ． (2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）解方程后，根据定义即可求P点坐标； （2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求． 【详解】（1）解：解方程得，， ∴该方程的“友好点”P的坐标为， 故答案为：； （2）的解为或， 当时，， 此时， 由题意可得， 解得； 当时，， 此时， ∴， ∴； 当时，， 此时， 解得；综上所述：m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程的友好点为， ∴方程为 ∴． 6．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)k的值为2 (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． 类型八、相似中的新定义 1．在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． (1)在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ； (2)已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)① 或；② 或 【分析】（1）根据点坐标的规律计算方法即可求解； （2）根据点坐标的计算方法表示出点的坐标，①根据第一、三象限角平分的性质，图形结合分析即可求解；②分别表示出点的坐标，可得点是点关于轴对称的点，根据四边形的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：已知点和点，称点为点和点的“倍差点”， ∵，点和点的“1倍差点”， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴是点和点的“1倍差点”， 故选：； （2）解：已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，且， ∴， ∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴，即， ∴， ①点是整点，且， ∴， ∴， 如图所示， 三角形内部（不包括边界）整点的坐标有：或； ②点和点关于轴对称，且 ∴， ∵点为点和点的“倍差点”， ∴，即， ∵， ∴点与点关于轴对称， 当四边形内部（不包含边界）至少有3个整点时，如图所示， 即四边形，四边形之间， ∴， 解得，； 四边形内部（不包含边界）至多有7个整点时，如图所示， 即四边形内部， ∴， 解得，， 综上所述，的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要考查四边形与平面直角坐标系的综合题型，掌握平面直角坐标系中点的特点，点坐标的新运算规律，关于点的对称点的特征，构造方程求解，不等式的性质等知识是解题的关键． 2．阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．已知点和点． (1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是________； (3)若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型． （1）直接根据“型平移”定义求解即可； （2）直接根据“型平移”定义求解得、坐标，进而根据纵坐标为2判断即可； （3）根据“型平移”定义结合图象，求得t的最大值和最小值即可得到结论． 【详解】（1）解：将点进行“1型平移”的对应点的坐标为，即， 故答案为： （2）解： ∵,， ∴将线段进行“型平移”后得到线段，,, 在网格中画出线段如图所示；    ∴线段上的点纵坐标都为0, ∵点，，， ∴在线段上的点是, 故答案为：。 （3）解：∵线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点， ∴分以下两种情况讨论： ①当平移后与轴相交，则， 解得：， ②当平移后与轴相交，则，解得：， 综上所述，的取值范围是或 3．在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义，当时，我们称点P为“纵高点”．例如点， ， 都是“纵高点”． (1)在点，， ， 中，其中 “纵高点”有_________________； (2)将点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ①当点M在y轴上时，如果点是纵高点，那么n的取值范围是_______________； ②当时，连接，若线段上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)A，C，D (2)①或；② 【分析】本题考查了坐标与图形，新定义，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，求出特殊位置时的值． （1）根据题干中给出的定义判断即可； （2）①先根将点M平移得出坐标然后根据M在y轴上，求出坐标，再根据点是纵高点，求出不等式的解集即可 ②根据时，得出，，然后根据“纵高点”定义，解不等式组的解集即可； 【详解】（1），，符合“纵高点”定义， ，，，不符合“纵高点”定义， ， ，符合“纵高点”定义， ， ，，符合“纵高点”定义， 故答案为：A，C，D （2）点先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点． ， ①M在y轴上， ， 点是纵高点， ， ，， 解得：或； 故答案为：或； ②当时，线段上任意一点都是“纵高点”， ，都是“纵高点”， ， 解得：； 4．数学活动：某数学兴趣小组想探究任意四边形的中点四边形的形状与原四边形的边、对角线的关系； 定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． [操作]如图1，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F，G，H得到中点四边形． [猜想]（1）填空：任意一个四边形的中点四边形是___________________； [证明]（2）请补全以下求证内容，并完善证明过程； 已知：点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，顺次连接点E，F， G， H 得到中点四边形． 求证：______________________． 证明： [应用]（3）如图2，在四边形中，，，，的中点分别为P， Q，M，N，在上取一点E，连接，，和恰好是等边三角形，当点A到点C的距离为2时，求四边形的周长． 【答案】（1）平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形．证明见解析； （3）４. 【分析】此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定，等边三角形的性质，三角形的全等以及菱形的判定，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键 ． （1）根据图形，猜想任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）连接，利用三角形中位线的性质，即可判定四边形是平行四边形． （3）连接，，利用等边三角形，证明，得到，从而证明四边形为菱形，且边长为1，即得解． 【详解】（1）猜想：根据题意，猜想任意任意一个四边形的中点四边形是平行四边形； （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：连接，如图所示， 是的中点，是的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形． （3）连接，，如图所示， 和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 第（2）问已证明四边形是平行四边形． 且，， ， 四边形是边长为１的菱形． 四边形的周长为４. 5．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线． 【问题探究】 （1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可）； 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，求证：是四边形的“相似对角线”； 【拓展应用】 （3）如图3，已知是四边形 “相似对角线”， ，连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． （1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置； （2）根据，平分，可得，由三角形内角和定理得到，又由得到，则 ，即可证明； （3）先判断出，得出，再求出，进一步即可求得的值． 【详解】解：（1）如图1所示， 即为所求；    由题意可得， ∵四边形是以为“相似对角线”的四边形， ①当时，， ∴， ∴， ∴， ①当时，， ∴， ∴， ∴； （2），平分， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，    ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． ∵， ，， ∴， ， 过点E作于点Q，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 6．我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形． (1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子． (2)如图1，，，，分别是四边形的边，，，的中点，已知四边形是菱形，求证：四边形是和美四边形； (3)如图2，四边形是和美四边形，对角线，相交于，，、分别是、的中点，求与之间的数量关系． 【答案】(1)矩形是和美四边形； (2)见解析 (3) 【分析】（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选一个即可； （2）根据三角形中位线性质可得； （3）连接并延长至，使，连接、、，先证四边形是平行四边形，可得，，可得，可得是等边三角形，所以，由三角形中位线性质得． 【详解】（1）解：矩形的对角线相等， 矩形是和美四边形； （2）如图1，连接、， ，，，分别是四边形的边，，，的中点， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是和美四边形； （3）， 证明：如图2，连接并延长至，使，连接、、， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵四边形是和美四边形， ∴， ∴， 是等边三角形， ， 中，，， ． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识解题的关键． 类型九、函数中的相似 1．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f，主光轴，A，B，C，D都在l上，其中O是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h，像高为，物距为u，像距为v． (1)若，，， ． (2)求证． (3)当f一定时，画出v与u之间的函数图象，并结合图象描述v是怎么随着u的变化而变化的？ 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)图象见解析；v随着u的增大而减小 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行线的性质，画函数图象，从函数图象中获取信息，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，数形结合． （1）证明△△，得出，得出，证明，得出，求出即可；由，解得：； （2）证明，得出，求出，证明，得出，得出，求出，得出； （3）先列表，再描点，然后连线即可画出函数图象，根据函数图象得出随着的增大而减小． 【详解】（1）根据题意可知，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：，即； ，即， 解得：，即； 故答案为：30； （2）证明：根据题意可知，，，， ， ， ，即， 整理得：， ，， ， ， ， ，即  ， ，， ， ， ； （3）列表： 描点、连线： 根据函数图象可知，随着的增大而减小． 2．如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. (1)求直线的函数解析式： (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点 P，交直线于点Q. ①若的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线的解析式为； (2)①点M的坐标为或；②点P的坐标为或． 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，根据题意列式计算即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①设，则点，， 则， ∵的长为4， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先求得，，设直线所对应的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设正方形的边长为，证明，利用相似三角形的性质求得，再证明，据此求解即可； （3）求得，，同理证明，利用相似三角形的性质求得，整理后即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴，， 设直线所对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，则， 即， 解得，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，则， 即， 整理得． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．证明是解题的关键． 4．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 5．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过点C的直线（m，n为常数）与x轴交于点B，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点P是直线上一动点，当与相似时，求点P的坐标； (3)如图2，在平面内有一点，连接交x轴于点N，连接，在平面内是否存在点Q，使得，且，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点C，点B的坐标，代入解析式即可解答； （2）由（1）可得，求出，分与两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）先求出，由可证明，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ； （2）解：由（1）知，，，点P在直线上， ， ， 设点， ， 与相似有两种情况， 当时， ，即， ，， ， 设的边上的高为h， ， ， ， ， ； 当时， ，即， ，， ， ， ， ； 综上，与相似时，点P的坐标为或； （3）解：如图，延长交y轴于H， 直线的解析式为 当时，， ， 直线的解析式为 当时， 如图，当点Q在上方时，连接， 当点在下方时， 点A是的中点， 综上所述，点Q的坐标为：或． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、． (1)求的面积； (2)延长交于点，当时，求的长； (3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解； （3）先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标解题即可． 【详解】（1）解：的图象经过点 ， 轴， ， ∴点的坐标为， 轴，点在函数图象上 ∴点的坐标为， ∴ ， （2）， ， ， 点的纵坐标 由反比例函数 ， 点的横坐标， 设直线的解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 当时，， ∴； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ∴， 即， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 线段为较长直角边作，使与相似， ∴， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点的坐标为或． 类型十、相似中的无刻度尺作图 1．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． (1)的面积为________． (2)图①中，画出的中线AD； (3)图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用的面积等于矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可求解； （2）根据矩形的性质对角线相互平分即可得到的中点，连接即可； （3）根据相似三角形的判定与性质，中线平分面积的方法作图即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：4． （2）解：如图所示 根据网格特点，四边形为矩形，连接交于点 即为的中线 故如图所示即为所求： （3）解：如图所示， 根据网格的特点，， 又， ， 故如图所示即为所求： 2．如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)如图，先画点使四边形为平行四边形，连接交于点，再在上画点，使； (2)在图中，先在内部画格点，连接，，，使，再画点关于的对称点． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）根据平行四边形的判定作出图形，取的中点，连接即可； （）取格点，连接，，，取格点，，连接，，取的中点，的中点，连接，交于点，点即为所求； 本题考查作图——轴对称变换，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）如图， ∴四边形即为所求，点即为所求； （2）如图， ∴点，即为所求． 3．如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，在边上找中点P，连接，则与的数量关系是________； (2)在图2中，在边上找一点Q，连接，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中线的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）找到格点，使得四边形是矩形，连接，交于点，连接，则线段即为所求； （2）找到格点使得，连接交于点，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ； 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、均在网格上． (1)线段的长为__________． (2)在图①中，在线段上画出点，使． (3)借助网格，用无刻度的直尺在上作出点，使．（要求保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）根据勾股定理即可求解； （）利用平行线分线段定理找点即可； （）取格点，连接，与相交于点，点即为所求； 本题考查了勾股定理，平行线等分线段定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 即， 故图①中，点即为所求； （3）解：取格点，连接，与相交于点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，故点即为所求． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，三点是格点，点是与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，取的中点，的中点，连接，再作平行四边形； (2)在图2中，在上画出一点，使； (3)在图3中，点在格点上，连接，，在上画点，使平分四边形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查三角形的中线，相似三角线的判定和性质，平行四边形的判定和性质： （1）作的中点，连接，则平行四边形即为所求； （2）找到格点，使得，连接交于点，则点即为所求； （3）连接，取的中点，过点作，交于点即可． 【详解】（1）解：如图所示，作的中点，连接，则平行四边形即为所求， （2）如图所示，找到格点，使得，连接交于点，则点即为所求，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图：点即为所求； 由作图可知：， ∴， ∵（平行线间的距离处处相等）， ∴． 6．如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长； （2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求； （2）如下图，，四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$