期中考前满分冲刺之基础常考题-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式有意义 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 5．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 6．若有意义，则的取值范围是 ． 类型二、比例尺 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 2．在比例尺是的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 3．在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 4．在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米． 5．在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为 千米． 6．已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 类型三、比例线段(含中项) 1．下列四组线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．， ，， D．，，， 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是 厘米． 5．若x是4和16的比例中项，则 ． 6．线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 类型四、黄金分割 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是　　 A． B． C． D． 2．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 4．已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为 5．已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 6．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 类型五、同类、最简二次根式 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 5．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ． 类型六、平行线分线段成比例 1．如图，若直线，且，，，则（   ） A．4 B．6 C．3 D．16 2．如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，若，，，则的长为 ． 5．如图，，则 ．    6．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 类型七、相似三角形的判定 1．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 3．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似． 4．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 5．如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 6．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 类型八、一元二次方程的应用 1．某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 2．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，则这个小组的同学共有（  ） A．15人 B．14人 C．13人 D．12人 3．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    4．某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 5．如图，已知在中，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，几秒时的面积的最大值？最大值为多少？ 6．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． (1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． (2)不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 类型九、根式运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是 ． 4．计算： ． 5．计算题： (1)； (2)； (3)． 6．计算 (1) (2) (3) 类型十、解一元二次方程 1．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 3．方程的解是 ． 4．方程的解是 ． 5．解方程： (1)． (2)． 6．解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）； (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之基础常考题思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式有意义 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列式计算即可得出答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 由二次根式在实数范围内有意义可得，然后求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故选：B． 3．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解∶∵代数式 有意义， ∴， 解得， 故选∶B． 4．使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 5．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 6．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查求代数式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 类型二、比例尺 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 2．在比例尺是的贺州市城区地图上，向阳路的长度约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺，设实际长度为，根据比例尺得，进而可求解，熟练掌握比例尺的性质是解题的关键． 【详解】解：设实际长度为， 依题意得：， 解得：， ， 故选A． 3．在一幅比例尺为的地图上，量得某座大桥长厘米，这座大桥的实际长度是（    ） A．55米 B．10千米 C．55千米 D．千米 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：（厘米）， 厘米千米． 故大桥的实际长度是55千米． 故选：C． 4．在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为 米． 【答案】150 【分析】本题考查了成比例线段，根据在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为计算即可得出答案，注意单位的换算． 【详解】解：在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离为，则甲、乙两地的实际距离为， 故答案为：． 5．在比例尺是的无锡交通图上，某校两校区之间距离为厘米，则两校区之间的实际距离为 千米． 【答案】 【分析】主要考查了对比例尺的应用，根据实际距离图上距离比例尺，即可求解，注意单位的统一． 【详解】解：设它们之间的实际距离约为x千米，，，则 ， 解得：， 故答案为：． 6．已知，在一张比例尺为的地图上，测得、两地的距离为4厘米，则、两地的实际距离为 ． 【答案】/20千米 【分析】本题考查了比例线段，能够根据比例尺的定义正确地列出比例式是解题的关键，注意单位之间的转换．根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离． 【详解】解：设、两地间的实际距离为，由题意，得： ， 解得． ， 即、两地的实际距离为． 故答案为：． 类型三、比例线段(含中项) 1．下列四组线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．， ，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； B、，这些线段是成比例线段，故该选项正确； C、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； D、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； 故选：B． 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∴， 故选：C． 3．下列各组线段中，能够组成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 4．已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可求解，根据比例中项的定义列出比例式是解题的关键． 【详解】解：∵线段和的比例中项为， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 5．若x是4和16的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义，列式计算即可． 【详解】解：∵x是4和16的比例中项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．线段a、b、c、d成比例，其中，，，则 ． 【答案】1或4或9 【分析】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 类型四、黄金分割 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ． ． ． 经检验：是原方程的根， ．， 故选：C． 2．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据黄金分割的定义得出，从而表示出，然后得出，最后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 6．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况进行计算是解题的关键． 设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置， 分两种情况： 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：主持人应走到离点7.6或12.4米，就处在比较得体的位置， 故答案为：7.6或12.4． 类型五、同类、最简二次根式 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，化简二次根式，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式是二次根式叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，二次根式的化简及计算，根据同类二次根式的概念“被开方数相同，根指数也相同的最简二次根式”，二次根式的性质化简，可得，由此即可求解． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故选：C ． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解题的关键在于明确最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足两个条件进行判断即可． 【详解】A、，选项不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，选项不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 4．下列根式中，是最简二次根式的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是最简二次根式； 故答案为：． 5．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 6．若最简二次根式与是同类二次根式，则这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2． 根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 类型六、平行线分线段成比例 1．如图，若直线，且，，，则（   ） A．4 B．6 C．3 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图所示，已知直线，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】， ，故A选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，故C选项不正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：D． 3．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：， ， 直线， ， 故选：B 4．如图，已知，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，，则 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：6． 6．如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为． 类型七、相似三角形的判定 1．在和中，，下列不能判定这两个三角形相似的是（     ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A、， ， ， ， 又∵， ，故该选项不符合题意； B、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； C、，，，， ， 不能判定这两个三角形相似，故该选项符合题意； D、，，，， ， ， ，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 3．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似． 【答案】或或，（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在和中，； 若两个三角形相似，可添加的条件为： ①，符合两角相等的两个三角形相似； ②，符合两角相等的两个三角形相似； ③，即，符合两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 故答案为：或或，（答案不唯一）． 4．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 5．如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证．本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ∴． 6．如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 类型八、一元二次方程的应用 1．某农机厂一月份生产零件万个，第一季度生产零件万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件平均每月的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该厂生产零件平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：． 2．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，则这个小组的同学共有（  ） A．15人 B．14人 C．13人 D．12人 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个小组的同学共有x人，则每个人都要送张贺卡，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个小组的同学共有x人， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴这个小组的同学共有13人， 故选：C． 3．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 4．某种植物的主干长出x根支干，每根支干又长出x根小分支，若主干、支干和小分支的总数共133根，依据题意列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设每个支干长出个小分支，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 5．如图，已知在中，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，几秒时的面积的最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)2或3 (2)秒时，的面积最大值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用； （1）根据题意可以求得对应运动时经过的路程，利用三角形面积公式即可求的时间； （2）根据题意列出代数式，根据配方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒以后的面积等于， 则， 整理得：， 解得：或． 答：2秒或3秒后的面积等于． （2）解：经过x秒以后的面积为，则 ， ∴当时，的面积最大为； 答：当秒时，的面积最大值为． 6．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． (1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． (2)不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【答案】(1)， (2)0.4 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． （1）零售单价下降m元，每天可多卖出只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价m元后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得； （2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可． 【详解】（1）解：由题意得：零售单价下降m元，每天可多卖出粽子（只）， 则该店平均每天可卖出的粽子数量为只， 降价前卖出1只粽子的利润是1元， 降价m元后，卖出1只粽子的利润为元， 则每天的利润为元， 故答案为：，； （2）由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， ∵要求卖出的粽子更多， ， 答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 类型九、根式运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行判断即可． 【详解】解：不存在 ，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误． 故选B． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，负整数指数幂．根据二次根式的性质，完全平方公式，负整数指数幂逐一判断可得． 【详解】解：A、没有意义，此选项不符合题意； B、，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，先化简，再加减，据此求解即可． 【详解】 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．熟知二次根式的乘法计算法则，求一个数的算术平方根，是解题的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算，再求算术平方根即可． 【详解】． 故答案为：5． 5．计算题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除运算法则以及零次幂的性质计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法和减法运算求解； （2）根据二次根式的性质化简，进而根据二次根式的加减法运算求解； （3）根据乘法公式先去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 类型十、解一元二次方程 1．已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴这个方程为， 故选：B． 2．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用平方根定义，用开平方方法即可解方程． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选D 3．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，可以先因式分解，再分别令两个一次因式为零即可求解． 【详解】解： 或 故答案为： ． 4．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 故答案为：． 5．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是会因式分解与牢记公式． （1）可以先提出公因式,再分别令两个因式为零即可求解． （2）可以利用公式法求解,即先求出根的判别式，再代入求根公式即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 令 ∴ ∴． 6．解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项再利用直接开平方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得； （3）利用配方法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得； （2）∵， ∴， 则或， 解得； （3）∵， ∴， 则，即， ∴， ∴； （4）∵， ∴， 则或， 解得． 1 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