精品解析：河南省周口市鹿邑县2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024~2025学年度上学期10月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 4. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C. 不能表示过点且斜率为的直线方程 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 13. 已知向量若共面，则____________ 14. 如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. （1）当时，求直线的方程； （2）针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期10月质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以. 故选：A. 2. 已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选:B 3. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 4. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 5. 已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 7. 已知实数满足，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到点在线段上移动，且，，设，利用斜率公式，求得的值，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由题意知，点满足关系式，且， 可得点在线段上移动，且，，如图所示， 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是. 故选：D. 8. 在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率 B. 若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C. 不能表示过点且斜率为的直线方程 D. 设，若直线与线段有交点，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率及斜率坐标运算逐项分析判断即得. 【详解】对于A，任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率，A正确； 对于B，若直线的斜率为，此时的倾斜角为，B错误； 对于C，由，得不能表示经过点的方程，C正确； 对于D，直线过定点，直线的斜率，直线的斜率， 依题意，或，解得或，D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点到平面的距离是定值 C. 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确.故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 已知向量若共面，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】由条件，根据空间向量基本定理即可列方程组求解。 【详解】因为共面，所以存在实数，使得， 即， 即，解得． 故答案为： 14. 如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，建立空间直角坐标系，引入参数，设，且，得出，得出平面的一个法向量为，通过换元法，进行求解． 【详解】取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，且， 因为为的中点， 故，于是， 平面的一个法向量为， ， 设，则，， 故，即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 16. 如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值． 【答案】（1） ∵是直三棱柱，∴， 又点E，F分别为棱的中点，∴， ∴四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证为平行四边形，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，直三棱柱中， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 于是， 设直线与直线的夹角为， 则， 则直线与直线的夹角的余弦值为． 17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且. （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再由条件推导平面，得到即可证得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形； 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，所以， 故可取， 设直线与平面所成角的大小为， 所以 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. （1）当时，求直线的方程； （2）针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 【答案】（1）或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得的面积为，结合，得到，分类讨论，即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合的取值和一元二次方程的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，直线的斜率存在，且， 则直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以的面积为； 因为，可得， ①当时，方程化为，解得或1， 此时直线的方程为：或； ②当时，方程化为，此时，方程无解（舍去）， 综上可得，当时，直线的方程为或. 【小问2详解】 解：由，可得方程， ①若时，方程化为，此时， 可得，方程有两正解，即有两条直线； ②若时，方程化为， 当时，，方程无实数根，此时无直线； 当时，，方程有一负根，此时有一条直线； 当时，，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，当时有两条直线；当时有三条直线；当时有四条直线； 所以，当时，集中的元素有2个；当时，集合中的元素有3个；当时，集合中的元素有4个. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2）① 2；② 【解析】 【分析】（1）利用三角函数先证，记，连接，再证平面，得，由线线垂直即可推得线面垂直； （2）①通过建系，写出相关点和向量坐标，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得；② 分别求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 在矩形中，，且是的中点， ，故， 又，则，即， 如图，记，连接， 因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面，故平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 ①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $