3.3从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式【7大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.3从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式 【考点梳理】 考点一：一元二次不等式的解法 考点二：由一元二次不等式来确定参数 考点三：一元二次不等式恒成立问题 考点四：一元二次不等式在某个区间成立问题 考点五：一元二次不等式在某个区间有解问题 考点六：一元二次不等式的实际应用问题 考点七：含参数的一元二次不等式的解法 【知识梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·江苏淮安）解不等式 (1) (2) (3) (4) 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 3．（2023高一·江苏·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 题型二：由一元二次不等式来确定参数 4．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 6．（23-24高一上·河南濮阳）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型三：一元二次不等式恒成立问题 7．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题 10．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 11．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 12．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题 13．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若存在，不等式成立，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 15．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 题型六：一元二次不等式的实际应用问题 16．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 17．（23-24高一上·福建厦门）厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.    (1)若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？ 18．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 题型七：含参数的一元二次不等式的解法 19．（2024高三·全国）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 20．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当，求的最小值； (2)解不等式 21．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（其中，）. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当，时，求不等式的解集. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高一上·江苏南通）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 23．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 24．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 26．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 27．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 31．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 33．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 34．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题 35．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是 . 36．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）关于不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 37．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 38．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 39．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题 40．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． (2)． (3)． 41．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知方程，且方程有两个大于1的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)若存在实数k，使，求实数x的取值集合. 42．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 43．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 45．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3从函数的观念看一元二次方程与一元二次不等式 【考点梳理】 考点一：一元二次不等式的解法 考点二：由一元二次不等式来确定参数 考点三：一元二次不等式恒成立问题 考点四：一元二次不等式在某个区间成立问题 考点五：一元二次不等式在某个区间有解问题 考点六：一元二次不等式的实际应用问题 考点七：含参数的一元二次不等式的解法 【知识梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（24-25高一上·江苏淮安）解不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2). (3)或. 【分析】（1）（2）（3）利用求解二次不等式的方法和求解分式不等式的方法求解即可. 【详解】（1）由题设，解集为； （2）由，解集为. （3）由， 所以，解得：或. 3．（2023高一·江苏·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或. (2)或. (3) 【分析】（1）把不等式化为乘积形式，之后求一元二次不等式的解集即可； （2）把不等式整理为乘积形式，之后求一元二次不等式的解集； （3）可先把不等式化为一般形式，再配方整理，之后求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）不等式可化为，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式可化为，解得或， 所以原不等式的解集为或. （3）不等式可化为， 即，解得，所以原不等式的解集为. 题型二：由一元二次不等式来确定参数 4．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 6．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型三：一元二次不等式恒成立问题 7．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为不等式的解集为，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值. 【详解】因为命题为真命题，所以不等式的解集为. 所以：若，则不等式可化为 ，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知： . 综上可知： 故选：D 8．（23-24高一上·北京·期中）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】当时，原不等式为：，对恒成立； 当时，原不等式恒成立，需，解得， 综上得． 故选：C． 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可得不等式对任意实数均成立，分和，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】因为不等式对任意实数均成立， 即不等式对任意实数均成立， 当，即时，有恒成立，满足题意； 当，即时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为． 故选：B． 题型四：一元二次不等式在某个区间成立问题 10．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 11．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案． 【详解】由题意得：，成立是真命题， 故在上恒成立， 由基本不等式得：，当且仅当， 即时，等号成立， 故， 故选：A． 12．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知关于不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解最值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式恒成立，所以，则， 令，，则，当时，取得最大值，最大值为0， 所以，解得或． 故选：D． 题型五：一元二次不等式在某个区间有解问题 13．（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 14．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若存在，不等式成立，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】分离参数，将问题转化为求函数最大值问题，然后利用二次函数性质可得. 【详解】原问题等价于当时， 令， 由可知，当时，， 所以. 故选：A 15．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型六：一元二次不等式的实际应用问题 16．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 17．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.    (1)若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围； (2)若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？ 【答案】(1) (2)20cm 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出的取值范围； （2）设宣传单的面积为，，表达出，利用基本不等式求出面积最小值和的大小. 【详解】（1）依题意可得， 即， 解得， 又∵， ∴， 故的取值范围为. （2）记宣传单的面积为，设，则， ∴， 当且仅当，即，等号成立， ∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为. 18．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 题型七：含参数的一元二次不等式的解法 19．（2024高三·全国）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 20．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当，求的最小值； (2)解不等式 【答案】(1)2 (2)答案见解析． 【分析】（1）由基本不等式求最小值； （2）根据的取值分类讨论求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以； （2）时，不等式为，， 时，不等式化为，时，，不等式解为， 时，不等式无解， 时，不等式解为， ，不等式化为，或， 综上，时，解集为，时解集为，时解集为，时，解集为，时，解集为． 21．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（其中，）. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当，时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和2为方程的两根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 所以和2为方程的两根，且， 则，解得，， 所以. （2）当时，由， 即， 当时，不等式为，即； 当时，不等式为， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【高分达标】 一、单选题 22．（23-24高一上·江苏南通）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 23．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若关于的不等式的解集为，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集得出相应方程的根，再用韦达定理可求. 【详解】不等式的解集为， 则方程的两根为， 由韦达定理得：，， 可得， 故. 故选：. 24．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 25．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 26．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】因为是不等式的解集， 所以是方程的两个实数根且， 所以，， 所以，且，； 所以， 当且仅当时“”成立； 所以的最小值为． 故选：A． 27．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可. 【详解】对于，即， 所以，解得或， 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以， 所以区间D可以为. 故选：B. 28．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设的解集为，从而得，进而得到且，又，为方程的两个根，可得，由此得到关于的不等式组，解之即可得解.． 【详解】因为， 不妨设的解集为，则由得， 所以， 又，，所以且， 因为的解集为，所以是，即的两个根， 故，即， 此时由，得，则， 因为，显然，且开口向上，对称轴为， 所以，则， 又，解得，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设的解集为，进而得到且，从而得解. 29．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得； ②当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 二、多选题 30．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】利用二次不等式的解集与首项系数的关系可判断A选项；利用韦达定理可判断BC选项；化简所求不等式，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为不等式的解集为或， 则，故A正确； 对于BC选项，由题意可知是关于的二次方程的两根， 则，可得， 所以，故BC正确； 对于D选项，由可得，即， 即，解得， 故不等式的解集为，D错误. 故选：ABC. 31．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集. 【详解】对于一元二次不等式，则 当时，函数开口向上，与轴的交点为， 故不等式的解集为； 当时，函数开口向下， 若，不等式解集为； 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 故选：ACD 32．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 33．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围，得到答案. 【详解】当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确. 故选：BCD 34．（23-24高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 35．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知命题p:“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，结合二次函数性质可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，一元二次不等式是真命题. 则，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）关于不等式的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据二次项的系数分类为，.当时，显然成立，当时，则二次函数开口向下，且与轴无交点，进而有，可得. 【详解】当时，原不等式可化为，显然成立， 当时，因关于不等式的解集为， 则，解得， 综上可知，实数的取值范围为， 故答案为： 37．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 38．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由韦达定理得到，再代入不等式中，消去，最后解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是的两个根，且 所以，即， 所以变为， 所以， 解得， 故答案为：. 39．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增， 且当时，；当时，. 由在时恒成立， 则当时，恒成立； 当时，恒成立. 故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立. 故答案为：. 四、解答题 40．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． (2)． (3)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合一元二次方程与一元二次不等式的关系可得的关系及范围，然后结合一元二次不等式的求法即可求解. （2）由已知可得，可得，求解即可； （3）因式分解可得，结合数的乘法运算的符号法则可得结论. 【详解】（1）因为不等式的解集是， 所以和2是方程的两个根，且， 由韦达定理可得，，解得， 所以不等式，可化为， 又，不等式化为，解得， 即不等式的解集为. （2）因为，所以，即， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为解得或， （3）因式分解得， 结合符号运算可得不等式的解集为. 41．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知方程，且方程有两个大于1的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)若存在实数k，使，求实数x的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程两根的分布列出不等式组求解即可； （2）变换主元，看作关于的一次函数，利用最大值建立不等式求解即可. 【详解】（1）方程，有两个大于1的实数根， ， 由题意可得 ， 即，解得， 所以实数k的取值范围是 . （2）因为，视为关于k的单调递增的一次函数， 故只需， 即， 故，得实数x的取值集合为 . 42．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 43．（23-24高一上·河北石家庄·期中）解决下列问题. (1)已知关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解； （2）分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题列式求解； 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知，且和是关于的方程的两个实数根， 则，解得. （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，成立， 当时，满足，解得， 综上：实数的取值范围 44．（23-24高一上·重庆·期末）已知关于的不等式. (1)若该不等式的解集为，求和的值； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式的解得二次方程的根，利用韦达定理建立方程求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次方程的根为， 由韦达定理可得，解得； （2）若，则不等式为，即， 令，得，当，即时，； 当，即时，无解；当，即时，. 综上：时，解集为；时，解集为；时，解集为. 45．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式解集和最值列方程组求解可得； （2）分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由条件知：， 由①知：的两根为， 所以， 由②结合对称性可知： 联立，解得. （2）因为， 即， 化简得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$