精品解析：山东省济南市济南兴济中学2024-2025学年九年级上学期数学阶段考试试卷 （10月）

九年级数学阶段测试题 时间：90分钟 满分100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可； 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm， ∴d＝4cm； 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质即可得． 【详解】， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 3. 已知点M (－2，6)在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是 （ ） A. (2， 6) B. (－6，－2 ) C. (6，2) D. (2，－6) 【答案】D 【解析】 【分析】将点的坐标带入解析式，再逐个检验选项即可. 【详解】将M（-2，6）代入得：6=，k=-12， ∴函数解析式为：y=-．将各点代入得： A．≠6，故本选项错误； B．≠-2，故本选项错误； C．≠2，故本选项错误； D．，故本选项正确. 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质.求出解析式是解题的关键. 4. 已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵﹣2＜﹣1＜0， ∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）位于第三象限， ∴y1＜y2＜0， ∵0＜3， ∴点C（3，y3）位于第一象限， ∴y3＞0． ∴y3＞y2＞y1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线平行线分线段成比例，先求出，然后利用平行线平行线分线段成比例得出，代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 故选：B． 6. 如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ） A. 4．5米 B. 6米 C. 3米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【详解】如图： ∵CD∥BE， ∴△ACD∽△ABE， ∴AC：AB=CD：BE， ∴1：4=1.5：BE， ∴BE=6m． ∴树的高度为6m． 故选B. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方. 8. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 9. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　） A. 9：8 B. 4：3 C. 2：1 D. S1、S2的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设出正方形EFGH的边长为a，先判断出AE＝EH＝CH＝a，得出AC＝3a，设正方形BMNP的边长为b，同样的方法得出AC＝2b，得出a，b的关系，即可得出结论． 【详解】解：图形中相关的顶点记作如图所示， 设正方形EFGH的边长为a， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD＝∠ACB＝45°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EF＝EH＝a，∠AEF＝90°， ∴∠AFE＝45°＝∠EAF， ∴AE＝EF＝a， 同理：CH＝a， ∴AC＝3a， 设正方形BMNP的边长为b， ∵四边形BMNP是正方形， ∴BM＝MN，∠CMN＝90°， ∴∠MNC＝45°＝∠MCN， ∴CM＝MN＝b， 根据勾股定理得，CN＝b， 同理：AN＝b， ∴AC＝2b， ∴3a＝2b， ∴， ∴＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】①四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线，得∠ABD＝∠FBE＝45°，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；④根据两角相等的两个三角形相似得到△EBH∽△DBE，从而得到比例式，根据BE＝BG，代换即可判断；③由相似三角形对应角相等得到∠BAF＝∠BDE＝45°，可得出AF在正方形ABCD对角线上，根据正方形对角线垂直即可判断．⑤设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x，结合BE2＝BH•BD，求出BH，DH，即可判断． 【详解】解：①∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠ABD＝∠FBE＝45°， 又∵∠ABF＝45°−∠DBF，∠DBE＝45°−∠DBF， ∴， ∴选项①正确； ②∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形， ∴AD＝AB，BF＝BE， ∴BD＝AB，BE=BF， ∴， 又∵， ∴， ∴选项②正确； ④∵四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形，BD，BE是对角线， ∴∠BEH＝∠BDE＝45°， 又∵∠EBH＝∠DBE， ∴△EBH∽△DBE， ∴，即BE2＝BH•BD， 又∵BE＝BG， ∴， ∴选项④正确； ③由②知：， 又∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴∠BAF＝∠BDE＝45°， ∴AF在正方形另外一条对角线上， ∴AF⊥BD， ∴③正确， ⑤∵， ∴设CE=x，DE=3x，则BC=CD=4x， ∴BE=，， ∵BE2＝BH•BD， ∴， ∴DH=BD-BH=， ∴， 故⑤错误， 综上所述：①②③④正确， 所以正确的结论有4个， 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案． 【详解】， ， 故2y=x， 则， 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 12. 如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为____________米． 【答案】6 【解析】 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比即可求出． 【详解】解：∵∠CED=∠AEB，CD⊥DB，AB⊥BD， ∴△CDE∽△ABE， 则， 即， 解得：AB=6米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，关键要找准对应线段，要和物理知识相联系，知道入射光线和反射光线与镜面的夹角相等． 13. 如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为_____． 【答案】（3，1） 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标． 【详解】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2）， ∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）． 故答案为：（3，1）． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 14. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】m<－2 【解析】 【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限， ∴m+2<0， 解得m<−2， 故答案为：m<−2. 15. 如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是___m． 【答案】2.4 【解析】 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即， 则， ∴h=2.4m． 故答案为：2.4． ， 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 16. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、正方体展开图．由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，，证明，得出，证明，得出，求出，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】如图： 由题意得：、，是直角三角形，四边形是矩形，，，，，， ，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：16． 三．解答题（共7小题，共52分） 17. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，求代数式的值． 设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】解：∵， ∴设，，（）， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 18. 如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长． 【答案】6 【解析】 【分析】由∠ABC＝∠ACP及∠A＝∠A，可证出△ABC∽△ACP，利用相似三角形的性质，可求出AC的长． 【详解】解：∵∠ABC＝∠ACP，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACP， ∴， 即， ∴AC＝6（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABC∽△ACP． 19. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质作出B，C两点的对应点，然后顺次连接即可； （2）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍． 所以点的对应点的坐标为． 20. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）2或1 【解析】 【分析】(1)证明即可． (2)根据三角形相似的性质，列出方程，计算求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． （1）求证：； （2）若这个矩形的边，则的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设，，设与的交点为点E，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵在矩形中，， 即 ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， 设与的交点为点E， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 解得， ∴ 22. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 23. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在斜边AB上，且满足BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，记旋转角为α，连接AE，BE，以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF，且∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，连接CF． （1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系； （2）当0°＜α＜180°时， ①如图2，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由； ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断△CEF的形状，并证明． 【答案】（1）BE＝2CF （2）①成立，理由见解析；②等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AC＝AB，由旋转的性质可得BD＝DE＝AB，BE＝AB，由直角三角形的性质可求AF＝AE＝AB，即可求解； （2）①通过证明△ABE∽△ACF，可得，可得结论；②过点D作DH⊥BE于H，由等腰三角形的性质可得BH＝HE＝CF，由相似三角形的性质可求∠EFC＝60°，可得结论． 【小问1详解】 解：（1）BE＝2CF，理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴AC＝AB， ∵BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE， ∴BD＝DE＝AB，BE＝AB， ∴AE＝AB， ∵∠AFE＝90°，∠EAF＝60°， ∴∠AEF＝30°， ∴AF＝AE＝AB， ∴CF＝AC﹣AF＝AB， ∴BE＝2CF； 【小问2详解】 （2）①结论仍然成立，理由如下： ∵∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 又∵， ∴△ABE∽△ACF， ∴， ∴BE＝2CF； ②△CEF是等边三角形，理由如下： ∵B，E，F三点共线， ∴∠AEB+∠AEF＝180°， ∴∠AEB＝150°， ∵△ABE∽△ACF， ∴∠AEB＝∠AFC＝150°， ∴∠EFC＝150°﹣90°＝60°， 如图3，过点D作DH⊥BE于H， ∵BD＝DE，DH⊥BE， ∴BH＝HE， ∵BE＝2CF， ∴BH＝HE＝CF， ∵DH⊥BE，AF⊥BE， ∴DHAF， ∴， ∴HF＝2BH， ∴EF＝HE＝BH， ∴EF＝CF， ∴△EFC是等边三角形． 【点睛】此题考查了旋转的性质，直角三角形30度角的性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质和平行线分线段成比例定理，熟记相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段测试题 时间：90分钟 满分100分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. a， b，c，d 是成比例线段，若 a 3cm， b 2cm，c 6cm，则线段d的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 2. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点M (－2，6)在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是 （ ） A. (2， 6) B. (－6，－2 ) C. (6，2) D. (2，－6) 4. 已知都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若，，，则的值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 6. 如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ） A. 4．5米 B. 6米 C. 3米 D. 4米 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 8. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　） A. 9：8 B. 4：3 C. 2：1 D. S1、S2的大小关系不确定 10. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论；①；②；③；④；⑤若，则；其中正确的结论有（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则________． 12. 如图，为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，数学应用实践小组做了如下的探索实践：根据《物理学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图的测量方案：把镜子放在离树（AB）9米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）的高度为____________米． 13. 如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为_____． 14. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 15. 如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是___m． 16. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为______． 三．解答题（共7小题，共52分） 17. 已知，且，求的值． 18. 如图，在△ABC中，点P在AB边上，∠ABC＝∠ACP．若AP＝4，AB＝9，求AC的长． 19. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为． （1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形； （2）已知为内部一点，写出M的对应点的坐标． 20. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． （1）求证：； （2）若这个矩形的边，则的长度． 22. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 23. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点D在斜边AB上，且满足BD＝AB，将线段DB绕点D逆时针旋转至DE，记旋转角为α，连接AE，BE，以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF，且∠AFE＝90°，∠EAF＝60°，连接CF． （1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段CF的数量关系； （2）当0°＜α＜180°时， ①如图2，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由； ②如图3，当B，E，F三点共线时，连接CE，判断△CEF的形状，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $