精品解析：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

普集高中2024－2025学年度第一学期高二第1次月考 数学试题 命题人：党超岗 耿海燕 张焕 审题人：程亚娟 总分值：150分 试题范围：选择性必修1第一章至第二章直线方程 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，空间四边形OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 三点，，在同一条直线上，则值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 6. 设点是点，，关于平面的对称点，则（ ） A. 10 B. C. D. 38 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，，则 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 11. 在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面EFPQ C. 平面EFPQ D. 直线和所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l经过点且其方向向量为则直线l的方程为______. 13. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________. 14. 在直棱柱中，分别是，的中点，．则二面角的余弦值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 17. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 18. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 19. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2024－2025学年度第一学期高二第1次月考 数学试题 命题人：党超岗 耿海燕 张焕 审题人：程亚娟 总分值：150分 试题范围：选择性必修1第一章至第二章直线方程 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，空间四边形OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】， ， 为BC的中点， ， . 故选：D. 2. 已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】因为，所以， 解得， 故选：C. 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断各个选项. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 4. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 5. 三点，，在同一条直线上，则值为（ ） A. 2 B. C. 或 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 6. 设点是点，，关于平面的对称点，则（ ） A. 10 B. C. D. 38 【答案】A 【解析】 【分析】写出点坐标，由对称性易得线段长． 【详解】点是点，，关于平面的对称点， 的横标和纵标与相同，而竖标与相反， ，，， 直线与轴平行， ， 故选：A． 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以. 故选：C. 8. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（ ） A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量与不平行，可判定A错误；由，可判定B正确；由，可判定C不正确；由，可判定D正确. 【详解】对于A中，由直线，的方向向量分别是，， 设，可得，此时方程组无解，即与不平行， 所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由直线的方向向量是，平面的法向量是， 可得，所以，所以，所以B正确； 对于C中， 由直线的方向向量是，平面的法向量是， 可得，可得，所以或，所以C不正确； 对于D中，由两个不同的平面，的法向量分别是，， 可得，所以，则，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量共线可判断A；求出与同向的单位向量可判断B；求出和夹角的余弦值可判断C；求出平面的一个法向量可判断D. 【详解】对于A，，，因为，所以与不是共线向量，故A错误； 对于B，，与同向的单位向量是，故B正确； 对于C，，，，所以和夹角的余弦值是，故C错误； 对于D，，，设为平面的一个法向量， 则，，令，可得， 所以平面的一个法向量是，故D正确. 故选：BD. 11. 在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面EFPQ C. 平面EFPQ D. 直线和所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】A．如图所示， 因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为几何体为长方体，所以平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以，故结论正确； B．如图所示， 假设平面，因为平面，所以， 显然不成立，故假设错误，所以结论错误； C．如图所示， 连接，由条件可知，所以， 又因为，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故结论正确； D．如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角， 由条件可知：，所以，故结论正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l经过点且其方向向量为则直线l的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出斜率，从而利用点斜式写出直线方程，化为一般式. 【详解】由题意该直线斜率为， 所以直线l的方程为：，化为一般式方程为：. 故答案为：. 13. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设，列方程组能求出结果． 【详解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面， 设， ，2，，，， ， 解得，，． 故答案为：． 14. 在直棱柱中，分别是，的中点，．则二面角的余弦值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 由题意可得：平面的法向量， 则， 由图形可知：二面角为钝角，所以其余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 16. ． （1）用向量表示向量，并求； （2）求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以. 【小问2详解】 由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 17. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点， （1）证明：平面AMN∥平面EFBD； （2）求平面AMN与平面EFBD间的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案. 【详解】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)， E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)． 从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， 所以，，所以EF∥MN，AM∥BF． 又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD， 因为MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD； （2）解：因为平面AMN∥平面EFBD， 所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离． 设是平面AMN的法向量， 则有即，可取， 由于＝(0，4，0)， 所以点B到平面AMN的距离为， 所以平面AMN与平面EFBD间的距离为． 18. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以 因为，且， 所以； 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 19. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，然后用空间向量计算垂直，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可；（3）利用向量的投影计算即可. 【小问1详解】 因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 【小问2详解】 因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量. 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $