3.2基本不等式【10大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.2基本不等式 【考点梳理】 · 考点一：由基本不等式比较不等式的大小 · 考点二：基本不等式求积的最大值 · 考点三：基本不等式求和的最小值 · 考点四：二次商式的最值问题（分离常数法） · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式“1”的妙用 · 考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 · 考点八：对勾函数最值问题 · 考点九：基本不等式的实际问题的应用 · 考点十：基本不等式证明不等式问题 【知识梳理】 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【题型归纳】 题型一：由基本不等式比较不等式的大小 1．（20-21高一上·江苏镇江）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 3．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：基本不等式求积的最大值 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高一上·广东韶关）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：基本不等式求和的最小值 7．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（23-24高一上·广西·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 题型四：二次商式的最值问题（分离常数法） 10．（2023高三·全国）函数的最小值为 ． 11．（21-22高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 12．（21-22高一上·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 题型五：条件等式求最值 13．（23-24高一上·安徽马鞍山）已知正实数满足，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 . 15．（22-23高一上·江西·期中）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 题型六：基本不等式“1”的妙用 16．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，求的最小值 17．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 18．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 题型七：基本不等式的恒成立求参数问题 19．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 20．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 21．（22-23高一上·贵州遵义·阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 题型八：对勾函数最值问题 22．（21-22高一上·河南·期中）下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知，函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 题型九：基本不等式的实际问题的应用 25．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      26．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 27．（23-24高一上·江苏·期中）某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 题型十：基本不等式证明不等式问题 28．（23-24高一上·江苏宿迁）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 29．（22-23高一上·江苏盐城）已知证明下列不等式 (1) (2) (3) 30．（22-23高一上·辽宁）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 32．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 33．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 35．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 36．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 37．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 40．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 42．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为3 43．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 44．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 三、填空题 45．（2024高一上·江苏·专题练习）求函数的最大值 46．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 47．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 48．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ． 四、解答题 49．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 50．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 51．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 52．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 53．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2基本不等式 【考点梳理】 · 考点一：由基本不等式比较不等式的大小 · 考点二：基本不等式求积的最大值 · 考点三：基本不等式求和的最小值 · 考点四：二次商式的最值问题（分离常数法） · 考点五：条件等式求最值 · 考点六：基本不等式“1”的妙用 · 考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 · 考点八：对勾函数最值问题 · 考点九：基本不等式的实际问题的应用 · 考点十：基本不等式证明不等式问题 【知识梳理】 知识点一：基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点二：用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【题型归纳】 题型一：由基本不等式比较不等式的大小 1．（20-21高一上·江苏镇江）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，， 所以，，∴.故选：B 2．（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0， ∴＜，故选：B 3．（20-21高一上·上海徐汇·期中）若a，b为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】解：对于①，由重要不等式可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令可知④不正确． 故恒成立的个数为个. 故选：C. 题型二：基本不等式求积的最大值 4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 5．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为，故，即， 当且仅当时，等号成立，所以. 故选：A. 6．（22-23高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【详解】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 题型三：基本不等式求和的最小值 7．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 8．（23-24高一上·广西·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】变形后由基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 9．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，则有（    ） A．最大值 B．最小值9 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】配凑构造基本不等式的形式求解即可. 【详解】因为，故 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 题型四：二次商式的最值问题（分离常数法） 10．（2023高三·全国）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 11．（21-22高一上·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，则，则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 12．（21-22高一上·江苏常州·阶段练习）已知，且，则最大值为 ． 【答案】 【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 题型五：条件等式求最值 13．（23-24高一上·安徽马鞍山）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，即， 因为，可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 15．（22-23高一上·江西·期中）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据已知条件变形，结合基本不等式求得答案. 【详解】∵，∴，又， ∴ ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值4. 故答案为：4. 题型六：基本不等式“1”的妙用 16．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，求的最小值 【答案】24 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值24. 故答案为：24 17．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正实数，满足， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 18．（23-24高一上·江苏南京·期末）若a，b，c均为正数，且，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知a，b，c均为正数，且， 故， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是， 故答案为： 题型七：基本不等式的恒成立求参数问题 19．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为，再利用基本不等式求的最小值可得答案. 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 20．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式 恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【分析】利用配凑法与基本不等式求得的最大值，从而得解； 【详解】因为，所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 故答案为：. 21．（22-23高一上·贵州遵义·阶段练习）若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先把不等式恒成立转化为求的最小值，再解关于的不等式即可． 【详解】两个正实数，满足，， ， 当且仅当，即，时等号成立，， 若不等式恒成立，则应，解得，， 故答案为：． 题型八：对勾函数最值问题 22．（21-22高一上·河南·期中）下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可. 【详解】A：当取负数，显然函数值小于，不符合； B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合； C：当时，，不符合； D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合； 故选：B. 23．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知，函数的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先换元，再运用基本不等式求解. 【详解】令，则， 所以， 当且仅当等号成立. 故选：B. 24．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 题型九：基本不等式的实际问题的应用 25．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 26．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. (1)若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? (2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】(1)规划时，面积最少 (2)步道至少有7米. 【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可； （2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可. 【详解】（1）根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； （2）根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 27．（23-24高一上·江苏·期中）某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 【答案】(1)采用方案二花费更少，理由见解析 (2)54 【分析】（1）利用作差法，结合不等式的性质即可求解， （2）由基本不等式以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）方案一的总费用为，方案二的总费用为， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二花费更少. （2）由（1）可知， 因为， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 令，则， 所以，当时,即，等号成立， 所以差值的最小值为，当且仅当，，，时，等号成立. 故两种方案花费的差值的最小值为54. 题型十：基本不等式证明不等式问题 28．（23-24高一上·江苏宿迁）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号， 所以. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以. 29．（22-23高一上·江苏盐城）已知证明下列不等式 (1) (2) (3) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由可知，从而，即得. （2）由可知，从而，即得. （3）不等式左边减右边，通分化简即得. 【详解】（1）证明：因为， 所以，不等式两边加得： ，两边开方得：， 两边除以得：， 即,当且仅当时取等号. （2）证明：因为， 所以，不等式两边加得： ,两边开方得： ，两边除以2得： ， 即，当且仅当时取等号. （3）左边减右边 所以. 30．（22-23高一上·辽宁）已知，，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）由均值不等式证明， 【详解】（1）由题意得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立． 【高分达标】 一、单选题 31．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由基本不等式可得，即可求得的最小值. 【详解】因为，都是正数，且满足， 则，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 32．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用计算即可得出其最小值. 【详解】由题意知，故， 当且仅当时，即时，等号成立； 故选：A 33．（24-25高三上·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 34．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 35．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 36．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 37．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 38．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若，则下面结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用作差法确定A；利用基本不等式确定B；利用消元法确定C；利用不等式的性质确定D. 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立，故，A错误； 对于B：， ， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C：，解得， ，C错误； 对于D：，则，即，D错误. 故选：B. 39．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需 ，所以的最大值为4. 故选：B 二、多选题 40．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可判断ABC；由的范围可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，，所以 ， 当且仅当，即等号成立，故B正确； 对于C，，要证即证， 所以，即证，由A可知，故C正确；     对于D，因为，且，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 41．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【详解】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 42．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为1 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】合理对所给选项变形，构造基本不等式处理即可. 【详解】对于A，令，由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确， 对于B，原式可化为，而，当且仅当时取等，故的最大值1，即B正确， 对于C，令，当且仅当时取等，但此时不为实数，故无法取等号，即的无法取到最小值2，故C错误， 对于D，易知，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 43．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列结论中，正确的结论有（    ） A．函数的最小值是2 B．如果，，，那么的最大值为3 C．函数的最小值为 D．如果，，且，那么的最小值为2 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式对选项逐个判断即可得. 【详解】对A：当时，，所以最小值不是2，故A错误； 对B：由已知可得，解得，所以， 当且仅当时成立，此时的最大值为3，故B正确； 对C：函数，设，， 在上单调递增，所以时，取最大值，故C正确； 对D： , 当且仅当时取得最小值为2，故D正确． 故选：BCD． 44．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 45．（2024高一上·江苏·专题练习）求函数的最大值 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用三元均值不等式求出最大值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以此函数最大值为1. 故答案为：1 46．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 47．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正数，满足，则最小值为 . 【答案】 【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正数，满足， 所以 ， 当且仅当，联立，即时等号成立. 故答案为：. 48．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ． 【答案】23 【分析】根据配凑原式，使得相乘可得一个常数，再利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号； ， 当且仅当，即， 解得或时取等号， 所以和的最小值之和为5+18=23. 故答案为：23. 四、解答题 49．（24-25高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 50．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值. 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4. 51．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 52．（22-23高一上·湖南衡阳·期末）如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪纸图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯（题中不考虑木料的厚薄粗细）． (1)若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？（设大矩形的长为，宽为） (2)若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？ 【答案】(1)长宽均为； (2)长为，宽为 【分析】（1）由，然后利用基本不等式求出的最大值，从而求解； （2）由体积一定得然后利用基本不等式求出的最小值，从而求解. 【详解】（1）由题意得底面大矩形周长为，且大矩形的长设为，宽设为， 所以，得，所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以底面面积最大为. （2）由题意知走马灯的体积为，高为，所以底面积为， 框架用料最少等价于底面用料为最小即可， ，当，即取等号， 故当长为、宽为时，用料最少. 53．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)50 (2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【分析】（1）由已知得出调价后的销售量，进而列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据已知列出不等式，分离参数可得.然后即可根据基本不等式，得出答案. 【详解】（1）设定价为 元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得， ，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$