3.1不等式的基本性质【5大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

3.1不等式的基本性质 【考点梳理】 · 考点一：已知条件判断所给不等式的大小 · 考点二：不等式的性质比较数的大小 · 考点三：作差法或作商法比较不等式的大小 · 考点四：利用不等式求取值范围 · 考点五：由不等式性质证明不等式 【知识梳理】 知识点一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【题型归纳】 题型一：已知条件判断所给不等式的大小 1．（24-25高一上·江苏南通）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D． 3．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型二：不等式的性质比较数的大小 4．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 6．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：作差法或作商法比较不等式的大小 7．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设，，为实数，且，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 题型四：利用不等式求取值范围 10．（2023高一·全国·专题练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：由不等式性质证明不等式 13．（23-24高一上·河北保定）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 14．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 15．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【高分达标】 一、单选题 16．（23-24高一上·广东佛山）设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）某工厂需要分两次采购一批原材料，假设该原材料两次采购的单价分别为a，b.现有A，B两种不同的采购方案，A方案为每次采购原材料的总价相同，B方案为每次采购原材料的数量相同，两种采购方案的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 二、多选题 24．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 28．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 三、填空题 29．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 31．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 32．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 四、解答题 33．（23-24高一上·陕西榆林）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 34．（23-24高一上·江苏连云港）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 35．（23-24高一上·江苏连云港） （1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 36．（23-24高一上·河南）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1不等式的基本性质 【考点梳理】 · 考点一：已知条件判断所给不等式的大小 · 考点二：不等式的性质比较数的大小 · 考点三：作差法或作商法比较不等式的大小 · 考点四：利用不等式求取值范围 · 考点五：由不等式性质证明不等式 【知识梳理】 知识点一：比较大小的方法 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 知识点二：重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点三：等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四：不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 【题型归纳】 题型一：已知条件判断所给不等式的大小 1．（24-25高一上·江苏南通）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，， ，， ， . 故选：D. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由于值不确定，若时，则无意义，故A错误， 由于，所以，B错误， 若，则，又，则，故，C正确， 若，则，故D错误， 故选：C 3．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 题型二：不等式的性质比较数的大小 4．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知，那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质比较大小即可. 【详解】由可得，所以. 故选：A 5．（23-24高一上·江苏无锡·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：C 6．（23-24高一上·江苏·期中）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，即可逐一判断各选项. 【详解】对于，因为，且，所以，即成立，故不符合题意； 对于，因为，所以，所以， 因为，所以，即，故符合题意； 对于，因为，所以，所以，故不符合题意； 对于，因为，所以，所以, 因为，所以，故不符合题意. 故选：. 题型三：作差法或作商法比较不等式的大小 7．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 8．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设，，为实数，且，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法判断A，利用特殊值判断B，根据不等式的性质判断C、D. 【详解】对于A：， 因为，，所以，，所以， 即，故A正确； 对于B：当、、时，故B错误； 对于C：因为，，所以，所以，故C错误； 对于D：因为，，所以，所以，所以，故D错误； 故选：A 9．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设，，，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，， 而，所以，所以， ， 而，，， 而，所以， 综上，. 故选：D. 题型四：利用不等式求取值范围 10．（2023高一·全国·专题练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误， 故选：B. 11．（22-23高一上·山东淄博·期中）已知实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得． 【详解】解：令，， 则 ， 则， ∵ ， ∴ ． 又， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 12．（22-23高一上·河南商丘·期中）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用表示出，然后利用不等式性质即得． 【详解】由题可得， 则，解得， 所以， 又，， 所以，， ∴. 故选：B． 题型五：由不等式性质证明不等式 13．（23-24高一上·河北保定）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 14．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 15．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【高分达标】 一、单选题 16．（23-24高一上·广东佛山）设，为实数，甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】因为，推不出， 而， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故选：B 17．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 18．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判断C. 【详解】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误， 故选：C. 19．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 20．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】由， 因为、、是正数，则， 可得等价于，等价于， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 21．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故． 故选：D． 22．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式性质判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断代数式大小关系，判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，取，则，B错误； 对于C，，则， 则，C错误； 对于D，，则， 故，即，D正确， 故选：D 23．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）某工厂需要分两次采购一批原材料，假设该原材料两次采购的单价分别为a，b.现有A，B两种不同的采购方案，A方案为每次采购原材料的总价相同，B方案为每次采购原材料的数量相同，两种采购方案的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】B 【分析】首先用表示和，再利用作差法，即判断大小关系. 【详解】若采用方案，设每次采购的总价为，则两次采购的平均单价， 若采用方案，设每次采购原材料的数量为，， ，， 所以. 故选：B 二、多选题 24．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对A：举反例说明；对BCD：作差后根据条件判断大小. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误; 对于选项B，，因为 ，所以， 所以，即，故B正确; 对于选项C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于选项D，因为， 又因为，所以，所以，即，故D正确. 故选:BD. 25．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】举反例判断A，B，利用不等式性质判断C，D. 【详解】取可得，，但，A错误； 取可得，，但，B错误； 因为，又，所以，故，C正确； 由，可得，所以，D正确； 故选：AB. 26．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 27．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 28．（23-24高一上·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．， B．，则 C．，则 D．若 R，则+ |2ab| 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质判断各选项． 【详解】选项A，，又， ∴，∴，A正确； 选项B，，又，∴，B错； 时，， ∴ 所以，C正确； ，当且仅当时等号成立，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 29．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 30．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 所以. 故答案为：. 31．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 32．（2023高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】①③可利用不等式基本性质推出；②可举出反例. 【详解】对于①，若，则，又，所以，所以，所以①正确； 对于②，若，则,即，②错误； 对于③，对于正数a，b，m，若，则，所以， 所以，又，所以，③正确． 综上，真命题的序号是①③． 故答案为：①③ 四、解答题 33．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 34．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围. （2）比较与的大小（其中），并给出证明. 【答案】（1）；（2）证明详见解析 【分析】（1）根据不等式的性质求得正确答案. （2）通过差比较法证得两者的大小关系. 【详解】（1）依题意，则， 所以，所以的取值范围是. （2），， ，， 即. 35．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1）证明：∵ ∴. 充分性证明即 . ∵，即， ∴， 充分性得证； 必要性证明即 . 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即， 必要性得证. 故是的充要条件. （2）证明：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即 故. 36．（23-24高一上·河南·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$