专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 3 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 5 7 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 例2．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论．    例3．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．       模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ． 例3．（2023·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24八年级上·山东·期中）如图，在中，，是边上的高线，，求，，的度数． 例2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 例3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且． （1）求证：． 证明：在中，∵（已知）∴（ ） 又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ） （2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：． （3）如图③，若为上一点，交于点，，，． ①求的值；②四边形的面积是 ． 1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A． B．2 C．5 D．4 2．（23-24八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在锐角中，，边上的高，且，，若，则（　　）    A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24湖北八年级联考）如图，在中，，，于，于，与交于，则 ．    9．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 10．（2024·重庆·八年级课堂例题）如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 11．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ． 12．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数．      13．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在直角三角形中，，是边上的高，．(1)求的面积；(2)求的长．    14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：(1)的度数；(2)的度数． 15．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 16．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．    17．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）锐角中，、分别为、边上的动点，连接、交于点．(1)如图1当、运动到、，，求的度数； (2)如图2 当、运动到、分别平分、，求与的数量关系．    18．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在中，的平分线交于点E，于点D，于点F．(1)如图，若，求的度数； (2)若，则_____（用含α，β的代数式表示）； (3)若，求的值．    19．（24-25八年级上·山东单元测试）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 20．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．(2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 21．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 22．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； (2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数． 23．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据 解：是，理由如下： （已知） （垂直定义） （          ） （两直线平行，同位角相等） （          ） （已知） （等量代换） 平分（          ） （2）如图②，若中的角平分线相交于点． ①求证： ②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数． 24．（23-24八年级上·湖北·期中）（1）如图，在中，，是的角平分线，是的高线．若，，求的度数．试探索，和之间的数量关系． （2）如图，在中，是的高线，延长到点，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 11 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：，，， 是的角平分线，， 是的高线，， ．故答案为：． 例2．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．    (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的两锐角互余，解题的关键是找准角与角之间的关系．（1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由直角三角形的两锐角互余得出，即可得到答案；（2）根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及直角三角形的两锐角互余表示出和，从而即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵是的高，∴，∴，∴， ∴； （2）解：，，， 在中，，分别是的高和角平分线， ，， ，． 例3．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．       【答案】(1)(2)(3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果；（3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，∴， ∵是高，∴，∵，∴，∴； （2）， 证明如下：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； （3）不变，理由是：如图，过作于，由（2）可知：，    ，，，，，， ，． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得． 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，用四角形内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图，           ∵，是它的两条高，∴； 当为钝角三角形时，如图， ∵，是它的高，∴， ∵是的高，∴， 综上所述：或，故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、四边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和为360度及分类讨论是解题的关键． 例3．（2023·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可． 【详解】∵，∴，∴．故选B． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出是解题关键． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24八年级上·山东·期中）如图，在中，，是边上的高线，，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据，，以及进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ，， 是边上的高线，， ，，，． 例2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．5 B．4.8 C．4.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：∵为所在直线上一动点，∴当时，线段的值最小， ∵，，∴当时，，即：， ∴，即：线段的最小值是4.8；故选B． 例3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且． （1）求证：． 证明：在中，∵（已知）∴（ ） 又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ） （2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：． （3）如图③，若为上一点，交于点，，，． ①求的值；②四边形的面积是 ． 【答案】（1）直角三角形两锐角互余；三角形内角和；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理即可证明； （2）利用等角的余角相等结合对顶角相等即可证明； （3）①利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，即可求解； ②连接，设，利用①的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）在中， ∵（已知）∴（直角三角形两锐角互余） 又∵（已知）∴（等量代换） ∴（三角形内角和） 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和； （2）∵平分，∴， 又∵，，，∴， 又∵，∴； （3）①∵BC=3CE，∴，∵AB=4AD，∴， ∴； ②连接，设，则， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A． B．2 C．5 D．4 【答案】D 【分析】证明△BDH≌△ADC，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】∵AD⊥BC，∴∠BDH=∠ADC=90°．∵∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD． ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CAD+∠C=90°，∠DBH+∠C=90°，∴∠DBH=∠CAD． 在△BDH和△ADC中，∵，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴AC=BH． ∵AC=4，∴BH=4．故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解答此题的关键是能求出△BDH≌△ADC，难度适中． 2．（23-24八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同角的余角相等，利用同角的余角相等解题即可． 【详解】∵，，∴，∴． 其余的无法得出故选C． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵为高线，∴， ∴，∴， ∵平分，∴， ∴，故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在锐角中，，边上的高，且，，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再利用四边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，∴， ∴．故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的高的含义，四边形的内角和定理，熟练的利用四边形的内角和定理求解角的大小是解本题的关键． 5．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线，∴，∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线，∴，∵为高，∴， ∵，∴，∴， ∵， ，∴，故②符合题意； ∵为高，∴，∵，∴，∴， ∵是的平分线，∴，∴，即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意；故选：B． 7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得． 【详解】解：连接，∵是的垂直平分线，∴， ∴，∴， ∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．    【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，30º角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键． 8．（23-24湖北八年级联考）如图，在中，，，于，于，与交于，则 ．    【答案】/度 【分析】延长交于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题即可． 【详解】解：延长交于点F．∵在中，三边的高交于一点，∴，    ∵，，∴，∵，∴，∵，∴， 【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 9．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，，∴， ∴，，∴， 在与中，， ∴，∴， ∵，∴的面积，故答案为：． 10．（2024·重庆·八年级课堂例题）如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /20度 /10度 【分析】（1）首先据三角形内角和定理可解得，由角平分线的定义可知，再据“直角三角形两锐角互余”可得，后由求解即可；（2）根据“直角三角形两锐角互余”可得，，再根据角平分线的定义可得，易知，结合即可得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，∴，， ∵平分，，∴， ∴， ∴，∴．故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角度计算，涉及知识包括直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等，熟练掌握相关知识是解题关键． 11．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】过点G作交于点M，过点M作，根据等腰三角形各角之间的关系得出，再由垂直及等量代换得出，利用等角对等边确定，，再由全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：过点G作交于点M，过点M作，如图所示： ∵，，，∴，，， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴，∴，， 在与中，，∴ ∴，∴，故答案为：6． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键． 12．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，在中，，于点．      (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后利用角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）如图，射线即为所求；    （2），，，平分，， ，，，，即的度数为． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在直角三角形中，，是边上的高，．(1)求的面积；(2)求的长．    【答案】(1)的面积为(2) 【分析】（1）运用三角形的面积公式即可解答；（2）根据同一个三角形面积的不变性，借助三角形的面积公式列出关于的等式，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， ∴的面积； （2）解：是边上的高，， ，； 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式及其应用问题，解题关键是灵活运用三角形的面积公式来解答． 14．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：(1)的度数；(2)的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查垂线的定义、三角形外角的性质， （1）根据垂线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据三角形外角的性质可得，即，即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴． （2）解：∵，∴， ∵，∴． 15．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；（）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵点是中点，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴． 16．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．    【答案】 【分析】中，两锐角互余，求得；由内角和定理，得，由角平分线，得，，进而求得． 【详解】解：中，， ∴． 中， ∵是角平分线，∴，． ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义；掌握内角和定理是解题的关键． 17．（2023春·江苏无锡·七年级校考期中）锐角中，、分别为、边上的动点，连接、交于点．    (1)如图1当、运动到、，，求的度数； (2)如图2 当、运动到、分别平分、，求与的数量关系． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据垂直定义及三角形的内角和定理解答即可；（2）由、分别平分、，得，在中由三角形的内角和解答即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∵ ∵，∴∴； （2）解：∵、分别平分、，∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质是解题的关键． 18．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）在中，的平分线交于点E，于点D，于点F．    (1)如图，若，求的度数； (2)若，则_____（用含α，β的代数式表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的性质可求出．由，可求出，进而可求出； （2）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的性质可求出．由，可求出，进而可求出；（3）根据等积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵的平分线交于点E，∴． ∵，∴，∴； （2）解：∵，∴． ∵的平分线交于点E，∴． ∵，∴，∴． 故答案为：； （3）∵，∴，解得：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，三角形的高的有关计算．利用数形结合的思想是解题关键． 19．（24-25八年级上·山东单元测试）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【分析】对于（1），先求出，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求出，最后根据得出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的性质得，最后根据，可得答案；对于（3），根据角平分线定义，得，再根据，根据四边形内角和定理，得，代入整理即可． 【详解】（1）∵，∴． ∵是的平分线，∴． ∵是的高，∴．∵，∴． ∴.故答案为：； （2）∵，∴． ∵是的平分线，∴． ∵是的高，∴．∴， ∴， 即； （3）．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线，∴， ∴． 又∵四边形中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，直角三角形的性质，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 20．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图， (1)如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．(2)如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．①_________；（用含x的式子表示）               ②试判断的度数是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②是定值， 【分析】（1）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可； （2）①根据三角形的内角和定理即可求解；②根据角平分线得到，由三角形的外角定理得，代入求解即可． 【详解】（1）解：，，， 是角平分线，，分别是的高，， ，； （2）解：①∵， ∴，故答案为：； ②是定值，∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、高以及三角形内角和定理，外角定理，掌握三角形的角平分线和高的概念是解题的关键． 21．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，，， 平分，， ，，，， ． （2）解：在中，，， 平分.，， 在中，，， ，，． （3）解：在中，， 平分，， 在中 ，，. 22．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． (1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”； (2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”； (3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数． 【答案】(1)与；与；与（任意写出两对“等角三角形”即可） (2)见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，，，再根据“等角三角形”的定义即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得与是“等角三角形”，然后根据等角分割线的定义即可得证； （3）分①当是等腰三角形，时；②当是等腰三角形，时；③当是等腰三角形，时；④当是等腰三角形，时四种情况，利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，，， ，，， 与；与；与是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可） （2）证明：在中，，，∴， ∵为角平分线，∴， ∴，，∴，∴是等腰三角形， ∵在中，，，∴， ∴，∴与是“等角三角形”，∴为的等角分割线． （3）解：由题意，分以下四种情况： ①当是等腰三角形，时，，∴； ②当是等腰三角形，时，，，∴； ③当是等腰三角形，时，， ∴； ④当是等腰三角形，时，， 设，则，， 由三角形的外角性质得：，即，解得， ∴； 综上，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），正确分四种情况讨论是解题关键． 23．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据 解：是，理由如下： （已知） （垂直定义） （          ） （两直线平行，同位角相等） （          ） （已知） （等量代换） 平分（          ） （2）如图②，若中的角平分线相交于点． ①求证： ②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；（2）①见详解；②． 【分析】（1）根据题意及平行线的性质可直接进行求解； （2）①由题意易得∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，则有∠C=∠EFA，然后问题可求证；②连接CH并延长，由题意易得，然后由三角形外角的性质可得，进而根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： （已知） （垂直定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ∠3（两直线平行，内错角相等） （已知）（等量代换）平分（角平分线的定义） 故答案为同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义； （2）①证明：∵，∴， ∴∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，∴∠C=∠EFA， ∵，∴； ②，理由如下：连接CH并延长，如图所示： ∵的角平分线相交于点，∴， 由三角形外角的性质可得， ∵∠FEA+∠EFA=∠BFG+∠FBG=90°，∠EFA=∠BFG，∴∠FEA=∠FBG， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 24．（23-24八年级上·湖北·期中）（1）如图，在中，，是的角平分线，是的高线．若，，求的度数．试探索，和之间的数量关系． （2）如图，在中，是的高线，延长到点，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和定理得到，然后利用角平分线得到，然后根据直角三角形的两锐角互余得到的度数，然后利用解题即可； 利用角平分线表示，然后根据直角三角形的两锐角互余得到，然后利用解题即可； （2）先根据角平分线得到，，然后利用三角形的外角得到即可解题． 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵是的角平分线，∴， 又∵是的高线，∴，∴； 解：∵，是的角平分线，∴， 又∵是的高线，∴， ∴； （2）∵是的高线，∴， 又∵平分，∴， 又∵平分，∴， ∴． 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