专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 3 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 5 6 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（　　　） A． B． C． D． 例2．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，且，请直接写出与，关系． 例3．（2024八年级上·重庆·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数；（2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 例3．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B． 例2．（23-24七年级下·湖南郴州·单元测试）如图，已知是直角三角形，其中，则点B到的距离为 ． 例3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 1．（2023·湖南娄底·八年级期中）如图，，于点，则图中互余的角有（    ）对．    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ） A． B．4 C． D． 3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，平分交于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 7．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（2023·四川绵阳·八年级统考阶段练习）如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是 ． 12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 13．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．    (1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示） 14．（23-24八年级上·全国·期中）如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点H. (1)若∠BAC＝100°，求∠DHE的度数；(2)若△ABC中∠BAC＝50°，直接写出∠DHE的度数是____． 15．（23-24八年级上·四川自贡·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，是边上的中线，，，，求：(1)的长；(2)的面积．    16．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求；(2)若的高与的比是多少？ 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图①，在中，，分别是的高和角平分线，若，．求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，延长至点，过点作于点．若，。①__________（含的代数式表示）；②求的度数． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，垂足为． （1）求证：；（2）若平分分别交，于点，求证：．    19．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差． 20．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 21．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于. （1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果） 22．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 23．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期中）（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数； （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的．    24．（2023下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；        (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.高分线模型 2 模型2.双垂直模型 5 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 8 11 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义求得∠EAC的度数，再由外角的性质得∠AED，最后由直角三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×100°=50°， ∵∠C=25°，∴∠AED=∠C+∠EAC=25°+50°=75°， ∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-75°=15°，故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余． 例2．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，且，请直接写出与，关系． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，求出，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据三角形高的定义可知，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案． 【详解】（1）解：，，， 是的平分线，， 是的高，，，， ； （2）解：， 理由是：，， 是的平分线，， 是的高，，， ． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线定义，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，能求出和的度数是解此题的关键． 例3．（2024八年级上·重庆·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数；（2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握三角形内角和定理，图形结合分析方法是解题的关键．（1）根据三角形的内角和得的度数，再利用角平分线的定义得，从而得出答案；（2）根据三角形内角和定理、角平分线定义用含代数式表示和，根据三角形内角和定理求出； （3）同理（2），用含代数式表示和即可． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，∴， 在中，，∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，∴； （3）∵， ∴，∴， ∴，故答案为：． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余求得，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°， ∴，∴，故选C． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时，    ，，，， ，，， 当为钝角角三角形时，的延长线于，    ，，，， ，，； 当为直角三角形，时，不存在，故的度数为或． 故答案为：130°或50°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键． 例3．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据面积相等列出比例求解即可． 【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，， ∴，即：，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B． 【答案】见解析 【分析】根据同角的余角相等即可解答． 证明：在中， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理． 例2．（23-24七年级下·湖南郴州·单元测试）如图，已知是直角三角形，其中，则点B到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键．设边上的高为，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设边上的高为， 在中，，，，， ，．故答案为：． 例3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证： (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①3；②21 【分析】本题属于四边形的综合题，考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的面积计算、三角形的外角性质，得到是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理即可解决问题； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质计算，即可解决问题； （3）①根据，，，可以求出、，结合图形计算即可； ②连接，设，根据三角形的面积公式列出方程，求出，把代入计算得到答案． 【详解】（1）证明：，， ，，，， （2）证明：平分，， ，，而，； （3）①，，，，， ； ②如图，连接， 设，则，，， ，， ，，解得， 四边形的面积，故答案为：21． 1．（2023·湖南娄底·八年级期中）如图，，于点，则图中互余的角有（    ）对．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据余角的定义以及直角三角形两锐角互余的性质解答即可． 【详解】解：，与互余，与互余． ，，．与互余，与互余．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题的关键． 2．（2024·江苏淮安·八年级统考期末）如图，已知中，，F是高和的交点，，则线段的长度为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再证明，从而利用证明，再利用全等三角形对应边相等就可得到答案． 【详解】解：∵，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴，∴，故选B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，，为的平分线，于点，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到，再根据,平分,即可得到的度数,再根据进行计算即可． 【详解】解：,, 又,平分,， ,故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 4．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，平分交于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，再利用角平分线的定义得出，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∵平分，∴，∴，故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键． 5．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】证明即可判断①正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确；根据，结合角平分线的定义即可判断②，证明即可判断④正确． 【详解】解：，，， ，，，故①正确， 平分，，，， ，故③正确，，， ，，，故②正确； ，，， ，，故④正确，∴正确的有①②③④，故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O，∴，， ∴，故①正确． ∵，∴，∵，分别是和的平分线， ∴，∴，∴，∴， 如图，在上取一点N，使， ∵是的角平分线，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴ ∵∴∴∴，故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O，∴点O在的平分线上，∴， ∵，∴． 故③错误．故选：A． 7．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意证明，得出，三角形内角和定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据角平分线的定义可得，根据即可求解． 【详解】解：，平分，，， ，，，， ，， 平分，，，故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 8．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论． 【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1， ∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）． ∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD． 又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°， ∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系． 9．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据角平分线平分角以及等角的余角相等，即可判断；③根据角平分线平分角以及同角的余角相等，即可判断；④根据等腰三角的判定方法即可判断；⑤过点F作于点M，根据角平分线性质得出，根据即可作出判断． 【详解】解：∵是中线，∴，∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故①正确； ∵是角平分线，∴，∵是高，∴， ∵，， ∴，故②正确；∵， ∴，故③正确；∵连接，如图， ∵为的斜边的中线，∴，∴， ∵，∴只有当时，，此时， ∴，∵条件中不能确定，∴不成立，故④错误； ⑤过点F作于点M，如图所示：∵平分，，∴， ∵，∴， ∴，故⑤正确；综上分析可知，正确的个数为4个．故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理． 10．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得,再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线，∴， ∵， ∴，∴， ∴；故B正确；∵， ∴， ∵，∴， 由A得：，∴，故C错误； ∵，∴，∴， ∵，∴，故D正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 11．（2023·四川绵阳·八年级统考阶段练习）如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是 ． 【答案】25°/25度 【分析】先证明DBFDAC，根据全等三角形的性质得出AD=BD，求出∠ABD=∠DAB=45°，即可得出答案． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC， 在DBF和DAC中，，∴DBFDAC（AAS），∴AD=BD， ∵∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAB=45°， ∵∠ABE=20°，∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°，故答案为：25°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． 12．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /20度 /10度 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可解得，由角平分线的定义可知，再根据“直角三角形两锐角互余”可得，然后由求解即可； （2）根据“直角三角形两锐角互余”可得，，再根据角平分线的定义可得，易知，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，∴，， ∵平分，，∴， ∴， ∴，∴．故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角度计算，涉及知识包括直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等，熟练掌握相关知识是解题关键． 13．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．    (1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明； 条件：______，结论：______．（填序号） 证明： (2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①②；③；见解答(2) 【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得，由和，得出，利用三角形内角和可得结论； （2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案． 【详解】（1）条件：①②，结论：③， 证明：∵是的角平分线，∴， ∵，∴， ∵， ∴，∴是的高． 条件：①③，结论：②， 证明：∵是的高，∴，∴， ∵，，， ∴， ∴是的角平分线； 条件：②③，结论：①， 证明：∵是的角平分线，∴， ∵是的高，∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：①②；③； 证明：见解答； （2）∵，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键． 14．（23-24八年级上·全国·期中）如图，已知BD，CE是△ABC的两条高，直线BD，CE相交于点H. (1)若∠BAC＝100°，求∠DHE的度数；(2)若△ABC中∠BAC＝50°，直接写出∠DHE的度数是____． 【答案】（1）∠DHE＝80°（2）50°或130° 【分析】(1)根据已知条件可得∠HDA=∠AEH=90°，根据对顶角相等可得∠DAE的度数； 再根据四边形的内角和是360°便求出∠DHE的度数；（2）需分两种情况讨论：当△ABC为锐角三角形时和当△ABC为钝角三角形时，分别求出∠DHE的度数即可. 【详解】（1）∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠HDA=∠AEH=90°， ∵∠BAC=100°，∴∠DAE=∠BAC=100°, ∴在四边形AEHD中，∠DHE=360°-∠HDA-∠DAE-∠AEH=80°， （2）①当△ABC为锐角三角形时，∠DHE=180°-50°=130°， ②当△ABC为钝角三角形时，∠DHE=∠BAC=50°,∴∠DHE的度数为130°或50°. 【点睛】本题考查了三角形、多边形的内角和，解题的关键是灵活运用：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°. 15．（23-24八年级上·四川自贡·期中）如图，在直角三角形中，，是边上的高，是边上的中线，，，，求：(1)的长；(2)的面积．    【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）利用面积法得到，然后把，，代入可求出的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以． 【详解】（1），是边上的高， ，； （2）是边上的中线，． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 16．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，与是的高． (1)若，求； (2)若的高与的比是多少？ 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形面积公式，即可求解； （2）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图①，在中，，分别是的高和角平分线，若，．求的度数； （2）如图②，已知平分，交边于点，延长至点，过点作于点．若，。①__________（含的代数式表示）；②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形外角的性质，三角形内角和等于，三角形的一个外角度数等于不相邻的两个内角度数之和，也考查了直角三角形两锐角互余． （1） 要求的度数，可以先求得和的度数再将它们相减； （2）①根据三角形的内角和， x表示， 根据角平分线的定义，用x表示和，利用三角形外角的相关结论，可以得到的度数； ②根据，利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到的度数． 【详解】（1）∵，，∴在中，． ∵是的角平分线，∴． ∵是的高，∴，∴； （2）①，∴在中，． ∵平分，∴．故答案为：． ②∵平分，∴． ∵是的一个外角，∴，∴． ∵，∴在中，． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，垂足为．    （1）求证：；（2）若平分分别交，于点，求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）根据，，列出等量关系，通过等量代换即可得到； （2）根据角平分线可得∠CAF=∠BAF，再根据三角形的外角的性质即可证得． 【详解】解：（1）∵， ∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴ （2）∵平分∴∠CAF=∠BAF 又∵∠CEF和∠CFE分别是△AEC和△ABF的外角，∴∠CEF=∠CAF+∠ACD ∠CFE=∠BAF+∠B 又∵∴∠CEF=∠CFE∴CE=CF 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证． 19．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差． 【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm． 【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB•AC＝BC•AD， ∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm； （2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE， ∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm）， 即△ACE和△ABE的周长的差是3cm． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法． 20．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，于点． (1)尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．（1）根据要求作出图形即可； （2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解． 【详解】（1）解：如图， 射线即为所求， （2）解：，， 平分，， ，，， ，． 21．（2023·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于. （1）求证：；（2）求证：；（3）若，，请用含，的代数式表示的面积，___________（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理，即可得到结论成立. （2）由平行线的性质和角平分线的性质，得到，，然后即可得结论成立； （3）过点O作OG⊥AC，连接OC，由点O为内心，可知OD=OG，由，即可得到答案. 【详解】证明：（1），平分和 ， ； （2），，， 又，，，， ，，； （3）如图，过点O作OG⊥AC，连接OC， ∵点O为△ABC的内心，则OC是∠ACB的角平分线，∴， ∵====；故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确得到角之间的关系，从而进行解题. 22．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题， （2）由折叠可知和，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵，，∴，， ∵平分，∴，∴． （2）解：由折叠可知，．∵，∴， ∵， ∴，即， ∴，∴． 23．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考期中）（1）如图，已知在中，，于，于，、所在直线交于点，求的度数；    （2）在（1）的基础上，若每秒扩大，且在变化过程中与始终保持是锐角，经过秒，在，这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求的值； （3）在（2）的基础上，与的角平分线交于点，是否为定值，如果是，请直接写出的值，如果不是，请写出是如何变化的． 【答案】（1）132；（2）或12；（3）是，，理由见解析 【分析】（1）利用同角或等角的余角相等，证明即可解决问题． （2）由题意，．分两种情形：①当时，．②当时，，分别构建方程求解即可．（3）如图，结论是定值．想办法证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）于，于， ，，， ，． （2）由题意，， ①当时，，则有，解得． ②当时，，，解得， 综上所述，当或12时，，两个角中，一个角是另一个角的两倍． （3）如图，结论是定值．    理由：于，于，， ，，， 平分，平分，，， ， ，， ，是定值． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 24．（2023下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数； ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；        (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【分析】（1）①由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；（3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示：       在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， 用三角尺作边上的高，垂足为点，； ②如图所示:是的一个外角，， ，； （2）解：不变，理由如下：      由（1）可知，， 是的一个外角，， ，； （3）解：如图所示：在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，；如图所示： 在中，，，， 是的平分线，， ， ，； 综上所述，对于图3；对于图4． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$