专题07抛物线性质（考题猜想，易错必刷33题16种题型）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题07 抛物线性质 （易错必刷33题16种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 抛物线定义：焦准互化 · 抛物线定义：方程求参数 · 抛物线定义：定义求轨迹 · 抛物线定义：焦半径 · 焦点弦引用 · 抛物线定义：点距离最值 · 抛物线定义最值：光学转化 · 抛物线中点弦最值 · 重心型“特殊三角形” · 抛物线“梯形”性质 · “将军饮马型” · 曲线与方程型 · 焦半径与均值型 · 面积最值范围 · 向量数量积应用内最值 · 抛物线性质综合 · 题型大通关 一．抛物线定义：焦准互化（共2小题） 1．（四川省南充市2024适应性考试）数学试卷）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·贵州贵阳·期中）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（    ） A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8 2． 抛物线定义：方程求参数（共2小题） 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高二·湖北襄阳·期中）抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 三．抛物线定义：定义求轨迹 （共2小题） 5．（2024·湖南衡阳·期中）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·全国·期中）已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 四．抛物线定义：焦半径（共2小题） 7．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 8．（2022-2023·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则= A． B． C． D． 五．焦点弦应用（共2小题） 9．（20-21高二上·四川绵阳·期中）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 六．抛物线定义：点距离最值 （共2小题） 11．（23-24高三·四川雅安·期中）的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 12．（2024高三·全国·期中）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 7． 抛物线定义最值：光学转化（共2小题） 13．（23-24高二上·全国·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 14．（23-24高三·广东·期中）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 八． 抛物线中点弦最值 （共2小题） 15．（2023·陕西西安·一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 16．（22-23高二下·湖北荆州·期中）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为 A．1 B． C．2 D． 九．重心型“特殊三角形”（共2小题） 17．（21-22高二·上海虹口·期中）已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 18．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 十． 抛物线“梯形”性质（共2小题） 19．（2024·吉林延边·一模）已知是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 20．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 十一．“将军饮马型”（共2小题） 21．（24-25高二·湖南·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二·湖南长沙·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 十二．曲线与方程型（共2小题） 23．（23-24高二上·全国·期中）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 24．（21-22高二上·河北保定·期中）的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D． 十三． 焦半径与均值型（共2小题） 25．（22-23高二下·江西景德镇·期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 十四．面积最值范围（共2小题） 27．（23-24高二四川·期中）已知O为坐标原点，A，B是抛物线上的两个动点，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为，．若直线，的斜率之积为，则的面积的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 28．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则的面积最大值为（    ） A． B．12 C． D． 十五．向量数量积应用最值（共2小题） 29．（2024·四川雅安·期中）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2022·河南·模拟预测）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（    ） 十六．抛物线性质综合（共3小题） 31．（23-24高二上·山东德州·期中）抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），，则（    ） A．最小值为4 B．可能为钝角三角形 C．当直线l的倾斜角为60°时，与面积之比为3 D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时， 32．（22-23高二下·福建莆田·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（    ） A．直线的斜率 B．若，则 C．若，则 D．存在使得平分 33．（2023·浙江宁波·二模）三支不同的曲线交抛物线于点，为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．若，则 D．若，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 抛物线性质 （易错必刷33题16种题型专项训练） 题型大集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 抛物线定义：焦准互化 · 抛物线定义：方程求参数 · 抛物线定义：定义求轨迹 · 抛物线定义：焦半径 · 焦点弦引用 · 抛物线定义：点距离最值 · 抛物线定义最值：光学转化 · 抛物线中点弦最值 · 重心型“特殊三角形” · 抛物线“梯形”性质 · “将军饮马型” · 曲线与方程型 · 焦半径与均值型 · 面积最值范围 · 向量数量积应用内最值 · 抛物线性质综合 · 题型大通关 一．抛物线定义：焦准互化（共2小题） 1．（四川省南充市2024适应性考试）数学试卷）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为.故选：D. 2．（23-24·贵州贵阳·期中）已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（    ） A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8 【答案】C 【分析】由题意得到，，结合得到方程，求出的值. 【详解】由题意得，， 其中，故，解得或8，故选：C 2． 抛物线定义：方程求参数（共2小题） 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得其准线为，结合圆的方程可得，即可得结果. 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得.故选：C. 4．（23-24高二·湖北襄阳·期中）抛物线的准线方程为，那么抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过准线方程求出，在代入抛物线求焦点坐标即可. 【详解】抛物线的准线方程为，可得，解得， 所以抛物线即，即的焦点坐标为. 故选：D. 三．抛物线定义：定义求轨迹 （共2小题） 5．（2024·湖南衡阳·期中）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 6．（2024高二·全国·期中）已知是直线上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，则的重心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，的重心为，由定理1.1知，再由重心公式得到，，代入直线方程整理即可． 【详解】设，，的重心为． 由定理1.1知，则由三角形的重心坐标公式， 可得， ． 于是，，， 由点在直线上得，即． 四．抛物线定义：焦半径（共2小题） 7．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故，不妨设在第一象限，故， 所以.故选：C. 8．（2022-2023·辽宁大连·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若点在抛物线的准线上，则= A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义求出直线的倾斜角，可得直线方程，直线方程与抛物线方程联立求得点坐标，再利用抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点坐标，由抛物线的定义可得等于到准线的距离， 因为在准线上，所以与准线垂直与轴平行，因为三角形为正三角形， 所以可得直线，可得， 可得，则，，等于到准线的距离，故选B. 【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 五．焦点弦应用（共2小题） 9．（20-21高二上·四川绵阳·期中）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】将直线的方程和抛物线的方程联立，消去得到关于的一元二次方程， 将用，表示出来，再利用韦达定理化简即可． 【详解】由得，．可得直线方程为，联立，消去得． 设，，，，则，．又，， 所以．故．故选：． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用焦半径公式得到，. 10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】B 【分析】当直线l的斜率不存在时，易知不成立，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出结果. 【详解】抛物线的焦点为，设，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，，，，，，与矛盾. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入，得，则，， 由抛物线的定义知，，，于是， 所以，.故选:. 六．抛物线定义：点距离最值 （共2小题） 11．（23-24高三·四川雅安·期中）的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】设，，，根据条件，将问题转化成抛物线上半部分一动点到，距离之和的最小值，再利用抛物线的定义即可求出结果. 【详解】设，，，易知点的轨迹是抛物线的上半部分， 又， 因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义知，等于到准线的距离， 所以的最小值为， 故选：A. 12．（2024高三·全国·期中）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可. 【详解】如图，抛物线上点到圆心的距离为，   因此，当最小时，最小， 而，当时，，因此的最小值是． 故选：A. 7． 抛物线定义最值：光学转化（共2小题） 13．（23-24高二上·全国·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解. 【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，所以， 当且仅当三点共线且准线时，等号成立．故的最小值为12．故A正确. 故选：A. 14．（23-24高三·广东·期中）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 八． 抛物线中点弦最值 （共2小题） 15．（2023·陕西西安·一模）点为抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，，由题意得与，的关系，在三角形中由余弦定理得与的关系，求出比值，由基本不等式求出最值即可. 【详解】设，， 则，， ， 当且仅当时取等号，取最大值1，则的最小值为1. 故选：B. 16．（22-23高二下·湖北荆州·期中）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值. 【详解】设，因为，所以， 过点分别作准线于点，，由抛物线定义可知， 由梯形中位线可知，  因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故， 故，的最小值为.故选：B 九．重心型“特殊三角形”（共2小题） 17．（21-22高二·上海虹口·期中）已知抛物线：的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】先说明这样的满足，并且弦以为中点的，再证明对于无数多个点，都存在满足条件的弦即可. 【详解】 当时，易知为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，这样的即满足要求.设，则，又，两式相减可得，即，所以总存在以为中点的弦，即这样的三角形有无数个. 故选：D. 【点睛】本题关键在于构造出，再说明对于点，只要满足的在抛物线内部，并且存在以为中点的弦，即存在，这样的每一个点都会对应一个. 18．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可求得结果. 【详解】设，，，由题可得，因为是三角形的重心， 所以，可得，即， 所以. 故选：D. 十． 抛物线“梯形”性质（共2小题） 19．（2024·吉林延边·一模）已知是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】求解抛物线焦点和准线方程，设，由，根据余弦定理可得，根据抛物线定义和梯形中位线定理可得，代入，运用基本不等式计算即可求解最小值. 【详解】抛物线，即，则焦点为， 准线为，设，由， 可得， 由抛物线定义可得到准线的距离为，到准线的距离为， 由梯形的中位线定理可得， 由，可得，即， 得，当且仅当取最小值.故选：C 20．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M向准线作垂线，取最大值即直线AB过焦点时，再结合点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点， 则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，， 如图所示． 则，当直线AB过焦点时取等号，此时． 设、，直线AB的斜率为k， 由，两式相减，得，所以， 即，得，所以，又，所以．故选：B． 十一．“将军饮马型”（共2小题） 21．（24-25高二·湖南·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. （方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】（方法一）  因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为，设直线的方程为：，不妨设，联立方程，整理得，则， 故，又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ，当且仅当时等号成立， 故的最小值为.故选：B. 22．（23-24高二·湖南长沙·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. 【详解】 由抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 十二．曲线与方程型（共2小题） 23．（23-24高二上·全国·期中）方程所表示的曲线为（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 【答案】A 【分析】将已知方程化简，再结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义作答即可； 【详解】化简得， 即动点到定点的距离与到直线的距离相等， 且点不在直线上， 故方程表示的曲线为抛物线． 故选：A. 24．（21-22高二上·河北保定·期中）的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解. 【详解】设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为， 则 ． 故选：C 【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解. 十三． 焦半径与均值型（共2小题） 25．（22-23高二下·江西景德镇·期中）已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线方程代入抛物线方程，由根与系数的关系可得，然后由焦半径公式结合基本不等式可得. 【详解】由题可知,所以有，带入得， 整理得，判别式恒成立， 设，则 易知，点为抛物线的焦点， 所以 当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为. 故选：B 26．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知，设，， 联立直线与抛物线方程，所以， 而. 当且仅当时取得等号.故选：D 十四．面积最值范围（共2小题） 27．（23-24高二四川·期中）已知O为坐标原点，A，B是抛物线上的两个动点，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为，．若直线，的斜率之积为，则的面积的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合已知求出直线所过定点，再求出三角形面积最小值. 【详解】显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得：，则，， 而抛物线的准线方程为，，依题意，， 因此，解得，即直线：恒过定点， ， 于是的面积，当且仅当时取等号， 所以的面积的最小值为2. 故选：C 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得. 28．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则的面积最大值为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出切线方程，与抛物线联立后求出点坐标，则可以表示出直线的方程，与抛物线联立求出，并且求出点到直线的距离，则的面积可以表示出来，再利用导数求其最值即可. 【详解】将点代入得，所以，所以抛物线方程为， 明显直线的斜率均存在，且不为零，设直线的斜率分别为， 设过点并与已知圆相切的直线方程为，即， 则，整理得，联立，消去得， ，解得，所以，还是得， 故，当直线与消去得， 得，所以，则，得， 即，同理，则直线的方程为，整理得， 令，根据，可得则直线的方程为，即， 联立，消去得，可得， 点到直线的距离，所以， 令，，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，，所以.故选：C.. 【点睛】方法点睛：本题计算量比较大的地方就是求出直线的方程，但是直接利用结论：已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值，可快速确定直线的斜率，再根据选择题的特点可简化大量计算. 十五．向量数量积应用最值（共2小题） 29．（2024·四川雅安·期中）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助焦半径公式计算可得，结合外接圆的定义即可求得该外接圆方程，借助切线性质可得点的坐标，设出点坐标，借助坐标表示出，结合辅助角公式计算即可得解. 【详解】由，可得，故，则，令，则，即，分别为，令圆心坐标为，则有，解得， 故圆的半径为，即圆的方程为，设，，则有，化简得，即，则， 由圆的对称性，不妨设在第一象限，即，设，， 则 ，其中，由，故，故.故选：B.   【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角函数设出、的坐标，从而只用一个变量表示该点，用角表示出后，结合辅助角公式计算即可得. 30．（2022·河南·模拟预测）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B．1 C．16 D． 【答案】B 【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案. 【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则. 设，则. 由，则，所以，， 因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.于是.故选：B. 【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握. 十六．抛物线性质综合（共3小题） 31．（23-24高二上·山东德州·期中）抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），，则（    ） A．最小值为4 B．可能为钝角三角形 C．当直线l的倾斜角为60°时，与面积之比为3 D．当直线AM与抛物线C只有一个公共点时， 【答案】ABCD 【分析】A：分斜率存在与否设出直线方程，由弦长公式求出直线方程；B：先用向量的数量积求出不是钝角，再结合图像求出结果；C：当直线l的倾斜角为60°时，带入直线方程求出坐标，再表示出三角形面积即可；D：由直线与抛物线只有一个公共点，得出判别式为零，再求出长度即可. 【详解】因为抛物线C：，焦点，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）， 对于A，当直线的斜率不存在时，； 当斜率为零时，只有一个交点，不符合题意； 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程，， 联立，可得，， 所以， 即弦长的最小值为，故A正确； 对于B，当时，联立解得， 所以，， ，所以， 所以为钝角三角形，故B正确； 对于C，当直线l的倾斜角为60°时，直线方程为， 由选项A的分析可知可知，解得， 带入直线方程可得 所以与面积之比为，故C正确； 对于D，因为点A在第一象限，直线的斜率不可能为零，设直线的方程为， 联立可得，所以， 又因为点A在第一象限，所以，此时，所以， 直线的斜率不存在时，，故D正确； 故选：ABCD 【点睛】关键点睛：选项A可分斜率是否存在设出直线方程，求出最小值比较；选项B最佳的方法是举反例论证；选项C将直线方程直接联立解出面积比，选项D设出直线方程为，由判别式为零求出两点坐标，再求出弦长. 32．（22-23高二下·福建莆田·期中）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（    ） A．直线的斜率 B．若，则 C．若，则 D．存在使得平分 【答案】ACD 【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设 关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1. 【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得：. 由题：，又由韦达定理知：. A选项，由题可得或，则，故A正确； B选项，由抛物线定义可知：， 则， 得.故B错误； C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则， 又，则.故C正确. 选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M. 则， 又所以. 注意到：， 则. 则，即存在满足题意，故D正确； 方法2：设 关于轴的对称点为，则.注意到： ，则三点共线， 所以，其余同方法1； 方法3：若平分，则由角平分线定理可得， 所以，又，. 即，下同方法1； 方法4：只需，即， 注意到，，则 ，解得或3（舍去），后同方法1. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件. 33．（2023·浙江宁波·二模）三支不同的曲线交抛物线于点，为抛物线的焦点，记的面积为，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，设，则，联立，利用韦达定理求得，进而可求得，结合焦半径公式即可判断A；判断是否为定值即可判断B；求出，即可判断CD. 【详解】如图，设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称， 设，则， 联立，消得， 则， 又， 则， 则， 对于A，， ，故A正确； 对于B，， 因为不是定值，所以不是定值，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则， 所以 ， 又因，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$