专题07 一元二次方程根的判别式（重难点，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 一元二次方程根的判别式（重难点，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 3．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海·单元测试）不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有且只有一个实数解，则应满足条件 ． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ． 10．（23-24八年级上·上海·阶段练习）等腰的一边长为3，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，求等腰三角形的腰长是 ． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 14．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 16．（2022·上海崇明·二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 17．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 18．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知实数对满足，求的最大值． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 21．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 22．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 23．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 24．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：． (1)若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数； (2)若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 26．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于的方程的两个实数根为、，且，求的值． 27．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 28．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 30．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 4 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 一元二次方程根的判别式（重难点，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可． 【详解】解：二次三项式能在实数范围内分解因式， ， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）若一元二次方程没有实数根，则代数式的值一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．小于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，根据题意得得，将代数式乘以4变形为，再进行判断即可 【详解】解：由题意，得， 而， ． ∴代数式的值一定是正数． 故选：B 3．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C. 对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D. 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列方程是关于的一元二次方程，一定有实数解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识．对于一元二次方程（为常数，且），其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别求出各方程求的根的判别式的值，取该值大于等于0的选项即可． 【详解】解：A.∵， ∴该方程没有实数根，选项A不符合题意； B．， ∵的值不确定， ∴无法得出，选项B不符合题意； C.∵， ∴该方程没有实数根，选项C不符合题意； D.∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，选项D符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级上·上海静安·期末）如果方程有实数根，那么m的取值范围是（    ） A．且； B．且； C．； D．. 【答案】D 【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可． 【详解】解：∵方程有实数根， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴m的取值范围是， 故选：D． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，结合二次根式有意义的条件，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：； 故选B． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海·单元测试）不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况： （1），Δ ，则方程 ； （2），Δ ，则方程 ； （3），Δ ，则方程 ； （4），Δ ，则方程 ； （5），Δ ，则方程 ． （6），Δ ，则方程 ． （7），Δ ，则方程 ． （8），Δ ，则方程 ． （9），Δ ，则方程 ． （10），Δ ，则方程 ． （11），Δ ，则方程 ． （12），Δ ，则方程 ． （13），Δ ，则方程 ． （14），Δ ，则方程 ． （15），Δ ，则方程 ． （16），Δ ，则方程 ． （17），Δ ，则方程 ． 【答案】 有两个不相等的实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 无实数根 有两个相等的实数根 有两个实数根 无实数根 有两个实数根 有两个实数根 有两个相等的实数根 无实数根 有两个实数根 无实数根 无实数根 无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，据此计算即可解答． 【详解】解：（1），，则方程有两个不相等的实数根； 故答案为：，有两个不相等的实数根； （2），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （3），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （4），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （5），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （6），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （7），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （8），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （9），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （10），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （11），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （12），，则方程有两个相等的实数根； 故答案为：，有两个相等的实数根； （13），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （14），，则方程有两个实数根； 故答案为：，有两个实数根； （15），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （16），，则方程无实数根； 故答案为：，无实数根； （17），，则方程无实数根． 故答案为：，无实数根； 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有且只有一个实数解，则应满足条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．分两种情况讨论：当时；当时，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：当，时，， 当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，方程左边，右边，不成立，不符合题意； 当，即时， ∵方程有且只有一个实数解， ∴， 解得，不符合题意， 综上，当时，方程有且只有一个实数解， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为4时，当底边长为4时，两种情况根据根与系数和判别式求出方程的两个根，进而确定等腰三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y， ∴， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为；或． 10．（23-24八年级上·上海·阶段练习）等腰的一边长为3，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，求等腰三角形的腰长是 ． 【答案】5 【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论． 【详解】解：设关于的方程的两个实数根分别为、． 方程有两个实数根， ，得． ①当底边长为3时，另两边相等时，， 另两边的长都是为5， 则， ∴腰长为5； ②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3， 则3一定是方程的根， 而， 另一根为：7． ，不能构成三角形． 综上：腰长为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则m的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据5为底边和腰两种情况求解即可． 【详解】设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则5和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：或． 12．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式求解即可；掌握当方程有两个不同的实数根是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，解得：且 故答案为：且． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）等腰的一边长为5，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则m的值是 【答案】64 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，等腰三角形的性质等知识点，结合一元二次方程的解和根的判别式，分已知边长5是底边和腰两种情况讨论即可．掌握分类讨论思想是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， 则，得， 当底边长为5时，则另两边相等， ， ； 当腰长为5时，另两边中至少有一个是5， 则一定是方程的一个根，代入得：， 解得． ， 解得：，， 此时三角形的三边为：5，5，11； ， ∴此种情况不存在， 的值为64． 故答案为：64． 14．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海青浦·期中）等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握一边分别为腰长和底边两种情况，进行分类讨论是解题的关键． 分别讨论当1为底时，腰长为方程的两个相等的实数根，根据判别式的意义得出，解方程；当腰长为1，则为方程的一个根，求出k，转化一元二次方程，求出解，并根据三角形三边关系判断，即可得出三角形周长．， 【详解】当底边为1时，则腰长为方程的两个相等的根， ，解得， 方程转化为，解得： ∴1、3、3符合三角形三边关系， 当腰长为1时，则为方程的一个根， ，解得， 方程转化为，解得，， ， 1、1、5不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 三角形的周长为， 故答案为：7 16．（2022·上海崇明·二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为 ． 【答案】2或/或2 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=0，求出m的值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴． 解得． 故答案为：2或． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 17．（23-24八年级上·上海长宁·期中）定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 18．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）二次三项式可在实数范围内因式分解，则的取值范围 【答案】且且且 【分析】本题考查根的判别式的应用，根据二次三项式的定义给出各系数不为0，再根据“可在实数范围内因式分解”得出，从而得解，掌握“可在实数范围内因式分解”即是是解题的关键，注意系数不为0． 【详解】解：∵是二次三项式， ∴且 ∴且且 ∵二次三项式可在实数范围内因式分解， ∴ 解得：， ∴且且且． 三、解答题 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知实数对满足，求的最大值． 【答案】的最大值． 【分析】本题考查了根的判别式，设，即，得到，根据即可求解，掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：设，即， ，即， 化简整理：， 则此方程必有实数根，即， ， ， ， ∴的最大值． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)m的最大非正整数值是0； 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据题意结合（1）所求的m的取值范围，可确定的值，代入原方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且 （2）∵且 ∴m的最大非正整数值是． 当时，一元二次方程化为： ， 配方得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与其判别式的关系，解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与其判别式的关系是解题的关键：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时,方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根． 21．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】根据方程有两个不等的实数根，得到判别式大于0，且，列式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， ， ， 实数的取值范围为且． 【点睛】本题考查根的判别式．解题的关键是熟练掌握根的情况和判别式的大小关系． 22．（23-24八年级上·上海长宁·期中）已知关于x的一元二次方程的根的判别式为，求k的值和方程的根． 【答案】k的值为4，方程的根为， 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，二次根式有意义的条件，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的判别式，公式法解一元二次方程是解题的关键．由题意知，，，解得，，，计算求出满足要求的解即可；一元二次方程为，公式法求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ， 整理得，， ， ∴或， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 解得，，， ∴k的值为4，方程的根为，． 23．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 24．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1，求k的值． 【答案】8 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，由一元二次方程的，建立k的方程，求出k的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，其根的判别式的值是1， ， ， ∴或， ， ∴k的值为8． 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：． (1)若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数； (2)若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算第2个方程的判别式得，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，然后方程①没有实数根列出关于k的不等式求解即可； （2）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】（1）解：对于方程②：， ∵ ， ∴无论k为何值时，方程②总有实数根， ∴方程②总有实数根， ∵方程①、②只有一个方程有实数根， ∴此时方程①没有实数根， 对于方程①：， ． ∴或， 解不等式组，得无解； 解不等式组，得， ∴整数k的值为； （2）解：根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 26．（23-24八年级上·上海静安·期末）关于的方程的两个实数根为、，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次根于系数的关系和根的判别式等知识．根据得到或．分和两种情况分类讨论，分别利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解，并进行检验即可求解． 【详解】解：∵ ∴或． 当时， ∵、为关于的方程的两个实数根， ∴． 解得，经检验是方程的解， 此时一元二次方程为，有两个互为相反数的实数根，符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 此时一元二次方程为，有两个相等的实数根，符合题意． ∴或 27．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)如果等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围； （2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ， 解得：， ∴m的取值范围为． （2）解：当7为底时，由题意得，， 则， 解得， 此时一元二次方程， 解得，因为，舍去； 当7为腰时，将代入得： ， 解得或， 当时，得三边长为7、7、15，因为（舍去）， 当时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 故m的值为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决． 28．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）材料阅读： 韦达定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【答案】(1)1； (2)不存在，理由见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、完全平方公式、根的判别式、分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 29．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果方程是关于x的一元一次方程，试判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题考查根的判别式，根据一元一次方程的定义，得到，将整理为一元二次方程的一般形式，求出判别式的的符号，即可得出结论． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∵，整理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 30．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 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