第06讲 一元二次方程根的判别式（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 一元二次方程根的判别式（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型强化 题型一．根的判别式 1．（2022秋•浦东新区期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．（2023秋•徐汇区月考）已知，判断方程的解的情况：　　． 3．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 题型二．根与系数的关系 4．（2023秋•青浦区校级期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于的方程是常数）是“差1方程”，则的值为 　　． 5．关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则的值为　　 A． B． C． D．0 6．（2023秋•静安区校级期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数，满足：，且，则　7　，　　； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，且，则　　． 分层练习 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 2．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．下列关于 的方程一定有实数解的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 6．如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 二、填空题 7．已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 9．如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 10．一元二次方程的根的情况是 ． 11．一元二次方程的根的判别式为 ． 12．若实数x满足，则 ． 13．已知m是常数，那么关于x的方程根的情况是 . 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 16．已知关于x的方程（m为常数）有两个实数根，则m的取值范围为 ． 17．方程的根的判别式的值为 ． 18．已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ． 三、解答题 19．关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 20．解关于x的方程：． 21．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 22．已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根． 23．已知等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，求m的值及等腰三角形的周长． 24．已知关于x的方程是一元二次方程． (1)求m的值； (2)解该一元二次方程． 25．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，，均为整数； (3)当取哪些有理数时，，均为整数． 26．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程的两根分别为，，求和的值． （2）已知方程的两根分别为，，求的值． （3）当取何值时，关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元二次方程根的判别式（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 题型强化 题型一．根的判别式 1．（2022秋•浦东新区期中）一元二次方程的根的情况是　　 A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：，，， △， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．（2023秋•徐汇区月考）已知，判断方程的解的情况：　有两个不相等的实数根　． 【分析】先求一元二次方程的判别式，然后利用得到△，从而根据根的判别式的意义可判断根的情况． 【解答】解：△， 而， ，即△， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 3．（2023秋•崇明区期末）如果方程是关于的一元一次方程，是判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【分析】先根据一元一次方程的定义得到，再把方程整理为，计算判别式得到△，然后根据判别式的意义可判断关于的方程根的情况． 【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数解． 理由如下： 方程是关于的一元一次方程， ，即， 方程整理为， △， ， 关于的方程有两个不相等的实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 题型二．根与系数的关系 4．（2023秋•青浦区校级期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．已知关于的方程是常数）是“差1方程”，则的值为 　或0　． 【分析】设方程的两个根为，，由题意，得：，，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【解答】解：设方程的两个根为，，由题意，得：，，， ， 解得：或， 故答案为：或0． 【点评】本题考查根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 5．关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则的值为　　 A． B． C． D．0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【解答】解：， ， ， 把代入得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键． 6．（2023秋•静安区校级期中）阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数，满足：，且，则　7　，　　； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足：，且，则　　． 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）结合（1）的过程，将平方后变形为，再代入数据即可得出结论； （3）令，，则，，可得，是方程的两个不相等的实数根，可得，将其代入即可求解． 【解答】解：（1）实数，满足：，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，． 故答案为：7，1； （2）由（1）得， ，． ，， （取正，负值舍去）； （3）令，，则，， ， ，即， ，是方程的两个不相等的实数根， ， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，巧妙的找出、、是某方程的两个根是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； ．∵，∴有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； ．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； ．∵，∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．下列关于 的方程一定有实数解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出每个方程的判别式即可得到答案． 【详解】解：A、，当时，，此时该方程无实数根，故此选项不符合题意； B、，该方程无实数根，故此选项不符合题意； C、，该方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意； D、，该方程无实数根，故此选项不符合题意； 故选C． 4．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 解得：且． 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 5．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 6．如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】因二次三项式在实数范围内能分解因式，所以有实数根，据此求解即可． 【详解】∵二次三项式在实数范围内能分解因式， ∴有实数根， ∴， ∴且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为，那么一元二次方程可整理为． 二、填空题 7．已知关于x的方程有两个实数根，那么m ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：且， 故答案为：且． 8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】原方程化为：，利用根的判别式即可求解． 【详解】解：原方程化为：， 由题意得：， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握其判别式是解题的关键． 9．如果关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的意义，根据根的情况，列式，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 故答案为： 10．一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解： ∵ ∴， 方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11．一元二次方程的根的判别式为 ． 【答案】 【分析】将方程的二次项系数，一次项系数，常数项代入进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 12．若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或6，用判别式排除，得． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得：或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：6． 13．已知m是常数，那么关于x的方程根的情况是 . 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】利用根的判别式即可判断出根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握，以及时一元二次方程有两个不相等的实数根． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵关于x的方程，即有两个不相等的实数根， ∴，， 解得，，且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为0． 15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式得到它们的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 16．已知关于x的方程（m为常数）有两个实数根，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（m为常数）有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：且 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 17．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】52 【分析】先根据一元二次方程的定义得出a、b、c的值，再根据根的判别式计算公式即可得． 【详解】解：方程变形为：， ， ， 故答案为：52． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握 的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 18．已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 ． 【答案】-2 【分析】根据题意由方程|x2+px+q|=2得到x2+px+q-2=0，x2+px+q+2=0，根据判别式得到Δ1=p2-4q+8，Δ2=p2-4q-8，依此可Δ2=0，Δ1=16，可得p2-4q-8=0，依此可求q的最小值． 【详解】解：∵|x2+px+q|=2， ∴x2+px+q-2=0①， x2+px+q+2=0②， ∴Δ1=p2-4q+8， Δ2=p2-4q-8， ∴Δ1＞Δ2， ∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|=2， ∴Δ2=0，Δ1=16， ∴p2-4q-8=0， ∴q=p2-2， 当p=0时，q的最小值-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，根据题意由根的判别式得到p2-4q-8=0是解题的关键． 三、解答题 19．关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有；理由见解析 【分析】根据根的判别式进行判断即可． 【详解】解：关于的方程中， ∵，，， ∴， ∴方程一定有实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 20．解关于x的方程：． 【答案】时，；且时，；当时，原方程无解 【分析】分和两种情况进行讨论，当时根据根的判别式再分和两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：； 当时，， 若，即时， 则， 若，即，则原方程无解； 综上：时，；且时，；当时，原方程无解． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，灵活运用所学知识点运用分类讨论的思想解题是关键． 21．已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 22．已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根． 【答案】或，方程的根为：或 【分析】根据题意得：且解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得． 【详解】解：根据题意，得：，即， ， 解得：或， 当时，方程为， 解得：， 当时，方程为， 解得：， 或，或． 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是掌的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 23．已知等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，求m的值及等腰三角形的周长． 【答案】m的值为8或9，周长为10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根的判别式及三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，结合根与系数的关系，分已知边长4是底边和腰两种情况讨论． 【详解】解：当4为腰时，则 ∴ ∴ ∴ ∴三角形三边为：2、4、4， 则，能构成三角形， ∴周长为． 当4为底边时，则有两个相等的实数根 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴三角形三边为：3、3、4， 则，能构成三角形，, ∴周长为． 综上所述：m的值为8或9，周长为10． 24．已知关于x的方程是一元二次方程． (1)求m的值； (2)解该一元二次方程． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求得的m值，代入方程，利用根的判别式判定方程无解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程是一元二次方程， ， 解得； （2）解：方程为， 即， ，，， ， 故原方程无解． 【点睛】本题考查一元二交次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握用根的判别式判定一元二次方程根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没有实数根是解题的关键． 25．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)若，求的值； (2)当取哪些整数时，，均为整数； (3)当取哪些有理数时，，均为整数． 【答案】(1)1或 (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可； （2）根据根与系数的关系可得若为整数，可得整数，然后结合两根之积、解方程分别验证即可； （3）显然，当时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设，则方程可变形为，即为，再结合整数的意义即可解答． 【详解】（1）∵， ∴不论k为何值，关于的一元二次方程都有两个实数根，， ∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 分两种情况：①若两根同号，由可得：，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； ②若两根异号，由可得：， 即， ∴， 解得：， 综上，k的值为1或 ； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 若，均为整数， 则为整数， ∴整数， 当时，不是整数，故应该舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根不是整数，故舍去； 当时，此时方程为，方程的两个根为，都是整数，符合题意； 综上，当取时，，均为整数； （3）显然，当时，符合题意； 当k为有理数时，由于为整数， ∴k应该是整数的倒数，不妨设，m为整数， 则方程即为， 配方得：， 即， 当即时，方程的两根为，都是整数，符合题意； 当时，不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立； 综上，或． 【点睛】本题是一元二次方程的综合题，主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 26．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，．以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程的两根分别为，，求和的值． （2）已知方程的两根分别为，，求的值． （3）当取何值时，关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数? 【答案】（1），；（2）；（3）k=2或-2． 【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． （2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答． （3）根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出k的值，再将k值代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定a值． 【详解】解：（1）方程的两根分别为，， ∴，； （2）方程的两根分别为，， ∴，， ∴； （3）设方程的两根为x1，x2， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴x1•x2==1， ∴k2=4， ∴k=2或-2， 当k=-2时，原方程变形为3x2+10x+3=0，Δ=100-36=64>0，此方程有实数根， 当k=2时，原方程变形为3x2-14x+3=0，Δ=196-36=160>0，此方程有实数根， ∴k=2或-2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．熟练掌握，中a、b、c所表示的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$