专题06 一元二次方程的解法（七大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 一元二次方程的解法（七大题型，60题） 目录 题型一：解一元二次方程--直接开方法 1 题型二：解一元二次方程--配方法 5 题型三：配方法的应用 12 题型四：公式法解一元二次方程 17 题型五：因式分解法解一元二次方程 23 题型六：换元法解一元二次方程 28 题型七：一元二次方程的根与系数的关系 31 一、题型一：解一元二次方程--直接开方法 1．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程的实数解为 ． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2． 4．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解关于x的方程： 5．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： 6．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解关于x的方程 7．（22-23八年级·上海·名校周测）解关于的方程：． 8．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 二、题型二：解一元二次方程--配方法 9．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 10．（23-24八年级上·上海·名校周测）用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 13．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)当时，求a的值. 14．（23-24八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程： 16．（22-23八年级·上海·名校周测）用配方法解方程：． 17．（22-23八年级上·上海普陀·期中）解方程： 18．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 20．（22-23八年级上·上海·期中）解方程：（配方法） 三、题型三：配方法的应用 21．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·上海闵行·期中）将方程化成两个一次方程是 和 ． 23．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 24．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 25．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）当x＝ 二次根式有最小值，最小值为 ． 26．（23-24八年级上·上海·名校周测）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 四、题型四：公式法解一元二次方程 27．（23-24八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 29．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 30．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 31．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 32．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程： 34．（24-25八年级上·上海·阶段练习） 35．（23-24八年级上·上海·名校周测）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 36．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 五、题型五：因式分解法解一元二次方程 37．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 38．（23-24八年级上·上海·名校周测）方程的根为 ． 39．（23-24八年级上·上海·名校周测）当 时，代数式为完全平方式． 40．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当 时，与既是最简二次根式又是同类二次根式 41．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程，得 ． 42．（23-24八年级上·上海静安·期末）定义“独特数”U，对于任意一个三位数n，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为n的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知（，且x为整数），若，则 ． 43．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 44．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 六、题型六：换元法解一元二次方程 45．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 46．（23-24九年级上·上海静安·阶段练习）已知方程，如果设，那么原方程可以变形为 ． 47．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 48．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 49．（23-24八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）解方程： 七、题型七：一元二次方程的根与系数的关系 51．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若三个整数使得方程的两个根为，则的值为 ． 52．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 53．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 54．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 55．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，且有及，则的值为 ． 56．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）一元二次方程的两根为、，则 ． 57．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，这个方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：. 两根之积为：，这就是一元次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题：已知，是一元二次方程的两根，那 ． 58．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若实数，且a，b满足，，则 ． 59．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 60．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 6 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 一元二次方程的解法（七大题型，60题） 目录 题型一：解一元二次方程--直接开方法 1 题型二：解一元二次方程--配方法 5 题型三：配方法的应用 12 题型四：公式法解一元二次方程 17 题型五：因式分解法解一元二次方程 23 题型六：换元法解一元二次方程 28 题型七：一元二次方程的根与系数的关系 31 一、题型一：解一元二次方程--直接开方法 1．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）方程的实数解为 ． 【答案】 ； 【分析】通过移项、系数化为1、开平方先求出，舍去负值后进一步开平方即可． 【详解】解：移项后可得： 或（舍） 故答案为： ． 【点睛】本题考查了高次方程的求解问题，解题步骤参照解一元二次方程的步骤，将方程逐步转化为(n为偶数，a为常数）的形式，再通过逐步开平方降次即可求解，注意解题过程中不符合条件的值舍去即可． 2．（22-23八年级上·上海·阶段练习）若是关于的方程的根，则关于的方程的根是 ． 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的根的定义将代入方程，可得，解得，再将代入关于的方程并解该一元二次方程即可． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 将代入关于的方程， 可得， 解得，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及解一元二次方程，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2． 【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解． 【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案． 【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1， 合并同类项得：（b﹣1）y2＝3， 当b＝1时，原方程无解； 当b＞1时，原方程的解为y＝±； 当b＜1时，原方程无实数解． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论． 4．（23-24八年级下·上海·阶段练习）解关于x的方程： 【答案】时，此方程无解；时，． 【分析】由于，故可将原方程先整理成，再分与，分别根据非负数的性质和直接开平方法解答即可． 【详解】解：原方程可整理为：， ∵， ∴， ∴当即时，此方程无解； 当即时， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于常考题型，正确分类、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 5．（22-23八年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 直接开平方得， 或， 原方程解为，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程特征，选择恰当方法求解是解决问题的关键． 6．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）解关于x的方程 【答案】当时，无解；当时，， 【分析】原方程可整理为，即可分类讨论：①当时，原方程不成立，即此时无解；②当时，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ． 分类讨论：①当时，则， ∵， ∴， 则不成立，即此时无解； ②当时，则， ∴，． 综上可知：当时，无解；当时，，． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，解一元二次方程，分母有理化．利用分类讨论的思想是解题关键． 7．（22-23八年级·上海·名校周测）解关于的方程：． 【答案】，． 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程． 8．（23-24八年级下·上海青浦·期末）解关于的方程：． 【答案】当时，原方程无解，当时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，由题意得出，再分情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，原方程无解， 当时，或． 二、题型二：解一元二次方程--配方法 9．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【详解】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 10．（23-24八年级上·上海·名校周测）用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，并解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 12．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先移项，然后再按照配方法即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴． 13．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)当时，求a的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求函数值，解一元二次方程，解题的关键是理解题意． （1）根据二次根式有意义的条件可得，，再进行求解即可； （2）根据可得，，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴函数的定义域为； （2）解：当时，， 即， 解得，． 14．（23-24八年级上·上海闵行·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】先去括号、合并同类项，再利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 15．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 系数化为1得， 配方得， 因式分解得， 即， ，． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键． 16．（22-23八年级·上海·名校周测）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：由，得：， ∴， ∴， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键． 17．（22-23八年级上·上海普陀·期中）解方程： 【答案】， 【分析】将原方程二次项系数化1，然后用配方法求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 即或， ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键． 18．（22-23八年级上·上海虹口·期中）已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）先分母有理数，化简x，再把变形为，然后代入计算即可求值； （2）根据题意先列方程，再求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 当时， ； （2）解：由题意，得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式、解一元二次方程，代数式求值，掌握二次根式的运算法则、一元二次方程的解法是解决本题的关键． 19．（22-23八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解：． 【答案】 【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ＝ ＝ ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键． 20．（22-23八年级上·上海·期中）解方程：（配方法） 【答案】 【分析】首先移项，将二次项系数化为1后，然后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键． 三、题型三：配方法的应用 21．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 22．（23-24八年级下·上海闵行·期中）将方程化成两个一次方程是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是熟练运用因式分解，此题比较简单．首先把方程的前两项构成完全平方式，然后进行因式分解把二次方程化成两个一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，， 故答案为：，． 23．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 24．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）当x＝ 二次根式有最小值，最小值为 ． 【答案】 -1 【分析】把配方得：，即可解决． 【详解】 ∵ ∴ 当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为 故答案为：-1， 【点睛】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方． 26．（23-24八年级上·上海·名校周测）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，配方法的应用： （1）把看做一个整体，利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）①利用配方法得到，据此可得答案；②利用配方法得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）① ， ∵， ∴， ∴的最小值为； ② ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 四、题型四：公式法解一元二次方程 27．（23-24八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可． 【详解】解：令，解得，， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 30．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【详解】解：令，则式子可化为， 令， ，， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 31．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 【详解】解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 32．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点作于点，由题意可设，则有，然后根据勾股定理可得，进而求出或，最后分类求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 设， 则， 在中，由可得， 解得 当，即时，； 当，即时，； 的长度为或， 故答案为：1或7． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为一般式后，利用公式法求出方程的根即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴． 34．（24-25八年级上·上海·阶段练习） 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先利用因式分解法得出或，然后利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 当时， ， ∴， ∴，； 当时， ， ∴方程无解， 综上，方程的解为，． 35．（23-24八年级上·上海·名校周测）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 36．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）解关于的方程：． 【答案】或或或 【分析】先求出“”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解：， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时，， ， ∴ ∴，； ②当方程是一元一次方程时，且， 解得， 当时，方程为， 解得； 当时，方程为， 解得． 所以，方程的解为：，，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 五、题型五：因式分解法解一元二次方程 37．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 38．（23-24八年级上·上海·名校周测）方程的根为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用平方差公式把原方程变形为，进而提取公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 39．（23-24八年级上·上海·名校周测）当 时，代数式为完全平方式． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数及解一元二次方程．熟练掌握是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即或， 解得，或， 故答案为：或或或． 40．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）当 时，与既是最简二次根式又是同类二次根式 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个二次根式为同类二次根式，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，舍去； 当时，，是最简二次根式，符合题意； 故答案为： 41．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程，得 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后提取公因式x后分解因式求解可得． 【详解】解： 或， 解得：，， 故答案为：，． 42．（23-24八年级上·上海静安·期末）定义“独特数”U，对于任意一个三位数n，其各个数位上的数字均不为零且互不相同，将其任意两位数字对调一共可以得到三个不同的三位数，这三个三位数的和与111的商即为n的“独特数”，记为，比如627的独特数．已知（，且x为整数），若，则 ． 【答案】835 【分析】本题考查解一元二次方程、整式的加减，根据“独特数”的定义，得到，进而列方程求解即可．理解题中定义，正确列出方程式是解答的关键． 【详解】解：根据“独特数”的定义，又（，且x为整数）， ∴ ， ∵， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：835． 43．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知为实数，若，那么的值为 ． 【答案】2或3 【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 解解，， 故答案为：2或3． 【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键． 44．（2024·上海·模拟预测）求：方程所有解的和与方程所有解的和的比值 【答案】 【分析】本题考查了利用二次根式解方程，换元法，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，分别求出两个方程的解，再求出比值即可求解，掌握二次根式的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由方程得，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴方程的解为； 令，则， ∴， ∴原方程变形为， 整理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，均为原方程的解， ∴， ∴两个方程所有解的和的比． 六、题型六：换元法解一元二次方程 45．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程中，如果设，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键． 将原分式方程中的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， 故答案为：． 46．（23-24九年级上·上海静安·阶段练习）已知方程，如果设，那么原方程可以变形为 ． 【答案】． 【分析】由题意得：设，则＝，代入即可解答出． 【详解】解：根据题意得：设， 则＝， ∴原方程可变为； 故答案为． 【点睛】此题主要考查利用整体代入法对方程进行换元，解题的关键是正确理解整体代入法． 47．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）用换元法解方程﹣＝1，设y＝，那么原方程可以化为关于y的整式方程为 ． 【答案】y2+y﹣2＝0 【分析】可根据方程特点设y＝，则原方程可化为﹣y＝1，化成整式方程即可． 【详解】解：方程﹣＝1， 若设y＝， 把设y＝代入方程得：﹣y＝1， 方程两边同乘y，整理得y2+y﹣2＝0． 故答案为：y2+y﹣2＝0． 【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 48．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【分析】 设，则，对原方程进行变形，求出y的值，即为的值． 【详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或1， ∴的值为7或1． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法，把看作整体，直接求出的值是解题的关键． 49．（23-24八年级上·上海闵行·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】设 则 令 求解的值，再分解因式即可. 【详解】解：设 则 令 即 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，利用一元二次方程的求根公式分解因式，熟练的利用公式法解一元二次方程是解本题的关键. 50．（23-24九年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】将原方程整理，移项，令，然后解关于t的一元二次方程，获得t的值，代回原方程即可求解． 【详解】 移项，整理得： 令，原式变为 解得，（舍去） ∴，即 解得， 故答案为 ，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令，然后解关于t的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 七、题型七：一元二次方程的根与系数的关系 51．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若三个整数使得方程的两个根为，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键． 先通过根与系数之间的关系得到，，再通过计算得出a的解，进而得出b与c的解，进而可得到答案 ． 【详解】解：∵与是方程的两个根，故通过韦达定理可得到， 故 ∴ ∵为整数， ∴或 故（舍）， ∴ ∴，故 ∴ 故答案为：18 ． 52．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为 【答案】或0/0或 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 53．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程有一个实数根为1，则方程的另一个实数根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，． 设方程的另一个实数根为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设方程的另一个实数根为， ∵，关于x的方程有一个实数根为1， ∴， 解得，， 故答案为：2． 54．（23-24八年级上·上海松江·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是“差1方程”， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 55．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知，且有及，则的值为 ． 【答案】10 【分析】将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， 是的两根， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键． 56．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）一元二次方程的两根为、，则 ． 【答案】14 【分析】先将原方程展开并化简得，再由根与系数关系得，，然后将展开，得，即可整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程的两根为、， ∴，， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查一元二次函数根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：，是一元二次方程的两根时，，是解题关键． 57．（23-24八年级上·上海普陀·期中）阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，这个方程的两个实数根可以表示为：，， 此时方两根之和为：. 两根之积为：，这就是一元次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题：已知，是一元二次方程的两根，那 ． 【答案】 【分析】根据材料提供的定理求得，的值，再利用完全平方公式变形代入求值即可求解． 【详解】解：方程整理得， 由题意得：，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据材料求得，的值是解题的关键． 58．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若实数，且a，b满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知可知a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系，得；然后再根据分式的加法运算法则，将所求的式子化成关于的形式，再代入即可求解． 【详解】解：实数，且a，b满足，， a，b是方程的两个不相等的实数根， ， ∴ ． 【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值、根与系数的关系、分式的加法运算、完全平方公式等知识，熟练掌握根与系数的关系、分式的化简变形是解答此题的关键． 59．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 60．（22-23八年级上·上海静安·期中）数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$