26.1.1反比例函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章 反比例函数 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 26.1.1 反比例函数 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大，电流 I 会变小，灯光就会变暗；相反，当 R 变小，电流 I 会变大，灯光就会变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？ 如何用数学公式进行说明？ 受力面积越大 压力就会越小. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数. 其中 x 是自变量，y 是函数. 其中分子是常数. 都具有分式的形式. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在反比例函数 中，x 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量x 的取值范围是所有非零实数. 反比例函数 中，x,y,k 均不为0. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时， v 都有唯一确定的值与其对应. 但在实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式： ， ， . BY YUSHEN BY YUSHEN ⑤y=x-1 ⑥ ⑦xy= -1 下列函数： ①y =2x +3 ② ③y=x2 +7x-1 ④ 新知探究 ②⑤⑦ 一次函数 二次函数 x的次数不为1 缺少条件m≠0 其中 y 是 x 的反比例函数的有 . (填序号) BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (1)如果 ab=k(k 为常数，k≠0)，那么 a 与 b 这两个量成反比例关系， 这里 a 和 b 既可以代表单项式，也可以代表多项式. 例如：若 y+2 与 x-5 成反比例，则 (k为常数，k≠0)； 若 y 与 x2 成反比例，则 (k 为常数，k≠0). 反比例关系与反比例函数的区别和联系 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (2)成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 如 表示 y 与 x 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 反比例关系与反比例函数的区别和联系 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 反比例函数 中的 y 与 x 成反比例，不论变量 x 与 y 如何变化，k 的值始终等于 x 与 y 的积，因此习惯上把 k 称为比例系数. 如反比例函数 的比例系数是5， 反比例函数 的比例系数是 . 反比例关系与反比例函数的区别和联系 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系，并指出比例系数k的值. （1）一个游泳池的容积为 1 800 m3，游泳池注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位：m3/h）的变化而变化； （2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化而变化； BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 （3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p（单位：Pa）随物体与地面 的接触面积 S（单位：m2）的变化而变化. p 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系，并指出比例系数k的值. （4）果果用完30元买练习本，买的练习本的本书y（单位：本）随练习本的价格x（单位：元）的变化而变化. y BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？并指出比例系数. （1）y = 4x；　（2） （3）y= （4）y = 6x+1； （5）y = x2-1；（6）y= （7）xy = 123 ． 解：(3) 是反比例函数；k=-2 (7) 是反比例函数；k=123 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 填空： (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 ; (2) 若是反比例函数，则m的取值范围是 ; (3) 若是反比例函数，则m的取值范 围是 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：(1)设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 . 解得 k =12. 因此 . (2)把 x=4 代入 ，得 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法. 在反比例函数 (k 为常数，k≠0)中，只有一个待定系数 k，因此只要给出一组 x，y 的对应值，就可以求出待定系数 k 的值，从而确定反比例函数的解析式. 用待定系数法求反比例函数 (k 为常数，k≠0)的解析式的实质是代入一对 x，y 的对应值，解方程. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 待定系数法 ①设（设出含有待定系数的反比例函数解析式）； ②代（将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程）； ③解（解方程，求出待定系数）； ④写(写出反比例函数解析式). BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 已知函数 y=(5m-3)x2-n +(m+n)(m，n 为常数). (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ (3)当 m，n 为何值时，为反比例函数？ 解：(1)当函数 y=(5m-3)x2-n+(m+n) 是一次函数时， 2-n=1，且 5m-3≠0，解得 n=1 且 m≠ . 因此，当 m≠ ，n=1 时，为一次函数. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 解：(2)当函数 y=(5m-3)x2-n+(m+n) 是正比例函数时, 且5m-3≠0，解得 n=1，m= -1. 因此，当 m= -1，n=1 时，为正比例函数. 例5 已知函数 y=(5m-3)x2-n +(m+n)(m，n 为常数). (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ (3)当 m，n 为何值时，为反比例函数？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 解：(3)当函数 y= (5m-3)x2-n+ (m+n) 是反比例函数时， 且 5m-3≠0，解得 n=3，m= -3. 因此，当 m= -3，n=3 时，为反比例函数. 例5 已知函数 y=(5m-3)x2-n +(m+n)(m，n 为常数). (1)当 m，n 为何值时，为一次函数？ (2)当 m，n 为何值时，为正比例函数？ (3)当 m，n 为何值时，为反比例函数？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x=-3时，求 y 的值. 解：(1)设反比例函数的解析式为 . 因为当 x=6时， 所以，解得 k= -3.所以 . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 解：(2) 所以当x=-3 时， 带入可得y=1. 例6 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，. (1)求出 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x=-3时，求 y 的值. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 已知一个长方体的体积是100 cm3 ，它的长是 x cm，宽是5 cm，高是 y cm. (1)写出用长表示高的函数解析式； (2)写出自变量 x 的取值范围； (3)当它的长是8 cm时，求长方体的高. 解： (1)由题意得5xy=100，所以. (2)自变量 x 的取值范围是 x>0. (3)当 x=8时， ， 所以当长方体的长是8 cm 时，长方体的高是2.5 cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 反比例函数 表达方式 一般地，形如(k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 概念 求解析式 待定系数法步骤： ①设 ②代 ③解 ④写 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.已知反比例函数的解析式为 y = ，则 a 的取值范围是( ) A．a ≠2 B．a ≠-2 C．a ≠±2 D．a =±2 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N和0.5 m，则动力F(单位：N)关于动力臂 l (单位：m)的函数解析式正确的是( ) A. B. C. D. B BY YUSHEN BY YUSHEN 3.验光师测得一组关于近视眼镜的度数 y (度)与镜片焦距 x (米)的对应数据如下表，根据表中数据，可得 y 关于 x 的函数解析式为( ) A. B. C. D. 当堂检测 近视眼镜的度数 y/度 200 250 400 500 1000 镜片焦距 x/米 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：(1)依题意得 ，则 . 该函数是反比例函数. 4.写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是24 cm3时，它的高 h (cm)与底面圆的面积 S (cm2)的关系； (2)玲玲把500元全部用来买营养品送给她外婆，她所能购买营养品的质量 y (kg)与价格 x (元/kg)的关系. (2)依题意得 ，该函数是反比例函数. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 5.已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. 　　（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； 　　（2）当 x = 1.5 时，求 y 的值； 　　（3）当 y = 6 时，求 x 的值. 解: （1）设y= ，把 x = 3，y = 4 代入得 k = 36. 即y= . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 5.（2）当 x = 1.5 时，求 y 的值； （3）当 y = 6 时，求 x 的值. 解：（2）当 x = 1.5 时，y==16 （3）当 y = 6 时，=6, x= BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.已知反比例函数 ，求 的值. 解：因为 是反比例函数， 所以 ，且 m+1≠0，解得 m=1. 当 m=1时， . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.某货轮若以每小时10千米的速度从 A 港航行到 B 港，则需要6小时. (1)写出货轮从 A 港航行到 B 港的时间 t (时)关于速度 v (千米/时)的函数解析式； (2)如果货轮的速度为12千米/时，那么从 A 港航行到 B 港需几小时？ 解：(1)因为路程为10×6=60(千米)，所以 vt =60， 所以时间 t 关于速度 v 的函数解析式为 . (2)当 v=12千米/时时， (时). 答：从 A 港航行到 B 港需5小时. BY YUSHEN BY YUSHEN $$