26.1.2（第1课时）反比例函数的图象和性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第26章 反比例函数 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 26.1.2 （第1课时） 反比例函数的 图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？ 如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如何画函数 的图象. 回顾：描点法画函数图象的步骤 列表：在自变量的取值范围内，列表表示几对 x 与 y 的对应值. 描点：以表中各对对应值为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点. 连线：按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … … … 列表表示几组x与y的对应值如下： y= x 6 -0.5 -1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1 0.5 函数 所在象限 增减性 第一、三象限 x>0时，y 随 x 的增大而减小x<0时，y 随 x 的增大而减小 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k>0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第一，三 减小 图象位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 思考：函数 的图象与坐标轴会相交吗？ 你能类比画出函数 的图象吗？ 因为x≠0，y≠0，所以图象不会与x轴，y轴相交. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 这个条件可以删去吗？为什么？ x y o 不能，因为k>0时，第一象限图象对应的y值 永远大于第三象限图象对应的y值. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 … … … 0.5 1 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 思考：如何画函数 的图象. 1. 该反比例函数图象由 条曲线组成. 2. 该图象位于 象限. 3. 在每个象限内，函数值y随着自变量x的 增大而 . 4. 猜想：当k<0时，反比例函数的图象位置和增减性. 两 第二，四 增大 图象位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k<0) 的图象和性质： x y o BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 k>0 k<0 图象 位置 增减性 图象的发展趋势 两支曲线分别位于 第一，三象限 两支曲线分别位于第二，四象限 在每一象限内, y随x的增大而减小 在每一象限内, y随x的增大而增大 无限接近于x,y轴，但永远不能于x,y轴相交 x y o x y o 一般地，反比例函数 的图象是两支双曲线，它具有以下性质： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 1、函数 的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . 2、 函数 的图象在第 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 . 3、函数 ，当x>0时，图象在第 象限，y随x 的增大而 . 一、三 二、四 一 减小 增大 减小 填空： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：双曲线是中心对称图形么？是轴对称图形么？如果是，请指出对称轴. 中心对称：反比例函数的图象关于原点对称 轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分线(直线y=x或直线y=-x)对称. k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，y轴对称. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：观察右图所示的反比例函数的图象，你能发现k值和反比例函数图象离原点的远近有何关系？ 反比例函数∣k∣越大，反比 例函数的图象离原点越远. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 反比例函数 的图象如图所示， 当x=-2时，y= ， 当x<-2时，y的取值范围是 ; 当y>-1时，x的取值范围是 . -1 -1<y<0 x<-2或x>0 -2 -1 下列图象中是反比例函数图象的是( ). C 例2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 在同一平面直角坐标系中，函数 (k≠0)与 y=-kx+1(k≠0)的图象可能是( ) 解：当 k<0 时，函数 的图象位于第二、第四象限，函数 y=-kx+1 的图象经过第一、第二、第三象限，排除C，D. B BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 点(-1，4)在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A.(4，-1) B.(，1) C.(-4，-1) D.(，2) 4×(-1)=-4 (-4)×(-1)=4 k=(-1)×4=-4 A BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 已知反比例函数 的图象经过点A（2，-4）. （1）求k 的值； （2）函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ （3）画出函数的图象； （4）点 、C（-3，5）在这个函数的图象上吗？ 解：（1）因为函数 的图象经过点A（2，-4）， 把x=2，y=-4代入 ，得-4= ，解得k = -8. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 解：（2）因为k=-8＜0，由反比例函数的性质可知， 函数 的图象在第二、四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大. （3）函数 的图象如图所示. （4）把 代入 ，得y=16， 所以点 在函数的图象上； 把x=-3代入 ，得 ， 所以点C（-3，5）不在函数的图象上. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，矩形 ABCD 的顶点 A 和对称中心均在反比例函数 (k≠0，x＞0)上，若矩形 ABCD 的面积为12，则 k 的值为( ) A．12 B．6 C．4 D．3 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 解析：设矩形的对称中心为 E，连接 OA、OE，过 E 作EF⊥OC ，垂足为 F， ∵点 E 是矩形 ABCD 的对称中心， ∴BF=FC= BC，EF= AB， 设 OB=a，AB=b，∵ABCD 的面积为12， ∴BC= ，BF=FC= ， ∴点 E(a+ ， b)，∵S△AOB=S△EOF= k， ∴ ab= (a+ )× b= k，即 ab=6=k. E F BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 形状 位置 增减性 对称性 双曲线 1、k>0时，两支曲线分别位于第一，三象限； k<0时，两支曲线分别位于第二，四象限； 2、图象无限接近于x，y轴，但永远不能与x，y轴相交. 3、|k| 越大，反比例函数的图象离原点越远. k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小； k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大. 1、中心对称：反比例函数的图象关于原点对称； 2、轴对称：反比例函数的图象关于第一，三象限角平分 线(直线y=x或直线y=-x)对称. 3、k值相反的两个反比例函数的图象关于x轴，y轴对称. 反比例函数的 图象和性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.在函数 的图象上的点是（ ） A.（-2，6） B.（-2，-6） C.（3，-4） D.（-3，4） B 2.反比例函数 的图象位于（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 C A. x y o D. x y o C. x y o y B. x o 3. 反比例函数 (a为常数) 的图象大致是( ) 4.对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( ) A.图象经过点(1，-3) B.图象位于第二、四象限 C.图象关于直线 y=x 对称 D. y 随 x 的增大而增大 D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)， 若 x1>0，x2<0，则 y1与 y2的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B.y1 = y2 C.y1< y2 D. 无法确定 A 6.如图所示的图象对应的函数解析式为( ). C A. y=5x B. y=2x+3 C. D. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7（1）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数 图象上，则y1______y2；（填“＞”“＜”或“=”） （2）若关于x，y的函数 图象位于第一、三象限，则m的取值范围是____________； （3）已知点（－m，n）在反比例函数的图象上，则它的图象也一定经过点__________. > m＞-1 （m，-n） BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.已知点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0)的图象上,若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． BY YUSHEN BY YUSHEN $$