专题02 实际问题与一元二次方程（7大基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题02 实际问题与一元二次方程 传播问题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？ 2．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 增长率问题 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同． （1）求每年绿化面积的平均增长率； （2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？ 3．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 与图形有关的问题 1．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 ．    5．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图所示，有一段长的旧围墙，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地，怎样围成一个面积为的长方形场地？ 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）在足够大的空地上有一段长为32米的旧墙，王爷爷要利用旧墙和60米的木栏围成中间有一道木栏的矩形菜园，其中，如图所示，设米．    (1)的长为__________米（用含的式子表示）； (2)若所围成的矩形菜园的面积为300平方米，求的值； (3)嘉嘉说：“当矩形菜园的面积为297平方米时，有两种围法．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并通过计算说明． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期中）如图，某学校计划在长为20，宽为10的矩形地面上修建相同宽度的通道（图中阴影部分），余下部分作为劳动实践基地，要使劳动实践基地的面积为，求通道的宽．    8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． (1)若墙长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米． (2)车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由． 9．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长为11米），围成如图所示的矩形花圃． (1)如果要围成面积为64平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ (2)能否围成面积为80平方米的花圃？若能，求出AD的长；若不能，请说明理由． 10．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．    11．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？ 12．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 数字问题 1．（23-24九年级上·新疆和田·期中）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知三个连续正整数的平方和为194，求这三个正整数． 营销问题 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，且经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖出件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 元时，商场每天盈利达1500元． 3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）在刚刚过去的“十一”假期中，某超市为迎接“十一”长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用3000元购进的甲种品牌洗衣液与用4000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． (1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； (2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）小王叔叔家是养猪专业户，他们养的藏香猪和土黑猪一直很受市民欢迎．小王今年10月份开店卖猪肉，已知藏香猪肉售价每斤元，土黑猪肉售价每斤元，每天固定从叔叔家进货两种猪肉共斤并且能全部售完． （1）若每天销售总额不低于元，则每天至少销售藏香猪肉多少斤？ （2）小王发现10月份每天上午就能将猪肉全部售完，而且消费者对猪肉的评价很高．于是小王决定调整猪肉价格，并增加进货量，且能将猪肉全部销售完．他将藏香猪肉的价格上涨，土黑猪肉的价格下调，销量与（1）中每天获得最低销售总额时的销量相比，藏香猪肉销量下降了，土黑猪肉销量是原来的倍，结果每天的销售总额比（1）中每天获得的最低销售总额还多了元，求的值． 动态几何问题 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为．多少秒后三角形的面积等于？ 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D移动．当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ． (1)当t=2时，求PQ的长； (2)当PQ=10cm时，求t的值． 其他问题 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现组有支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某景区门票经过两轮涨价，每人次价格从108元上调到168元，已知两次调价的百分率相同，设每次调价的百分率为x，根据题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 4．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ． 5．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为 6．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了场，参加比赛的队伍共有 支． 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．    2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ （2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ （3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． （4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实际问题与一元二次方程 传播问题 1．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？ 【答案】10个队 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这次有个队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数场，依此等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设这次有个队参加比赛，则此次比赛的总场数为场， 根据题意列出方程得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴这次有10个队参加比赛． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2． 2．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 3．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了个人． （1）第二轮被传染上流感人数是______；（用含的代数式表示） （2）在进入第二轮传染之前，如果有名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有人患病的情况发生，并说明理由． 【答案】（1）；（2）会；理由见解析 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）一个人患流感，则经过一轮传染后患病的总人数为人，然后每个人又传染人，表示出第二轮传染上流感的人数即可； （2）因进入第二轮传染之前，有名患者被及时隔离（未治愈），则第二轮后共有人患流感，而此时患流感的人数为人，根据这个等量关系列出方程，若能求出正整数解，则会有人患病的情况发生． 【详解】解：（1）根据题意：第二轮被传染上流感人数是：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，（舍）， ∵为正整数， ∴第二轮传染后会有人患病的情况发生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有四位患者被及时隔离（未治愈）列出方程并求解． 增长率问题 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）“杂交水稻之父”袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量800公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1352公斤的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1750公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，第四阶段水稻亩产量为公斤． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为，根据等量关系：第三阶段水稻亩产量第一阶段水稻亩产量（1+增长率），即可得出方程，进行解答． （2）利用求出的增长率，计算第四阶段水稻亩产量，进行对比即可解答． 【详解】（1）解：设水稻亩产量的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 水稻亩产量的平均增长率为． 答：水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：（公斤）， ， 他们的目标能实现． 【点睛】本题考查了一元二次方程关于增长率的应用，找准等量关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同． （1）求每年绿化面积的平均增长率； （2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？ 【答案】（1）10%；（2）1331万平方米． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可； （2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可． 【详解】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程： 1000（1+x）2＝1210． 解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 所以每年绿化面积的平均增长率为10%． （2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）． 答：2021年的绿化面积是1331万平方米． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； （2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数． 【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 由题意，得10(1＋x)2＝12.1， ， (不合题意，舍去)． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)， 12.6万件＜13.31万件， ∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名业务员， 根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31， 解得y≥≈1.183， ∵y为整数， ∴y≥2． 答：至少需要增加2名业务员． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解． 与图形有关的问题 1．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】由小路宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小路宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形， 依题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、图形的平移解决实际问题，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设小道的宽度应为x m，则剩余部分可合成长为（40-2x）m，宽为（26-x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为864m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小道的宽度应为 ，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：， 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ． 答：小道进出口的宽度应为2米． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）从正方形铁片上截去宽的一个长方形，剩余矩形的面积为，则原来正方形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形后剩余矩形的宽是（x-2）cm，根据矩形的面积公式列出方程，解方程求得x的值，再求原正方形的面积即可. 【详解】设正方形的边长是xcm，则所截去的长方形的宽是（x-2）cm， 由题意可得：x（x-2）=80， 解得x=10或-8（不合题意，舍去）， 所以原来的正方形的面积是100cm2. 故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题利用已知矩形面积列出方程是解决本题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 ．    【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为米，由题意有 ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 5．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图所示，有一段长的旧围墙，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用长的篱笆围成一块长方形场地，怎样围成一个面积为的长方形场地？ 【答案】为，为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设的长度为，则的长度为，根据长方形的面积公式结合围成的长方形场地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取小于的值即可得出. 【详解】解：设， ∴，且 解得：（舍），且 ∴， 答：使四边形的为，为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 6．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）在足够大的空地上有一段长为32米的旧墙，王爷爷要利用旧墙和60米的木栏围成中间有一道木栏的矩形菜园，其中，如图所示，设米．    (1)的长为__________米（用含的式子表示）； (2)若所围成的矩形菜园的面积为300平方米，求的值； (3)嘉嘉说：“当矩形菜园的面积为297平方米时，有两种围法．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用代数式表示式 【分析】（1）设米，根据60米的木栏表示出的长即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可； （3）首先根据题意得到，求得，根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）根据题意可得， ∵ ∴ ∴； （2）根据题意可得， 解得； （3）不正确，理由如下： ∵ ，解得， 根据题意可得， 解得（应舍去）， ∴． ∴嘉嘉的说法不正确，只有一种围法． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（23-24九年级上·新疆和田·期中）如图，某学校计划在长为20，宽为10的矩形地面上修建相同宽度的通道（图中阴影部分），余下部分作为劳动实践基地，要使劳动实践基地的面积为，求通道的宽．    【答案】1米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设通道的宽为x米，根据劳动实践基地的面积为列出方程，解之即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 由题意可得：， 解得：，（舍）， ∴通道的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确表示劳动实践基地的面积． 8．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． (1)若墙长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米． (2)车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)当米时，矩形车棚的面积为400平方米 (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，找出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长30米即可确定x的值； （2）利用矩形的面积计算公式，找出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出原方程没有实数根，进而可得出车棚面积不能为460平方米． 【详解】（1）解：设的长为x米，则的长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当x为20米时，矩形车棚的面积为400平方米． （2）解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴原方程没有实数根， ∴车棚面积不能为460平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”． 9．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长为11米），围成如图所示的矩形花圃． (1)如果要围成面积为64平方米的花圃，那么AD的长为多少米？ (2)能否围成面积为80平方米的花圃？若能，求出AD的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)8米 (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】(1) 设AD＝x米，则AB＝（24﹣2x）米，根据面积建立方程求解即可． (2) 设AD＝y米，则AB＝（24﹣2y）米，根据面积建立方程，判断方程根的情况求解即可． 【详解】（1）设AD＝x米，则AB＝（24﹣2x）米， 依题意得：x（24﹣2x）＝64， 整理得：﹣12x+32＝0， 解得：＝4，＝8． 当x＝4时，24﹣2x＝24﹣2×4＝16＞11，不合题意，舍去； 当x＝8时，24﹣2x＝24﹣2×8＝8＜11，符合题意． 答：AD的长为8米． （2）不能围成面积为80平方米的花圃，理由如下： 设AD＝y米，则AB＝（24﹣2y）米， 依题意得：y（24﹣2y）＝80， 整理得：﹣12y+40＝0． ∵Δ＝﹣4ac＝﹣4×1×40＝﹣16＜0， ∴该方程没有实数根， ∴不能围成面积为80平方米的花圃． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练解方程，灵活运用根的判别式是解题的关键． 10．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设选栏BC长为x米． （1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求橱栏BC的长； （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．    【答案】（1）（51-3x）：（2）10米；（3）不可能，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长； （2）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形鸡舍ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【详解】解：（1）设篱笆BC长为x米， ∵篱笆的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴AB=49+2-3x=51-3x（米）， 故答案为：（51-3x）； （2）依题意，得：（51-3x）x=210， 整理，得：x2-17x+70=0， 解得：x1=7，x2=10． 当x=7时，AB=51-3x=30＞25，不合题意，舍去， 当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意， 答：篱笆BC的长为10米； （3）不可能，理由如下： 依题意，得：（51-3x）x=240， 整理得：x2-17x+80=0， ∵△=（-17）2-4×1×80=-31＜0， ∴方程没有实数根， ∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到240平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当△＜0时，方程无实数根”． 11．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米，问小路宽为多少米？ 【答案】小路宽为1米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪的面积为570米，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，根据实际情况取舍即可得出答案. 【详解】设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：小路宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 数字问题 1．（23-24九年级上·新疆和田·期中）两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据连续两个奇数相差2，得到较大的一个奇数为，由此列得方程． 【详解】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意表示出较大的一个奇数是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为，根据两个相邻自然数的积是506，列出方程即可求解. 【详解】解：设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键. 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ． 【答案】98 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解． 【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 故答案为：98 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知三个连续正整数的平方和为194，求这三个正整数． 【答案】7,8,9 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设出这三个连续正整数，根据它们的平方和为194列方程解答即可． 【详解】解：设这三个连续正整数依次为，，，其中为自然数，则， 依题意列方程得： ， 化简得： 解得：，（舍去）， ，． 答：这三个正整数为7，8，9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据连续正整数的特点设出三个正整数是解决问题的关键． 营销问题 1．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，且经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖出件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润每件的销售利润每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为　 元时，商场每天盈利达1500元． 【答案】150或170/170或150 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设涨价x元，根据单件利润=售价－进价、利润=单件利润×销售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500， 整理得：x2－60x+800=0， 解得：x1=20，x2=40， 所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元， 故答案为：150或170． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解答的关键． 3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期中）在刚刚过去的“十一”假期中，某超市为迎接“十一”长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用3000元购进的甲种品牌洗衣液与用4000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． (1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； (2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 【答案】(1)甲品牌洗衣液的进价为30元，乙品牌洗衣液的进价为40元 (2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元二次方程解答即可． （1）设甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据“用3000元购进的甲种品牌洗衣液与用4000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同”列出方程，解方程即可求出结论； （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元，则乙种品牌的洗衣液每天可售出瓶，根据“两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元”列出方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）设甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据题意得：， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：甲品牌洗衣液的进价为30元，乙品牌洗衣液的进价为40元； （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元，根据题意得：， 化一般式为， 解得：， 答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元． 4．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）小王叔叔家是养猪专业户，他们养的藏香猪和土黑猪一直很受市民欢迎．小王今年10月份开店卖猪肉，已知藏香猪肉售价每斤元，土黑猪肉售价每斤元，每天固定从叔叔家进货两种猪肉共斤并且能全部售完． （1）若每天销售总额不低于元，则每天至少销售藏香猪肉多少斤？ （2）小王发现10月份每天上午就能将猪肉全部售完，而且消费者对猪肉的评价很高．于是小王决定调整猪肉价格，并增加进货量，且能将猪肉全部销售完．他将藏香猪肉的价格上涨，土黑猪肉的价格下调，销量与（1）中每天获得最低销售总额时的销量相比，藏香猪肉销量下降了，土黑猪肉销量是原来的倍，结果每天的销售总额比（1）中每天获得的最低销售总额还多了元，求的值． 【答案】(1)200斤;(2)25. 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设每天至少销售藏香猪肉斤，则土黑猪为（300-x）斤，根据销售总额不低于元，列不等式即可得答案；（2）根据题意构建方程即可得答案. 【详解】（1）设每天至少销售藏香猪肉斤，则土黑猪为（300-x）斤， 由题意， 解得， 答：每天至少销售藏香猪肉斤． （2）由题意：， 整理得：， 解得或（舍弃）， 答：的值为． 【点睛】本题考查一元一次不等式及一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键. 动态几何问题 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    【答案】2秒和4秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及勾股定理；设秒后线段恰好平分的面积，分别求出,，得到，再通过勾股定理计算出，计算出，线段恰好平分的面积建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时， ， ，符合题意， 当时， ， ，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在长方形中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为．多少秒后三角形的面积等于？ 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，知，则可求出，再由面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ， 长方形， ， 面积为， ， 当时，， 不符合题意，舍去， 故1秒后三角形的面积等于． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D移动．当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为ts，连接PQ． (1)当t=2时，求PQ的长； (2)当PQ=10cm时，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为1.6或4.8 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点Q作QH⊥AB于点H，则QH=BC=6，根据题意求得BH=QC=4cm，即可求得PH=AB-AP-BH=16-6-4=6cm，然后根据勾股定理求得即可； （2）设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠BHQ=90°， ∴四边形BCQH是矩形， ∴QH=BC=6cm， 当t=2时，AP=3×2=6cm，QC=2×2=4cm， ∴BH=QC=4cm， ∴PH=AB-AP-BH=16-6-4=6cm， 在中，； （2）解：设P，Q两点从出发经过ts时，点P，Q间的距离是10cm，则PQ=10cm， 根据题意得：CQ=2tcm，AP=3tcm， 由（1）得：BH=CQ=2tcm，QH=BC=6cm， ∴HP=AB-AP-BH=（16-5t）cm． 在中，， ∴， 解得t=4.8或1.6． 故当PQ=10cm时，t的值为1.6或4.8． 【点睛】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题的关键． 其他问题 1．（23-24九年级上·新疆喀什·期中）2022年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场，现组有支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．利用小组内比赛的总场数球队支数球队支数，即可得到关于的一元二次方程，得到答案． 【详解】解：根据题意：小组内比赛的总场数球队支数球队支数， 即． 故选C． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）某景区门票经过两轮涨价，每人次价格从108元上调到168元，已知两次调价的百分率相同，设每次调价的百分率为x，根据题意可列方程（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据涨价后的价格＝涨价前的价格（1+涨价的百分率），则第一次涨价后的价格是108（1+x），第二次后的价格是108（1+x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：108（1+x）2＝168， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系，根据价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 3．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 4．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·新疆阿勒泰·期中）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设有人参加活动，根据每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，列出方程即可． 【详解】解：设有人参加活动，由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 6．（23-24九年级上·新疆阿克苏·期中）年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了场，参加比赛的队伍共有 支． 【答案】10 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得 ， 解方程，得 ， （舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 1．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．    【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）能，需运动7s，△APQ的面积能等于22cm2． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题； （2） 先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题． 【详解】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：(12+6)÷2=9s， 点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s． ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止， ∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm， 答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm； （2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2， 当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．    ∵△APQ的面积能否等于22cm2， ， ∴12×622， 解得：此方程无解； 当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．    ∵△APQ的面积能否等于22cm2， ， ∴12×622， 解得：b1=1，b2=14(舍去)， 即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化． 2．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ （2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ （3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． （4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 【答案】（1）当t＝2时，△PAQ为等腰三角形；（2）当t＝时，△APD的面积为6cm2；（3）五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）t＝ 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据点在矩形边上的运动速度和时间，分别确定AQ＝tcm，BP＝2tcm，得出cm，再根据为等腰三角形，，将相等的边代入计算即可求出t值； （2）由（1）得：cm，cm，根据三角形面积公式及题目要求可得：，求解一元一次方程即可得出答案； （3）根据图形可得：矩形ABCD的面积减去△PAQ的面积即为五边形的面积，代入可得关于t的一个代数式，根据题意可得：，然后利用一元二次方程根的判别式即可确定方程是否有解，即面积能否达到20cm2； （4）利用勾股定理及根据题意可得：，然后求解，最后要考虑题意中点的运动时间是否都符合题意，不符合题意的舍去，即可得出t值． 【详解】解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm， ∵为等腰三角形，， ∴，即， 解得：， ∴当时，△PAQ为等腰三角形； （2）∵（cm2）， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为6cm2； （3）∵（cm2）， ∴ 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2； （4）在Rt△APQ中，， 根据题意得：， ∴化简后得：， 解得：，， ∵，， ∴， ∴（舍去）， ∴． 【点睛】题目主要考查点在矩形边上的动点问题，涉及到知识点包括等腰三角形性质、一元二次方程的判别式及解法、勾股定理等，对知识点的数量运用、融会贯通是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$