4.6 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学青岛版九年级上册

4.6 一元二次方程根与系数的关系 青岛版九年级上册第4章——一元二次方程 学习目标： 1.掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题. 2.经历探究过程，培养观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想. 3.通过探究，发现根与系数的关系，培养科学探究精神. 重点： 根与系数的关系及运用. 难点： 根与系数的关系的发现及运用. 1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0 3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根； △ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 一、课堂导入 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 填一填，然后用语言叙述你发现的规律； 根与系数之间的规律. 二、探究新知 解下面的方程： 5 对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1，x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系. x1+x2= x1.x2= 猜一猜 你能证明一下这个结论吗？ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac ≥ 0 时有两个根： 如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 有两根实数根x1，x2， 那么 归纳： 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( –6 )2 – 4 × 1 ×(–15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( –6 ) = 6， x1 x2 = -15. (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； 解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = − ， x1 x2 =-3 (3) 5x – 1 = 4x2. 解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 =− 总结 求两根之和、两根之积的步骤： 化为一般式 → 判断 Δ≥0 → 代入 a、b、c 11 【解析】设方程的另一个根是，那么 2=-, 则=- 又2+（-）=- 答：方程的另一个根是-，m的值是-4. ∴ m=-4 【例2】已知方程 3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另一 个根及m的值. 12 【解析】由一元一次方程根与系数的关系，得 常见的求值式子如下： 知识拓展 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; 解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. △ =b2-4ac = = 49-24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=-7， x1x2 = 6. 三、课堂练习 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （2）2x2 - 3x -2 = 0 . （2）这里 a = 2，b = -3，c = -2. △ =b2-4ac = = 9+16 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2= ， x1x2 = -1. 三、课堂练习 2. 已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. x1+x2=-， x1x2 =- . 解：由题意，可得 解得：x2 =-,k = -7. ∵ x1= 2， 3. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？ 解：由题意，可得 x1+x2 = 17， 即两边长之和为 17，小于 20， 所以这个三角形的第三边的长不可能是 20. 4. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2022 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2022x1 + x22 的值是 ( ) A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 A x12-x1-2022=0 x12 -2022= x1 x13-2022x1+x22 x1(x12-2022)+x22 x12+x22 (x1+x2)2-2x1x2 x2-x-2022=0 x1+x2=1，x1x2 =-2022 4045 定义 根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 __________________________ 应用前提 方程有实数根，即_____________ 应用 Δ=b2 - 4ac≥0 四、知识总结 x1+x2= x1.x2= 1.必做作业： ①课本P１49，复习与巩固1-4； ②预习下一课时; 2.选做作业： P149拓展与延伸5、7，探索与创新8 五、课后作业 感谢观看 $$