4.6 一元二次方程根与系数的关系（分层作业）数学青岛版九年级上册

4.6 一元二次方程根与系数的关系 题型一 一元二次方程根与系数的关系 1．知一元二次方程的两根为、，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 2．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（    ） A． B． C． D． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 4．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 6．一元二次方程的两根分别是、，则的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 7．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 8．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 9．已知方程的一根是，方程的另一根为 ． 10．设、是方程的两个根，则 ． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则 12．已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 13．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值 14．已知关于x 的一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 16．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 17．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，且，则 ． 18．已知：关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，求m的值． 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.6 一元二次方程根与系数的关系 题型一 一元二次方程根与系数的关系 1．知一元二次方程的两根为、，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故选：B． 2．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，直接求解即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选B． 4．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可得到p和q的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴，． 故选：B． 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考査了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 6．一元二次方程的两根分别是、，则的值是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根与系数的关系，熟练握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据题意，由根与系数的关系求出所求即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， 故选：C． 7．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2025 B．2023 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 8．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 9．已知方程的一根是，方程的另一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得． 【详解】解：设方程的另一根为， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一根为， 故答案为：． 10．设、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键． 首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解：、是方程的两个根， ， ． 故答案为：． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 则． 故答案为：． 12．已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键． 由题意得，，，由代入求出，再求出k． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，． 13．已知是方程的两个实数根，且． (1)求及a的值； (2)求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值： （1）根据根与系数的关系得到，，再由求出，则； （2）根据（1）所求，结合进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴． 14．已知关于x 的一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值． 【答案】k的值为3 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，均为所列方程的解， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴舍去， ∴k的值为3． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 16．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义，根与系数的关系即． 将代入方程得，，即，根据一元二次方程根与系数的关系得出，整理，即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 将代入方程得，，即， 原式 ． 故答案为：． 17．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入等式，得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解，需要注意根的判别式． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴舍， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．已知：关于x的方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则．据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 故无论m为何值，方程总有实数根 （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得： 19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】(1)且； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$