第12讲 锐角的三角函数（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12讲 锐角的三角函数（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•埇桥区校级月考）在中，，，，下列四个选项，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•安徽模拟）如图，中，，，，则　　． 3．（2023•望江县模拟）如图，在中，，，．求的长、和的值． 题型二．锐角三角函数的增减性 4．（2021秋•淮北月考）已知角为的内角，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2023•安徽模拟）比较大小：　　（填“”、“ ”或“” ． 6．（2022秋•庐阳区月考）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． （1）若，，，试比较、的大小； （2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 题型三．同角三角函数的关系 7．（2023秋•庐阳区期末）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 8．（2023秋•临泉县期末）如果是锐角，且，那么的值是 　　． 9．（2022秋•宿州月考）已知是锐角，，求，的值． 题型四．互余两角三角函数的关系 10．（2022秋•濉溪县校级期末）在直角中，，，，求为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•包河区校级月考）在中，，若，则　　． 12．（2023秋•界首市校级月考）如图，在中，，，． （1）求； （2）求． 题型五．特殊角的三角函数值 13．（2024•亳州一模）　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•定远县月考）在中，若，则的度数是 ． 15．（2022秋•宁国市期末）计算：． 分层练习 一、单选题 1．下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 2．右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 3．的值等于（   ） A． B． C． D． 4．若，则锐角的度数为（  ） A． B． C． D． 5．若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 6．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 7．如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（   ）． A． B． C． D． 8．若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 9．如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．计算： ． 12．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ． 13．如图所示，在中，，，点D在边BC上，且，连接AD，如果点E在线段AD上，使得线段BC是线段AD，AE的比例中项，连接CE，那么的值为 ． 14．如图，在和中，，点是线段上一动点，连接，现有以下结论： ①若，则的值为； ②若，则的值为； ③无论取何值，恒为； ④若，取线段的中点，连接，若，则当是直角三角形时，．其中正确的是 ．(填写所有正确结论的序号) 三、解答题 15．（1）计算：；     （2）解方程：． 16．计算下列各题． (1) (2) 17．如图，在中，，．    (1)尺规作图作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 18．（1）计算： （2）解方程：． 19．综合与实践： 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为的正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．    猜想与计算： (1)四边形的形状为______； (2)若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积． 20．小乐和小辉两位同学想利用所学知识测量学校国旗的宽度，测量方法及数据如下： 目的 测量国旗的宽度 工具 标杆，自制直角三角板，皮尺等 测量过程 示意图                  相关数据 ，，，，， 说明 ，，均垂直于地面，且点，，，在同一水平直线上 计算结果 21．如图MQ⊥PN于点O，点A在∠MON的角平分线上，作∠BAC＝45°，∠BAC的两边分别交OM，ON交于点C，B，交OP，OQ交于点E，D． (1)求证：OA2＝OD•OE； (2)若AC＝OD，求OC：OD的值； (3)若OB＝1，OE＝4．求tan∠CEO． 22．如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴交于点，，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过点，． ①平移抛物线，使其始终与直线有且只有一个公共点，平移后的顶点为，求证：所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 23．问题提出： （1）如图1，在中，，，点D为的中点，则的取值范围是______； 问题探究： （2）如图2，正方形的边长为5，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： （3）如图3，西安市兴庆公园的郁金香开花时间主要集中在3月中旬到4月中旬，这段时间游客可以欣赏到各种颜色的郁金香．公园里有一块如图3所示的花园，在边的中点处安装一个水泵P，，m，m，，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为50元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 锐角的三角函数（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2023秋•埇桥区校级月考）在中，，，，下列四个选项，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【解答】解：如图，，，， ， ，所以选项不符合题意； ，所以选项不符合题意； ，所以选项符合题意； ，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 2．（2024•安徽模拟）如图，中，，，，则　　． 【分析】根据勾股定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：，，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 3．（2023•望江县模拟）如图，在中，，，．求的长、和的值． 【分析】根据勾股定理求出，根据正弦、正切的定义计算，得到答案． 【解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 则， ． 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦和正切的定义是解题的关键． 题型二．锐角三角函数的增减性 4．（2021秋•淮北月考）已知角为的内角，且，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出，，利用已知三角函数值确定，进而求的范围． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（2023•安徽模拟）比较大小：　　（填“”、“ ”或“” ． 【分析】根据，即可求解． 【解答】解：，， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 也考查了不等式的传递性． 6．（2022秋•庐阳区月考）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、． （1）若，，，试比较、的大小； （2）若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明． 【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果； （2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较． 【解答】解：（1）在中， 在中， 又 ； （2）根据（1）得 ， 又 ． 【点评】此题主要考查了锐角的正弦值的变化规律：在锐角的范围内，正弦值随着角的增大而增大． 题型三．同角三角函数的关系 7．（2023秋•庐阳区期末）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可． 【解答】解：在中，，、、的对边分别为、、， 由于，不妨设，则，由勾股定理得，， 所以， 故选：． 【点评】本题考查同角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是得出正确答案的前提． 8．（2023秋•临泉县期末）如果是锐角，且，那么的值是 　　． 【分析】在△中，，，根据已知可设，则，从而利用勾股定理求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 在△中，，， ， 设，则， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．（2022秋•宿州月考）已知是锐角，，求，的值． 【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1和，即可求解． 【解答】解：，即， ， 或（舍去）， ． ， ， 故，． 【点评】本题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角，都有，． 题型四．互余两角三角函数的关系 10．（2022秋•濉溪县校级期末）在直角中，，，，求为　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在直角中，，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 11．（2023秋•包河区校级月考）在中，，若，则　　． 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【解答】解：由，若， 得， 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键． 12．（2023秋•界首市校级月考）如图，在中，，，． （1）求； （2）求． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案； （2）利用三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）在中，， ，． ， ； （2）在中，， ． 【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的关键． 题型五．特殊角的三角函数值 13．（2024•亳州一模）　　 A． B． C． D． 【分析】根据即可求解． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 14．（2023秋•定远县月考）在中，若，则的度数是． 【分析】先利用非负数的性质得到，，即，，则根据特殊角的三角函数值得到、的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【解答】解：， ，， 即，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质． 15．（2022秋•宁国市期末）计算：． 【分析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列运算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊三角形的三角函数、二次根式的加减运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】根据有理数的混合运算法则、特殊角的三角函数值、整式的加减运算分别计算即可判断． 【详解】A、，该选项错误； B、，该选项正确； C、，该选项错误； D、，该选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．右图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用计算器求锐角三角函数值 【分析】根据计算器求锐角三角函数值的步骤进行判断即可． 【详解】 解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 【点睛】本题考查了用计算器求锐角三角函数值，解题的关键在于熟练掌握计算器的应用． 3．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】根据特殊角的三角函数，进行计算即可； 【详解】解：原式 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 4．若，则锐角的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解：，为锐角， ， 故选：A． 5．若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（        ） A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60° 【答案】D 【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围 【分析】首先明确cos60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析． 【详解】解：∵cos60°=0.5，余弦函数随角增大而减小， ∵∠A为锐角， ∴∠A>60°． 故选：D． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 6．如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】首先根据勾股定理求得的长，然后利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比． 7．如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】∵∠α是等边三角形的一个内角， ∴ ∴ 故选:A. 【点睛】考查等边三角形的性质以及特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的三角形函数值是解题的关键. 8．若，则△ABC的形状是 A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形 C．直角三角形 D．含有30°的锐角三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】由，得 2cosA-=0，=0， 解得cosA=，tanB=， ∴∠A=30°，∠B=30°， ∴∠C=180°-30°-30°=120°， △ABC是顶角为120°的等腰三角形． 故选B. 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键，要熟记特殊角三角函数值． 9．如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正弦值求边长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，根据题意得出，，勾股定理求得，进而可得，最后利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵菱形周长为， ∴ ∵，， ∴，则 ∴ ∴， 故选：B． 10．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（　　）个．    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】已知正弦值求边长、二次函数图象与各项系数符号、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】令y=0，求得A点坐标，B点用字母k表示的坐标，再把抛物线的解析式化成一般形式，则可用a与k的代数式表示OC，进而根据sin∠CBA=，用a与k的代数式表示BC，在由勾股定理得出a与k的方程，求得a的值，再根据△AOC的周长为12，求得k的值，则题目中的问题便可解决． 【详解】令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0， 解得x＝﹣3或k， ∴A(﹣3,0），B(k,0）， 故①正确； ∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak， ∴C（0,﹣3ak）， ∴OC＝﹣3ak， ∵sin∠CBA＝， ∴， ∴BC＝， ∵BC2﹣OC2＝OB2， ∴45a2k2﹣9a2k2＝k2， ∴a2＝， ∵抛物线的开口向下， ∴a＝﹣， 故②正确； ∴OC＝k， ∴AC＝， ∵△AOC的周长为12， ∴3+k+＝12， 解得，k＝8， ∴B（8,0）， 故③正确； ∵A（﹣3,0），B（8,0）， ∴对称轴为：x＝， 故④正确． 综上所述①②③④都正确 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，通过函数图象可判断函数解析中系数的特征，已知函数解析式，可求得函数与坐标轴交点坐标及其坐标轴，本题还考查了锐角三角函数的应用． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】0 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、化简绝对值 【分析】由题意直接根据零次幂和去绝对值以及特殊角的三角函数，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握零次幂和去绝对值以及特殊角的三角函数的运算规则是解题的关键． 12．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】作于点D，设，则，利用勾股定理解和，利用AD长相等列等式，解出值，进而求出AD，利用正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点D， 设，则， 由勾股定理可得， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理和锐角三角函数，利用勾股定理求出AD的长度是解题的关键． 13．如图所示，在中，，，点D在边BC上，且，连接AD，如果点E在线段AD上，使得线段BC是线段AD，AE的比例中项，连接CE，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】证明，推出，设，则，，利用面积法求得，由勾股定理得，作于点F，证明，再求得，，，据此求解即可． 【详解】解：在和中，， ∵线段BC是线段AD，AE的比例中项，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 作于点F， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值，证明得到是解题的关键． 14．如图，在和中，，点是线段上一动点，连接，现有以下结论： ①若，则的值为； ②若，则的值为； ③无论取何值，恒为； ④若，取线段的中点，连接，若，则当是直角三角形时，．其中正确的是 ．(填写所有正确结论的序号) 【答案】①②③④ 【分析】①证明△ABD≌△CBE（SAS），得出AD=CE，则可得出结论； ②由锐角三角函数的定义可得出，证明△ABD∽△∠CBE，得出； ③由锐角三角函数的定义可得出，证明△ABD∽△∠CBE，得出∠BAD=∠ACB，可求出∠EAD=90°； ④证得AM=BM=2，则DE=4，设EC=x，则AD=x，AE=8-x，由勾股定理得出EC的长，则可求出AD的长． 【详解】①∵∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE 即∠CBE=∠ABD， ∵∠ACB=∠BED==45°， ∴∠ACB=∠CAB=45°，∠BED=∠BDE=45°， ∴AB=BC，DB=BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=CE， ∴，故①正确； ②∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°， ∴∠ABD=∠EBC， ∴在Rt△ABC中，tan∠ACB=， 在Rt△DBE中，tan∠BED=， ∴， 又∵∠ABD=∠EBC， ∴△ABD∽△∠CBE， ∴，故②正确； ③∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=， ∴∠ABD=∠EBC， ∴在Rt△ABC中，tan∠ACB=， 在Rt△DBE中，tan∠BED=， ∴， 又∵∠ABD=∠EBC， ∴△ABD∽△∠CBE， ∴∠BAD=∠ACB， ∵∠ACB+∠BAC=90， ∴∠BAD+∠BAC=90， ∴∠EAD=90°，故③正确； ④如图，由②知：，∠EAD=90°， ∴AD=CE， 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4， ∴AC=8，AB=4， ∵∠EAD=∠EBD=90°，且点M是DE的中点， ∴AM=BM=DE， ∵△ABM为直角三角形， ∴AM2+BM2=AB2==48， ∴AM=BM=2， ∴DE=4， 设EC=x，则AD=x，AE=8-x， Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2， ∴， 解得：(负值已舍)， ∴EC=， ∴AD=x=，故④正确． 综上，①②③④都正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键． 三、解答题 15．（1）计算：；     （2）解方程：． 【答案】（1）0 （2）x1=7，x2=-1 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、公式法解一元二次方程 【分析】（1）先求出特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则即可求解； （2）采用因式分解法即可求解． 【详解】解：（1） （2） 解：分解因式得：， ∴或， ∴方程的解为：，． 【点睛】本题考查了含三角形函数值的实数运算以及用分解因式法解一元二次方程的知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的基础． 16．计算下列各题． (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算． （1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．如图，在中，，．    (1)尺规作图作出该三角形边上的高（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）作的垂直平分线即可； （2）根据等腰三角形的知识得到，在根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：三角形边上的高，如图所示：   ； （2）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂线的尺规作图，利用三角函数值求解是关键． 18．（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、公式法解一元二次方程、负整数指数幂、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算； （2）利用公式法解一元二次方程． 【详解】解：（1） = =； （2） ，， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 19．综合与实践： 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为的正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下作等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点О处，如图2，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．    猜想与计算： (1)四边形的形状为______； (2)若该长方体包装盒的底面积为，求该长方体包装盒的体积． 【答案】(1)矩形 (2) 【知识点】已知正弦值求边长、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由题意可得，，进而可证四边形是矩形； （2）由题意可得，由四边形是矩形，可得，则，，，然后根据底面积乘高求体积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 由题意可得，， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）解：∵长方体包装盒的底面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该长方体包装盒的体积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，正弦，矩形的判定与性质是解题的关键． 20．小乐和小辉两位同学想利用所学知识测量学校国旗的宽度，测量方法及数据如下： 目的 测量国旗的宽度 工具 标杆，自制直角三角板，皮尺等 测量过程 示意图                  相关数据 ，，，，， 说明 ，，均垂直于地面，且点，，，在同一水平直线上 计算结果 【答案】 【知识点】相似三角形应用举例、已知正切值求边长 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正切的定义等知识，延长交于点，先证明求出的长度，然后证明求出的长度，即可求出． 【详解】解：延长交于点， 由题意得：，，，，， ， ， ， ， ， 解得：， 在中，， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 国旗的宽度为． 21．如图MQ⊥PN于点O，点A在∠MON的角平分线上，作∠BAC＝45°，∠BAC的两边分别交OM，ON交于点C，B，交OP，OQ交于点E，D． (1)求证：OA2＝OD•OE； (2)若AC＝OD，求OC：OD的值； (3)若OB＝1，OE＝4．求tan∠CEO． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意及角平分线得出，，利用各角之间的等量代换可得，依据相似三角形的判定和性质可得，，即可证明； （2）由（1）可得，，作交AD于E，得出，利用相似三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的判定和性质得出，，代入得出方程求解即可得出结果； （3）作BH⊥AE于H，根据题意可得，由（1）知，，利用相似三角形的判定和性质可得，，得出，由锐角三角函数求解得出，再利用勾股定理求出，依据正切函数（对边比邻边）求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵OA平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 作交AD于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； （3）解：如图所示：作BH⊥AE于H， ， 由（1）知， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ， ， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查利用角平分线进行计算，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 22．如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点，，抛物线的对称轴与轴交于点，，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过点，． ①平移抛物线，使其始终与直线有且只有一个公共点，平移后的顶点为，求证：所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①见解析；②当时，的最小值为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①联立得，利用根的判别式得到，自变量的系数与直线：的系数相同，据此即可得解； ②证明，推出，设，则，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，，点在轴的负半轴，直线是抛物线的对称轴， ，点的横坐标为1． ， ． ，， 由题意，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①，且抛物线的对称轴为直线， ． 设直线的解析式为． 直线经过，． 解得 直线的解析式为． 平移后的顶点为， 平移后的抛物线的解析式为． 由题意，得． 整理，得． 平移后的抛物线始终与直线有且只有一个公共点， ． ． 直线的解析式为， 所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行； ②直线：过点， ． ． ：． ，即． ． ， 设，则． ． ． ， 当时，的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线与直线的平移规律，相似三角形的性质和判定等知识，综合性较强．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 23．问题提出： （1）如图1，在中，，，点D为的中点，则的取值范围是______； 问题探究： （2）如图2，正方形的边长为5，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： （3）如图3，西安市兴庆公园的郁金香开花时间主要集中在3月中旬到4月中旬，这段时间游客可以欣赏到各种颜色的郁金香．公园里有一块如图3所示的花园，在边的中点处安装一个水泵P，，m，m，，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为50元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 【答案】（1）；（2）；（3）元 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）延长至点E，使，连接，可证∴，则，在中由即可求解； （2）延长至点M，使得，连接，过点F作于点H，则，同（1）得，可得A、B、M三点共线，由角平分线性质定理可设，可求，由得，求解即可； （3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H，则将四边形面积平分，则四边形是平行四边形，得到，同理：，同（1）可证：，因此， 下面推导出，则，，故在中，由勾股定理得，则，因此总费用为：（元）． 【详解】解：延长至点E，使，连接， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）延长至点M，使得，连接，过点F作于点H，则， ∵四边形是正方形， ∴， 同（1）可证：， ∴， ∴， ∴A、B、M三点共线， ∵平分，，， ∴设， ∴， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， 解得， ∴； （3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H， ∵为中点， ∴， 设直线间的距离为d， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：， 同（1）可证：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴总费用为：（元）， ∴师傅修建这条路所需的总费用为元． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键， 学科网（北京）股份有限公司 $$