第12讲 轴对称图形（9个知识点+9种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12讲 轴对称图形（9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点3．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点4．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点5．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点6．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点7．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点8．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 知识点9．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 题型强化 题型一．生活中的轴对称现象 1．（2021秋•谯城区校级月考）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为　　 A． B． C． D． 2．（和县期末）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 　　． 题型二．轴对称的性质 3．（2022秋•蚌山区期末）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是　　． 5．（2022秋•寿县校级期末）如图，设点是内一个定点，分别画点关于、的对称点、，连接交于点，交于点，若，则的周长为多少？ 题型三．轴对称图形 6．（2023秋•太和县期末）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 7．（2020秋•淮北月考）如图，和分别是的轴对称图形，对称轴分别是直线，，若，则　　． 8．（镜湖区校级期中）的三边长分别为：，，， （1）求的周长（请用含有的代数式来表示）； （2）当和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长；若不存在，请说出理由； （3）若与成轴对称图形，其中点与点是对称点，点与点是对称点，，，求的值． 题型四．镜面对称 9．（2023秋•太和县期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•谢家集区期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 　　． 题型五．作图-轴对称变换 11．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：　　； （3）请直接写出的面积：　　． 12．（2023秋•阜阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，请你画出三角形，并直接写出点，，的坐标； （2）求三角形的面积． 题型六．利用轴对称设计图案 13．（2023秋•长丰县期末）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 14．（2022秋•蜀山区期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 题型七．剪纸问题 15．（2022春•埇桥区校级期末）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是　　 A． B． C． D． 16．（蒙城县校级月考）将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成如图的是　　 A． B． C． D． 题型八．轴对称-最短路线问题 17．（2023秋•弋江区期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2021秋•安庆期末）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则　　． 19．（2022秋•颍州区校级期中）如图，中，，以为底边作等腰三角形，，过点作，垂足为，与交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，点是射线上的一点，则当点为何处时，的周长最小，并求出此时周长． 题型九．翻折变换（折叠问题） 20．（2023秋•潜山市期中）如图，在中，，，点，分别是，上的点，沿着将折叠得到．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•临泉县期末）如图，在中，，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为 　　． 22．（2023秋•蚌山区期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，． （1）则的度数为 　　； （2）若中有两个角相等，则　　． 分层练习 一、单选题 1．下列数学符号中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列标志中，是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．在锐角∠AOB的内部有一点P，作P关于角两边所在直线的对称点P1，P2，判断三角形P1OP2的形状是（     ） A．不能确定 B．一定是锐角三角形 C．一定是等腰三角形 D．一定是等边三角形 6．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（   ） A．AB=DE B．∠B=∠E C．AB//DF D．AD的连线被MN垂直平分 7．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 8．下列语句中正确的有几个(        ) ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合； ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称； ③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.； ④角平分线是角的对称轴. A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知点关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若点（－1，m）与点（n，2）关于y轴对称，则的值为 ． 12．如图，与关于直线l对称，则∠的度数为 ． 13．如图，和关于直线对称，，，则 ． 14．如图，将三角形纸片ABC沿着中线AD折叠，使点B落在点处，交BC于点E，若的面积为，的面积为，则 填““、““或“” 三、解答题 15．已知：点与点关于轴对称，请化简：，并求出该代数式的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你在图中画出关于y轴的对称图形，其中，顶点的坐标为______． (2)的面积为______． 17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、． (1)画出关于x轴对称的，直接写出、两点的坐标： _______，_______； (2)在y轴上找一点D，使得的值最小，在图中画出得到D点的痕迹，并直接写出它的坐标D_______． 18．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 19．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 20．在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    21．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上.    （1）作出关于轴对称的； （2）写出点关于轴对称的点的坐标______； （3）求的面积. 22．在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 23．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 轴对称图形（9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点3．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点4．镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点5．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点6．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 知识点7．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 知识点8．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 知识点9．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 题型强化 题型一．生活中的轴对称现象 1．（2021秋•谯城区校级月考）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则，根据、对称，则能求出的度数． 【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想． 2．（和县期末）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 　书　． 【分析】根据轴对称图形的性质，组成图形，即可解答． 【解答】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称的性质，作出图形． 题型二．轴对称的性质 3．（2022秋•蚌山区期末）如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】证明的周长，可得结论． 【解答】解：点关于、的对称点，， ，， 的周长， 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，学会用转化的思想思考问题． 4．（2022秋•宣州区期末）如图，在面积为4的等边三角形中，是边上的高，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是　2　． 【分析】根据是等边三角形的高可知，是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质及三角形全等的判定定理可求出，故阴影部分的面积等于的面积，由锐角三角函数的定义可求出的长，再由三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：是等边三角形的高， 是线段的垂直平分线，， ，，， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形底边上的高、垂直平分线及顶角的角平分线三线合一． 5．（2022秋•寿县校级期末）如图，设点是内一个定点，分别画点关于、的对称点、，连接交于点，交于点，若，则的周长为多少？ 【分析】因为点关于、的对称点、，所以：，，以此解答． 【解答】解：的周长为的长， 根据题意得：，， 的周长为：． 【点评】解答此题要明确轴对称的性质：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 题型三．轴对称图形 6．（2023秋•太和县期末）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【解答】解：、图形不是轴对称图形，不符合题意； 、图形是轴对称图形，符合题意； 、图形不是轴对称图形，不符合题意； 、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 7．（2020秋•淮北月考）如图，和分别是的轴对称图形，对称轴分别是直线，，若，则　45　． 【分析】根据轴对称的性质可得，，然后根据三角形的内角和表示出，再根据折叠的性质和周角是列式计算即可得解． 【解答】解：如图， 和分别是的轴对称图形， ，， 由三角形内角和得，， ， ， ， ， 由折叠可得， ． 故答案为：45． 【点评】本题考查轴对称的性质，根据三角形的内角和表示出的度数是解题关键． 8．（镜湖区校级期中）的三边长分别为：，，， （1）求的周长（请用含有的代数式来表示）； （2）当和3时，三角形都存在吗？若存在，求出的周长；若不存在，请说出理由； （3）若与成轴对称图形，其中点与点是对称点，点与点是对称点，，，求的值． 【分析】（1）利用三角形周长公式求解：的周长； （2）利用三角形的三边关系求解：，，，再分别代入的两个值验证三边关系是否成立即可； （3）利用轴对称图形的性质求解：，可得，，，代入值再分解因式即可． 【解答】解：（1）的周长 （2）当时，，，， ， 当时，三角形存在，周长； 当时，，，， ． 当时，三角形不存在 （3）与成轴对称图形，点与点是对称点，点与点是对称点， ，， ，即；，即、把代入，得 ． 【点评】考查了轴对称和三角形三边关系的概念和性质． 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边； 成轴对称的两个图形的性质：两个图形全等． 题型四．镜面对称 9．（2023秋•太和县期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是　　 A． B． C． D． 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【解答】解：如图所示，根据题意作对称图， 故选：． 【点评】本题主要考查轴对称的图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 10．（2023秋•谢家集区期中）一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 　数学　． 【分析】平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，因此可以把镜中呈现的图片，沿着一条竖直线翻折，看翻折后是怎样的图形． 【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与成镜面对称， 英文单词的中文意思是：数学． 故答案为：数学． 【点评】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 题型五．作图-轴对称变换 11．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形△； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：　　； （3）请直接写出的面积：　　． 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征求解； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； （3）的面积． 故答案为：4． 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 12．（2023秋•阜阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，请你画出三角形，并直接写出点，，的坐标； （2）求三角形的面积． 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质即可把三角形向下平移4个单位长度，再以轴为对称轴对称，得到三角形，进而可得点，，的坐标； （2）根据网格即可求三角形的面积． 【解答】解：（1）如图所示：三角形即为所求； 、、； （2）三角形的面积为：． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质和平移的性质． 题型六．利用轴对称设计图案 13．（2023秋•长丰县期末）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据轴对称的性质使整个图案构成轴对称图形，可得涂灰的小三角形． 【解答】解：要使整个图案构成轴对称图形，应该涂灰的小三角形是④． 故选：． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 14．（2022秋•蜀山区期末）如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的四种方案不能重复． 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 题型七．剪纸问题 15．（2022春•埇桥区校级期末）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意直接动手操作得出即可． 【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示： 故选：． 【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便． 16．（蒙城县校级月考）将下列各纸片沿虚线剪开后，能拼成如图的是　　 A． B． C． D． 【分析】动手操作，剪一剪可知，能拼成右图的是，也可以发挥空间想象力来判断． 【解答】解：动手操作，剪一剪可知，能拼成右图的是．故选：． 【点评】本题考查了空间想象的能力，对于此类问题可以多动手操作，注意观察思考． 题型八．轴对称-最短路线问题 17．（2023秋•弋江区期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】作点关于的对称点，连接，交于，作于，可得出，进一步得出结果． 【解答】解：作点关于的对称点，连接，交于，作于， ， 平分， 点在上， ， 的最小值为的长， ， ， ， 的最小值为：6， 故选． 【点评】本题考查了轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 18．（2021秋•安庆期末）如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则　80　． 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点关于、的对称点、，由，得出，继而得出，由得出得出，，进一步得出，即可得出答案． 【解答】解：如图，作点关于、的对称点、，连接、分别交、于点、，连接、，则此时的周长最小， ，， ， ， 点关于、的对称点为、， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，根据已知得出、的位置是解题的关键． 19．（2022秋•颍州区校级期中）如图，中，，以为底边作等腰三角形，，过点作，垂足为，与交于点，连接． （1）求证：． （2）若，，点是射线上的一点，则当点为何处时，的周长最小，并求出此时周长． 【分析】（1）可证垂直平分，从而可得，再证，即可求证； （2）连接、、，，最小时，的周长最小，当、、三点共线时，最小，与重合时，最小，即可求解． 【解答】（1）证明：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接、、， ， ， 最小时，的周长最小， 当、、三点共线时，最小， 与重合时，最小， 时，最小， 此时的周长最小， ， 的周长最小值为8． 【点评】本题考查了线段和最小值的典型问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线判定及性质，掌握性质及找到取最小值的条件是解题的关键． 题型九．翻折变换（折叠问题） 20．（2023秋•潜山市期中）如图，在中，，，点，分别是，上的点，沿着将折叠得到．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据可得，由翻折可得，由三角形的内角和可求得，即可求解． 【解答】解：，， ， 由翻折可得：， ，， ， ， 由翻折可得：． 故选：． 【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形的内角和定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 21．（2023秋•临泉县期末）如图，在中，，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上，，，则的长为 　9　． 【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质得出即可求解． 【解答】解：将沿折叠，点的对应点为点，若点刚好落在边上， 在中，，，，， ， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键． 22．（2023秋•蚌山区期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，． （1）则的度数为 　　； （2）若中有两个角相等，则　　． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【解答】解：（1）在中，， ， 即， 又， 故， 解得：， 故答案为：． （2），， 则， ， 根据折叠可得：，， ， ， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得，， ， 不合题意，故舍去， 当，即， 解得，， ， 不合题意舍去． 故答案为：30． 【点评】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列数学符号中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A. 选项中的符号不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B. 选项中的符号不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C. 选项中的符号不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D. 选项中的符号能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可，熟知平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．下列标志中，是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形,熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一分析即可解答． 【详解】解：对于A选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 对于B选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 对于C选项，根据轴对称图形的概念得出不是轴对称图形，不符合题意； 对于D选项，根据轴对称图形的概念得出是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 4．平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据"关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出对称点． 【详解】解：点(-4，3)关于y轴对称的点的坐标是(4，3)， 故选：B． 【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟知关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 5．在锐角∠AOB的内部有一点P，作P关于角两边所在直线的对称点P1，P2，判断三角形P1OP2的形状是（     ） A．不能确定 B．一定是锐角三角形 C．一定是等腰三角形 D．一定是等边三角形 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质，结合等腰三角形的判定求解． 【详解】如图P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2， ∴OP= OP1= OP2 ∴P1OP2的形状是等腰三角形 故选：C． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 6．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（   ） A．AB=DE B．∠B=∠E C．AB//DF D．AD的连线被MN垂直平分 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】轴对称的性质：①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线． 【详解】根据轴对称的性质可得：AB=DE，∠B=∠E，AD的连线被MN垂直平分， ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 7．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【详解】根据轴对称图形的定义：“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形”分析可知，A、B、D选项中的图形都是轴对称图形，只有C中的图形不是轴对称图形. 故选C. 8．下列语句中正确的有几个(        ) ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合； ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称； ③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.； ④角平分线是角的对称轴. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断命题真假、轴对称的性质 【详解】试题解析：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确； ②全等的两个图形能够完全重合，但不一定关于某条直线对称，故错误； ③两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还有可能在对称轴上，故错误； ④角平分线是角的对称轴所在的直线，故错误， 故选A． 9．已知点关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式组应用、已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据题意得到，解不等式组求解即可. 【详解】∵点关于x轴的对称点在第二象限， ∴点M在第三象限， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】此题考查轴对称的性质，求不等式组的解集，利用数轴表示不等式组的解集，正确理解轴对称的性质得到不等式组是解题的关键. 10．如图，将一张三角形纸片折叠，使点A落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【详解】解：如图，设交于． 由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：D 二、填空题 11．若点（－1，m）与点（n，2）关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点（－1，m）与点（n，2）关于y轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12．如图，与关于直线l对称，则∠的度数为 ． 【答案】/20度 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质求出，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 在中， ． 故答案为． 【点睛】此题考查了轴对称的性质和三角形内角和定理，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 13．如图，和关于直线对称，，，则 ． 【答案】/100度 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理，可得，再由轴对称图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和关于直线对称， ∴． 故答案为 14．如图，将三角形纸片ABC沿着中线AD折叠，使点B落在点处，交BC于点E，若的面积为，的面积为，则 填““、““或“” 【答案】= 【知识点】折叠问题 【分析】根据三角形的中线的性质得到，由折叠的性质得到，结合图形证明即可． 【详解】解：是的中线， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题 15．已知：点与点关于轴对称，请化简：，并求出该代数式的值． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、积的乘方运算、加减消元法、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查点关于轴对称的特点“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变味相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变”，解二元一次方程组，整式的化简求值的综合运用，掌握点关于轴对称的特点，解二元一次方程组，整式的混合运算法则是解题的关键． 根据点关于轴的对称的特点，解二元一次方程组的方法解求出的值，再根据整式的混合运算化简，最后代入求值即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ∴， 解得：， ∵ ， 当时，原式． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你在图中画出关于y轴的对称图形，其中，顶点的坐标为______． (2)的面积为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)9 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再根据图形得出顶点的坐标即可； （2）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，顶点的坐标为， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：9． 17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、． (1)画出关于x轴对称的，直接写出、两点的坐标： _______，_______； (2)在y轴上找一点D，使得的值最小，在图中画出得到D点的痕迹，并直接写出它的坐标D_______． 【答案】(1)图见解析，， (2)图见解析， 【知识点】求一次函数解析式、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题、轴对称图形与坐标以及一次函数等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． （1）先根据题意，画弧图形，再根据图形即可写出，两点的坐标； （2）作点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点D，点D即为所求，求出直线的函数解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：； 故答案为：，； （2）解：作点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点D，点D即为所求； ∵， ∴， 设直线的函数解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， 当时，， ∴． 故答案为：． 18．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、轴对称中的光线反射问题 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 19．如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)存在一点，使的周长最短，； (3)存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴，， 故答案为：，4； （2）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．    ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点E，使的周长最短，； （3）解：∵点P在射线上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点P的运动时间为t秒， ∴， 分两种情况：①点P在线段上，    ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴   ∴； ②点P在线段的延长线上，      ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 20．在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值． 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，， ， 两点之间线段最短 的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上.    （1）作出关于轴对称的； （2）写出点关于轴对称的点的坐标______； （3）求的面积. 【答案】（1）见解析：（2）；（3）2.5 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）先作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）作出点C1关于x轴对称的点C′，从而得出答案； （3）利用割补法求解可得． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．    （2） （3） . 【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及割补法求三角形的面积． 22．在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）若， ①如图2，当时，求x的值； ②若，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）①15°，②22.5° 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】（1）由，根据同角的余角相等，可得，由折叠的性质可知，等量代换，从而得证； （2）①根据翻折，和已知条件，求得，从而求得的值；②由①的结论可求得，，当∠DFE=∠FDE时，当解方程即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由翻折可知，，∴，∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； ②，则 ， ， 由翻折可知：， ， ， ∴当∠DFE=∠FDE时，有， 解得，． 【点睛】本题考查了折叠，轴对称的性质，平行线的判定，直角三角形中两锐角互余，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握以上知识是解题的关键． 23．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【答案】任务一：C；任务二：见解析；任务三：60；项目反思：见解析 【知识点】轴对称图形的识别、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$