检测04第二次月考（期中）（能力卷）- 2024-2025学年高一年级上学期数学月考检测（新高考人教A版专用）

检测03第二次月考（期中）（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（    ） A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有3人 C．仅参加跑步比赛的有5人 D．同时参加两项比赛的有16人 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．，或 C．，或 D． 6．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 8．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 11．（2023高一上·浙江温州·竞赛）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 . 13．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数m的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 17. (15分) （24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 19. (17分) （23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测03第二次月考（期中）（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则（    ） A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有3人 C．仅参加跑步比赛的有5人 D．同时参加两项比赛的有16人 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．，或 C．，或 D． 6．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东淄博·二模）记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 8．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 11．（2023高一上·浙江温州·竞赛）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.若 恒成立，则实数的取值可能是（    ） A．-1 B． C． D．1 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围 . 13．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 ． 14．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足：，则不等式的解集为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数m的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 17. (15分) （24-25高三上·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 18. (17分) （23-24高一上·吉林延边·阶段练习）若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 19. (17分) （23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A D C D BC AB 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】利用全称命题为真命题求出，再利用必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“，”为真命题可得恒成立， 即可得； 可推得，而推不出，即只有A符合题意； 故选：A 2．B 【分析】由不等式的性质可得. 【详解】由，得，又， 则，又由得， 故. 故选：B. 3．B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】，即，解得或， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：. 4．C 【分析】结合文氏图，利用容斥原理计算． 【详解】如图，同时参数跳远和跑步的有人， 仅参加跳远比赛的有人， 仅参加跑步比赛的有人， 同时参加两项比赛的有人， 故选：C．    5．A 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出,即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是解得 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 6．D 【分析】函数的定义域是，等价于不等式对任意恒成立，分和两种情况求出实数的取值范围即可. 【详解】因为函数的定义域是， 所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，，即，解得：， 综上，实数的取值范围是; 故选：D 7．C 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 8．D 【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解. 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 9．BC 【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误； 故选：BC. 10．AB 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值判断A，直接由基本不等式判断BC，消元后利用二次函数求最值判断D. 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 11．AC 【分析】等价于恒成立，当时，函数的解析式进行去绝对值，所以讨论和的情况，再根据函数是奇函数，得到时的解析式或图像，结合图像得到的取值范围. 【详解】因为等价于恒成立. 当时，. 若，则当时，. 因为是奇函数，所以当时，，则，则. 综上，，此时为增函数，则恒成立. 若，当时，； 当时，； 当时，. 即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数， 当时，函数的最大值为，作出函数的图像如图： 故函数的图像不能在函数的图像的上方，结合图像可得，即，求得. 综上，. 故选：AC. 【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像； （2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究. 12． 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 13．或 【分析】对方程的两个根进行分类讨论，求出不等式的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求的取值范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式解得， 则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式解得， 则不等式中的两个整数解为0和-1，有，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键. 14． 【分析】先用赋值法得到，，判断出函数为偶函数，然后利用判断单调性，最后分类讨论计算的解集即可. 【详解】因为对任意的，都有： 令，可知 令，可知 令，得 故函数为偶函数， 令 要使 则 显然函数为偶函数； 因为当时， 得 所以当时函数单调递减， 此时也单调递减 因为需要 故 因为为偶函数 所以当时，的解为 故不等式的解集为 故答案为： 【点睛】做一些抽象函数相关的习题时，我们一定需要去找抽象函数的一些性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性；然后再利用他们的关系来求解；通常还需要用赋值法得到一些函数值. 15．(1) (2) 【分析】（1）得到，根据交集概念求出答案； （2），分和两种情况，得到不等式，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故； （2）， 当时，，解得， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，分、和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17．(1) (2)在上是增函数. (3). 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. （2）在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. （3）， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 18．(1)； (2)比更远离，理由见解析 (3)比更远离，理由见解析 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【详解】（1）根据题意可得：， 所以，解得； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即；   ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 19．(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$