3.1椭圆专项测试卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度高二年级上学期选择性必修一 3.1《椭圆》专项测试卷 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) 5，3， 10，6， 5，3， 10，6， 2.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　) (0，＋∞) (0，2) (1，＋∞) (0，1) 3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) ＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) ＋＝1(x≠0) 4.直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　) 5.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点(椭圆轨道上距离火星表面最远的一点)平面机动，同时将近火点高度调整至约265 km.若此时远火点距离约为11 945 km，火星半径约为3 395 km，则调整后天问一号的运行轨迹(环火轨道曲线)的焦距约为(　　) 11 680 km 5 840 km 19 000 km 9 500 km 6.已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，P为C上一点，点A，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) 4 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.若F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是(　　) ＋＝1 ＋＝1 ＋＝1 ＋＝1 8.设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　) 当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6 当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为 存在点P，使PF1⊥PF2 |PF1|的取值范围是[1，3] 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2，则椭圆长轴长的最小值为________. 10.已知动点M(x，y)到点F(－2，0)的距离与到定直线x＝－6的距离之比为，则点M的轨迹方程为________________________. 11.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________________________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点. (1)求线段AB的中点坐标； (2)求△AOB的面积. 13.(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A. (1)求椭圆的方程； (2)在椭圆C上找一点P，使它到直线l：x＋y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离. 14.(15分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率； (2)AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程. 答案 1.答案　B解析　将椭圆方程化为标准方程得＋＝1，∴焦点在y轴上，a＝5，b＝3，c＝＝4，∴长轴长10，短轴长6，e＝. 2.答案　D解析　将椭圆化为标准形式，得＋＝1，则>2，即0<k<1. 3.答案　B解析　由|AB|＋|AC|＝20－8＝12>|BC|＝8，得点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与y轴的交点)，其中2a＝12，2c＝8，b2＝a2－c2＝20. 故顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0). 4.答案　A解析　将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，∴x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为＝. 5.答案　A解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的性质可知椭圆上的点到焦点距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，根据题意可得近火点满足a－c＝3 395＋265＝3 660，①远火点满足a＋c＝3 395＋11 945＝15 340，② 由②－①得2c＝11 680，故选A. 6.答案　D解析　由椭圆C：＋＝1，可得a＝3，c＝＝2.设F′为椭圆的右焦点，连接PF′，则|PF|＝2a－|PF′|，又点F(－2，0)，F′(2，0)， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝6－＝.当且仅当P，A，F′三点共线且点A在点P，F′之间时取等号. 7.答案　ACD解析　结合选项可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，并设椭圆与y轴正半轴的交点为B，若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2，又c2＝a2－b2， ∴a2≥2b2.故选ACD. 8.答案　ABD解析　由椭圆方程可知a＝2，b＝，从而c＝＝1.于A，根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长是6， 故A正确.对于B，设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝|F1F2|·y0＝y0.因为0<y0≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，故B正确.对于C，由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故C错误.对于D，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取得最大值，此时|PF1|＝a＋c＝3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取得最小值，此时|PF1|＝a－c＝1，所以PF1∈[1，3]，故D正确. 9.答案　4解析　由题意知，当椭圆上的点为短轴端点时，三角形面积有最大值，即bc＝2.∴a2＝b2＋c2≥2bc＝4，∴a≥2，当且仅当b＝c＝时等号成立. ∴2a≥4，即椭圆长轴长的最小值为4. 10.答案　＋＝1解析　由题意得＝，整理得＋＝1， 故点M的轨迹方程为＋＝1. 11.答案　解析　设M(x，y)，∵·＝0，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.由题意知，椭圆上的点P总在圆外，∴|OP|>c恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b，∴b>c，∴a2>2c2，∴<，∴0<e<. 12.解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意a＝3，c＝2，得b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.由得10x2＋36x＋27＝0.因为Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，故线段AB的中点坐标为. (2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，则d＝＝.又由(1)知x1x2＝， 所以|AB|＝＝＝，故S△AOB＝××＝. 13.解　(1)由题意可知2c＝2，∴c＝，a2＝b2＋c2＝b2＋2，得点A的坐标代入＋＝1，解得b2＝1，则a2＝3，故椭圆方程为＋y2＝1. (2)设与直线l：x＋y＋4＝0平行的直线x＋y＋m＝0与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得消去y并整理，得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 由其根的判别式Δ＝(6m)2－16(3m2－3)＝0，解得m＝2，m＝－2(舍). 当m＝2时，直线l与直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝. 将m＝2代入4x2＋6mx＋3m2－3＝0可解得x＝－，将x＝－代入x＋y＋2＝0可得y＝－，则点P的坐标为，此时距离的最小值为. 14. 解　由题意作出示意图，如图所示. (1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到直线的距离d＝＝.由d＝c得a＝2b，解得离心率e＝＝. (2)由(1)知椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①由题意知圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知直线AB不与x轴垂直，设其方程为 y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$