3.2双曲线专项测试卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度高二年级上学期选择性必修一 3.2《双曲线》专项测试卷 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) 22或2 7 22 2 2.若双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)，则m的值为(　　) 1或3 3.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　) x2－＝1 －y2＝1 －x2＝1 y2－＝1 4.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) (－2，2) [－2，2) (－2，2] [－2，2] 5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　) －＝1 －y2＝1 －＝1 x2－＝1 6.点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　) 4 5 6 7 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x－2y＝0，则双曲线C的标准方程可以为(　　) －y2＝1 y2－＝1 x2－＝1 －x2＝1 8.我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”，类似地，也把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”，则(　　) 曲线－＝1是“黄金双曲线” 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是“黄金双曲线”，那么b2＝ac(c为半焦距) 如果双曲线－＝1(a>0，b>0)是“黄金双曲线”，那么右焦点F到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且垂直于实轴的直线l交C于M，N两点，O为坐标原点，若∠MON＝90°，则双曲线C是“黄金双曲线” 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.双曲线－y2＝1的焦点坐标是________. 10.已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________. 11.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点均在双曲线Γ：－y2＝1(a>0)的右支上，若x1x2>y1y2恒成立，则实数a的取值范围为____________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 13.(15分)设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 14.(15分)已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a＞0). (1)若a＝，求l与C相交所得的弦长； (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围. 答案 1.A　[∵a2＝25，∴a＝5.设此点为P，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10，则|PF1|－|PF2|＝±10.由题意得|PF1|＝12，解得|PF2|＝22或2.] 2.A　[∵双曲线的焦点为(2，0)，∴c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4，∴m＝.] 3.D　[焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，故选D.] 4.A　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.] 5.D　[因为双曲线的离心率为，所以该双曲线的一条渐近线方程为y＝2x， 联立得A.又因为△AFO的面积为1，所以×c2＝1，解得c2＝5，则a2＝1，b2＝4，即双曲线C的方程为x2－＝1.] 6.D　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，② ①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，所以c2－a2＝9.又因为双曲线的离心率＝，所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.] 7.AB　[由题意知c＝，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴－＝1，∴λ＋＝5或－＋(－λ)＝5，∴λ＝4或λ＝－4.故选AB.] 8.BD　[对于A，－＝1，a2＝3，b2＝＋1，所以c2＝＋4，所以e2＝＝≠＝，故A错误；对于B，若双曲线－＝1(a>0，b>0)是“黄金双曲线”，则e＝＝，由c2＝a2＋b2，所以b2＝－a2＝a2＝ac，故B正确；对于C，双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则F(c，0)到该渐近线的距离d＝＝b，而由B可知，b2＝ac≠c2，故C错误；对于D，当x＝c时，y2＝b2＝，令M，N， 则＝，＝，所以·＝c2－＝0，则b2＝ac， 由B可知，双曲线C是“黄金双曲线”，故D正确.] 9.(±，0)　[焦点在x轴上，c2＝4＋1＝5，c＝.] 10.9　[双曲线右焦点的坐标为(4，0)，设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4， |PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.当A，P，E三点共线时，|PE|＋|PA|取得最小值，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，故|PF|＋|PA|的最小值为9.] 11.[1，＋∞)　[设点P2关于x轴的对称点P3(x2，－y2)，易知P3仍在双曲线右支上，如图.由x1x2>y1y2，得x1x2－y1y2>0，即·>0恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，则∠MON≤90°，∴其中一条渐逝线y＝x的斜率≤1，∴a≥1.故实数a的取值范围为[1，＋∞).] 12.解　(1)法一　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0). 由题意，得解得故所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，即c＝3且焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 13.解　直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，于是有＝c，即4ab＝c2，两边平方得16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2，故e2＝4，所以e＝2. 14.解　(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 于是|AB|＝·＝×＝. (2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 所以解得0＜a＜且a≠1.又双曲线的离心率e＝＝，所以e＞且e≠，即离心率e的取值范围是∪(，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$