3.3抛物线专项测试卷 -2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度高二年级上学期选择性必修一 3.3《抛物线》专项测试卷 (时间：50分钟　满分：100分) 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.抛物线y＝－x2的焦点坐标为(　　) 2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝4，|BF|＝1，则p等于(　　) 2 1 3.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) 4.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　) 5 －1 ＋1 5.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为点K，则△AKF的面积是(　　) 4 3 4 8 6.已知△ABC三个顶点都在抛物线x2＝8y上，且F为抛物线的焦点，若＝(＋)，则||＋||＋||＝(　　) 6 8 10 12 二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分) 7.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2，则p的可能取值为(　　) 1 2 3 4 8.已知O为坐标原点，点M(1，2)，P是抛物线C：y2＝2px上的一点，F为其焦点，若F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则下列说法正确的有(　　) 若|PF|＝6，则点P的横坐标为4 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 若△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的面积为9π △PMF周长的最小值为3＋ 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 9.以椭圆＋＝1的中心为顶点，且以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________. 10.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________. 11.已知A，B为抛物线x2＝4y上不同的两点，且直线AB的倾斜角为锐角，F为抛物线的焦点，若＝－2，则直线AB的斜率为________. 四、解答题(本题共3小题，共43分) 12.(13分)如图，已知抛物线C：y2＝2px过点A(1，1). (1)求抛物线C的方程. (2)过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值. 13.(15分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 14.(15分)如图，P为抛物线y＝x2上的一点，抛物线的焦点为F，PC垂直于直线y＝－，垂足为C，直线AB垂直于PF，分别交x轴、y轴于点A，B. (1)求使△PCF为等边三角形的点P的坐标. (2)是否存在点P，使P平分线段AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案 1.B　[抛物线的标准方程为x2＝－y，2p＝1，p＝，焦点在y轴负半轴，故选B.] 2.C　[由抛物线焦点弦的性质，可得＋＝，由|AF|＝4，|BF|＝1， 得＝＋1＝，解得p＝.] 3.D　[设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值.] 4.C　[点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1，0)的距离. 圆心坐标是(0，4)，圆心到抛物线焦点的距离为， 即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1.] 5.C　[∵y2＝4x，∴焦点F(1，0)，准线l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)， 将其与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍去)，故A(3，2)， ∴|AK|＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.] 6.D　[由抛物线x2＝8y得焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 由＝(＋)，得(－x1，2－y1)＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)， 则2－y1＝(y2－y1＋y3－y1)，化简得y1＋y2＋y3＝6， 所以||＋||＋||＝y1＋y2＋y3＋2×3＝6＋6＝12.] 7.BD　[因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2， 所以即代入抛物线方程可得8＝2p， 整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4.故选BD.] 8.ACD　[因为双曲线的方程为－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，则c＝＝2. 因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，所以＝2，即p＝4. 若|PF|＝6，则点P的横坐标为x0＝|PF|－＝4，A正确. 因为抛物线C的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为＝＝，B错误. 因为O(0，0)，F(2，0)，所以△POF外接圆的圆心的横坐标为1. 又因为△POF外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点F的距离， 又等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3， 所以r＝3，所以该外接圆的面积为S＝πr2＝9π，C正确. 因为△PMF的周长为C＝|PF|＋|PM|＋|MF|＝xP＋＋|PM|＋＝(xP＋|PM|)＋2＋≥xM＋2＋＝3＋，D正确.] 9.y2＝12x　[因为椭圆＋＝1的右焦点为(3，0)，所以＝3，p＝6，且抛物线开口向右，故抛物线的方程为y2＝12x.] 10.[－1，1]　[设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k<0或0<k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].] 11.　[|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，由题意知y1>y2， 所以|AF|－|BF|＝y1－y2，① |AF|＝2|BF|，② 由①②得|BF|＝y1－y2，|AF|＝2(y1－y2)，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3(y1－y2)， 由弦长公式|AB|＝|y1－y2|，得＝3， 因为直线AB的倾斜角为锐角，所以k＝.] 12.(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x. (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3， 代入抛物线方程，整理得y2－ty－t－3＝0. 因为Δ＝(t＋2)2＋8>0，所以y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3. 所以k1k2＝·＝· ＝＝＝＝－，故k1k2是定值. 13.解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－， 从而－＝，解得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2. 从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝. 14.解　(1)设点P的坐标为(m，n)，则点C的坐标为，|PC|＝＋n. 由抛物线的定义知|PC|＝|PF|. 因为|CF|＝，且△PCF为等边三角形，所以n＋＝， 又n＝m2，所以m＝±，n＝，所以点P的坐标为. (2)设点P的坐标为(m，n)，假设存在点P使|PA|＝|PB|，连接AF. 易知点A的坐标为(2m，0)，点B的坐标为(0，2n)，F. 又PF⊥AB，所以|AF|＝|BF|， 即＝，又n＝m2，所以m＝±，n＝. 所以存在满足条件的点P，且点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$