九年级数学上学期期中测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21-23章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 5．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，，，中， ，则边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 7．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9．在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为 ． 10．写出方程的解 ． 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    12．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 13．若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 14．如题图，已知正方形的边长为2，为的中点，，求阴影部分的面积 三、解答题：本题共10小题，共78分. 15．计算： (1)； (2)． 16．解方程： (1)； (2)． 17．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 18．如图，．    (1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20．某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？ 21．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点，，都是格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，完成画图． (1)在图（1）中，若点是格点，先将点绕点旋转得到点，画点，再画点关于的对称点； (2)在图（2）中，若点是网格线上的点，先画的中点，再在上画点，使． 22．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，化简______． (2)化简 (3)若，求的值． 23．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连结，以为邻边作．点P的运动时间为t秒． (1)①的长为________； ②的长用含t的代数式表示为________． (2)当为矩形时，求t的值； (3)连结，当与的边平行时，t的值为________． (4)取的中点E，当点E到两边距离相等时，直接写出t的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第21-23章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 1．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ，解得． 故选：A． 2．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积对各个选项进行化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.由可得，故不符合题意； B.由可得，故不符合题意； C.由可得，故符合题意； D.由可得，故不符合题意； 故选：C． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，若被开方数是3，则与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 4．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C选项无法判定和相似，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 5．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 6．如图，，，中， ，则边的长是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．3cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．本题证明，再由性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设每组邀请个球队参加比赛，根据等量关系“计划分为4组，每组安排28场比赛”列方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选:D． 8．如图，在矩形中，的平分线与交干E，点F在的延长线上，，连接与交于G．有以下结论：①；②；③；④若，，则．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①只要证明为等腰直角三角形即可；②利用证明即可；③由，可证明，则，即；④由，可得，即可证明，则，进一步求得，和即可． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴，， ∵平分，为直角， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则，故①正确； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴ 在和中，，，， ∴ ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 则，故④正确， 综上，正确的是有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9．在比例尺为的地图上，相距的两地的实际距离为 ． 【答案】75 【分析】本题考查比例尺，比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：． ∴两地A、B的实际距离为， 故答案为：75． 10．写出方程的解 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法即可求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故答案为：，． 11．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查相似多边形的知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，根据题意，相似比为，则，即可． 【详解】∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示，则= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，先根据数轴推出，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程变形为，结合题意得出或，求解即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，， ∴方程变形为，即此方程中或， 解得：，， 故答案为：，． 14．如题图，已知正方形的边长为2，为的中点，，求阴影部分的面积 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积公式，设交于，交于，连接，，证明得出，结合，得出，同理可得，再求出，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于，交于，连接，， ，四边形是正方形，且边长为2， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共78分. 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 17．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点为所作； （2）解：如图2，为所作． 18．如图，．    (1)在上方求作求作一点E，连接使得（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键． （1）尺规作的角平分线，以A为圆心，以长为半径画弧，与角平分线的交点E即为所求； （2）连接，由，，得，再证明，结合勾股定理的逆定理，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴， 由作图可知，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵，由（1）可知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，    由（1）知， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵,， ∴ ， ∴． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：，， ， ， 解得． 20．某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件． (1)求平均每次降价盈利减少的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？ 【答案】(1) (2)商场每天要盈利元，每件应再降价元． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过； （2）设每件应再降价a元，根据商场每天要盈利元列方程，解方程后再根据尽快减少库存确定答案即可． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意可得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分率是； （2）解：设每件应再降价a元， 由题意可得：， 解得， 为扩大销售量，尽快减少库存，应该降价元， 答：商场每天要盈利元，每件应再降价元． 21．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点，，都是格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，完成画图． (1)在图（1）中，若点是格点，先将点绕点旋转得到点，画点，再画点关于的对称点； (2)在图（2）中，若点是网格线上的点，先画的中点，再在上画点，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题主要考查了作图，包括旋转变换、轴对称等知识，利用对称性和构造直角三角形是解题的关键． （1）由旋转变换和线段垂直平分线的性质画图； （2）由三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，点，点即为所求： 延长，再根据点所在格点的位置即可得出点； 取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，点即为所求． （2） 由三角形中位线的性质可知点的位置如图； 连接，取中点，连接，根据格点高度比即可取点，连接构造平行四边形，交于点，连接，点即为所求． 22．阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以． 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，化简______． (2)化简 (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)2023 (3)7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类、平方差公式等知识点，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的定义即可解答； （2）先进行分母有理化，然后运用二次根式的混合运算法则进行计算即可； （3）先分母有理化，再根据阅读材料和二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ． 故答案为：，． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③； (2)①证明见解析；②存在，的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； （2）解：①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 24．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连结，以为邻边作．点P的运动时间为t秒． (1)①的长为________； ②的长用含t的代数式表示为________． (2)当为矩形时，求t的值； (3)连结，当与的边平行时，t的值为________． (4)取的中点E，当点E到两边距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)①25；② (2) (3)或 (4) 【分析】（1）①直接由勾股定理求解；②证明，得，即，求解即可； （2）证明，得，即，求解即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （4）分两种情况：①若点E到两边的距离相等，若点E到两边的距离相等，分别求解即可． 【详解】（1）解：①在中，，，， ∴； 故答案为∶25 ②根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故答案为：； （2）解：根据题意得：，，则， ∵为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； （3）解：根据题意得：，， ∴， 如图，当时，延长交于点D，此时，则， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，当时，设的延长线交的延长线于点D，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：； 终上所述，t的值为或； （4）解：分两种情况：①若点E到两边的距离相等，连接，延长交于点K，分别过点E，K作于F，于H，延长交于D，如图， ∵点E到两边的距离相等， ∴点E在的平分线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∵，， ∴ ∴，即 ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵点E为中点， ∴ ∴ ∴， ∴是梯形的中位线， ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴； ②若点E到两边的距离相等，此情况不存在， 综上，当点E到两边距离相等时， t的值为． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，梯形的中位线性质，平行线分线段成比例等知识．分类讨论是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$