4.1 整式【七大题型过关练】同步重难点题型分类专练 2024-2025学年人教版（2024)数学七年级上册

4.1. 整式（七大题型过关练） 【知识考点 整式】 【解题必备知识】 1.单项式的定义 数与字母的积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：（1）单项式是积的表示形式，不能含有加减运算；（2）单项式的分母中不能含有字母。 2.单项式的系数和次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．数字1与字母相乘时系数1通常省略不写。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0. 3.多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 4.多项式的项、常数项及次数的概念 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 5.整式的定义 单项式与多项式统称为整式． 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 单项式的辨别 【题型2】 单项式的系数和次数 【题型3】 多项式的辨别 【题型4】 多项式的项、常数项和次数 【题型5】 多项式按某个字母的升（降）幂排列 【题型6】 整式的辨别 【题型7】 整式中的有关规律性问题 【题型1】 单项式的辨别 【例1】（2023-2024七年级·广东肇庆·期中）下列代数式：①； ②m； ③；④； ⑤； ⑥； ⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【变式1-1】（2023-2024七年级上·云南文山·阶段练习）在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式1-2】（2023-2024七年级·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023-2024七年级上·新疆喀什·期末）下列式子中，（   ）是单项式． A． B． C． D． 【变式1-4】（2023-2024七年级·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（ ） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【变式1-5】（2023-2024七年级·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【变式1-6】（2023-2024七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（   ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 【题型2】 单项式的系数和次数 【例2】（2023-2024七年级·山东青岛·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式2-1】（2023-2024七年级上·四川内江·期末）单项式的系数是 ， 次数是 ； 【变式2-2】（2023-2024七年级上·上海·阶段练习）下列各式是5次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023-2024七年级·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式2-4】（2023-2024七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【变式2-5】（2023-2024七年级上·四川成都·期中）已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【变式2-6】（2024-2025七年级·全国·假期作业） （1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【题型3】 多项式的辨别 【例3】（2023-2024七年级·内蒙古包头·期末）下列式子：，其中是多项式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-1】（2023-2024七年级·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023-2024七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（2023-2024七年级上·广东惠州·期中）下列式子中不是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【变式3-5】（2023-2024七年级·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【变式3-6】（2023-2024七年级·全国·课后作业）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ． （填序号） 【题型4】 多项式的项、常数项和次数 【例4】（2023-2024七年级·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．多项式是五次三项式 B．多项式的常数项是 C．多项式的次数是2 D．单项式的系数为2 【变式4-1】（2023-2024七年级上·湖北荆州·期末）对于多项式，下列说法错误的是（   ） A．它是二次三项式 B．各项分别是，， C．最高次项的系数是7 D．常数项是 【变式4-2】（2023-2024七年级上·上海·单元测试）多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·四川达州·期末）若是关于x的 五次四项式，则 ． 【变式4-4】（2023-2024七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【变式4-5】（2023-2024七年级·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【变式4-6】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）当，时，关于、的二次三项式的值为，那么当，时，式子 的值为 ． 【题型5】 多项式按某个字母的升（降）幂排列 【例5】（2023-2024七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的_____次_____项式；是关于字母x的______次______项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【变式5-1】（2023-2024七年级·上海青浦·期中）将多项式按字母的升幂排列得 ． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023-2024七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（   ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【变式5-4】（2023-2024七年级·陕西渭南·期中）把按字母的升幂排列后，其中的第二项是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2023-2024七年级·河南周口·期中）多项式 是 次 项式，并将这个多项式按的降幂排列 ． 【变式5-6】（2023-2024七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式是六次五项式． （1）m的值是______，该多项式的常数项是______； （2）将此多项式按x的降幂排列． 【题型6】 整式的辨别 【例6】（2023-2024七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{ …}； 多项式：{ …} 整式：{ …}． 【变式6-1】（2023-2024七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】（2023-2024七年级·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 【变式6-3】（2023-2024七年级·辽宁丹东·期中）下列说法中，正确的有（   ） ①系数是； ②的次数是； ③和都是整式； ④多项式是三次四项式． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-4】（2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：，其中单项式有 ； 整式有 ． 【变式6-5】（2023-2024七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． （1）单项式：_______ ； （2）多项式：_______ ； （3）整式：_______ ； （4）二项式：_______ ． 【变式6-6】（2023-2024七年级·湖北黄石·期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥y； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； ⑪； ⑫； ⑬ 单项式_______________ ； 多项式_______________ ； 整式_______________ 【题型7】 整式中的有关规律性问题 【例7】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， （1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； （2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【变式7-1】（2023-2024七年级上·广东汕头·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【变式7-2】（2023-2024七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【变式7-3】（2024-2025七年级·河南周口·开学考试）用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 【变式7-4】（2023-2024七年级·重庆九龙坡·期末）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十二边形需要黑色棋子的个数是（   ） A．80 B．90 C．100 D．120 【变式7-5】（2023-2024七年级·广东汕头·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．    【变式7-6】（2023-2024七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【中考真题提前练】 1.（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ， ． 2.（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 3．（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．    4．（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 5.（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 6．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 7．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 8.（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1. 整式（七大题型过关练） 【知识考点 整式】 【解题必备知识】 1.单项式的定义 数与字母的积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 注意：（1）单项式是积的表示形式，不能含有加减运算；（2）单项式的分母中不能含有字母。 2.单项式的系数和次数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．数字1与字母相乘时系数1通常省略不写。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．对于一个非零的数，规定它的次数为0. 3.多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式。 4.多项式的项、常数项及次数的概念 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 5.整式的定义 单项式与多项式统称为整式． 【重难点题型过关练】 【题型梳理】 【题型1】 单项式的辨别 【题型2】 单项式的系数和次数 【题型3】 多项式的辨别 【题型4】 多项式的项、常数项和次数 【题型5】 多项式按某个字母的升（降）幂排列 【题型6】 整式的辨别 【题型7】 整式中的有关规律性问题 【题型1】 单项式的辨别 【例1】（2023-2024七年级·广东肇庆·期中）下列代数式：①； ②m； ③；④； ⑤； ⑥； ⑦，其中是单项式的是 （只填序号）． 【答案】①②③⑦ 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【解答】解：单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 则是单项式的是①；②m；③；⑦， 故答案为：①②③⑦． 【点评】本题考查了单项式的定义，熟记定义是解题关键． 【变式1-1】（2023-2024七年级上·云南文山·阶段练习）在式子， ，0.5 ，，，中，单项式的个数是（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，进而得出答案． 【解答】解：代数式， ，0.5 ，，，中，0.5，，是单项式，故单项式的个数有3个． 故选：B． 【变式1-2】（2023-2024七年级·内蒙古乌兰察布·期中）下列各式中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义，解答本题的关键是要要明确单项式的概念：数字与字母的积称为单项式．根据单项式的定义，对四个选项逐一进行分析． 【解答】解： A、不是单项式，选项错误，不符合题意； B、符合单项式的定义，选项正确，符合题意； C、分母中含有字母，不是单项式，选项错误，不符合题意； D、是几个单项式的和，不是单项式，选项错误，不符合题意． 故选：B 【变式1-3】（2023-2024七年级上·新疆喀什·期末）下列式子中，（   ）是单项式． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的定义（由数或字母的积组成的整式：字母和数字的乘积的形式，单独的字母也是单项式）对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案．此题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决问题的关键． 【解答】解：A、是单项式，故选项A符合题意； B、不是整式，不是单项式，故选项B不符合题意； C、是多项式，不是单项式，故选项C不符合题意； D、不是整式，不是单项式，故选项D不符合题意； 故选：A 【变式1-4】（2023-2024七年级·广东东莞·期中）下列代数式中，全是单项式的一组是（ ） A．，，a B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，分别分析各代数式，即可求得答案．此题考查了单项式的定义．注意准确理解定义是解此题的关键． 【解答】解：A、，，中，是多项式；故错误； B、，，全是单项式，故正确； C、，，中，是分式，故错误； D、，，中，是多项式，故错误． 故选：B． 【变式1-5】（2023-2024七年级·江西上饶·期中）下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【解答】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 【变式1-6】（2023-2024七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（   ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，单项式的判断．根据具体情境，正确的列出代数式，根据单项式的定义：“数字与字母的积的形式”，进行判断即可． 【解答】解：A、由题意，列出代数式为：，是多项式，不符合题意； B、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； C、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； D、由题意，列出代数式为：，是单项式，符合题意； 故选D． 【题型2】 单项式的系数和次数 【例2】（2023-2024七年级·山东青岛·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查单项式的系数、次数，解答的关键是熟知单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数，注意是一个常数． 根据单项式系数和次数定义解答即可． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故答案为：，3． 【变式2-1】（2023-2024七年级上·四川内江·期末）单项式的系数是 ， 次数是 ； 【答案】 六/6 【分析】考查单项式的系数以及次数，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和就是单项式的次数．根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和 ∴此单项式的系数是，次数是六． 故答案为：；六． 【变式2-2】（2023-2024七年级上·上海·阶段练习）下列各式是5次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的次数的定义：单项式中所有字母指数的和为单项式的次数．利用单项式中所有字母指数的和为单项式的次数逐一判断即可． 【解答】解：A、单项式的次数是次，本选项不符合题意； B、单项式的次数是次，本选项符合题意； C、单项式的次数是次，本选项不符合题意； D、是多项式不是单项式，其次数是3次，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（2023-2024七年级·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【解答】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 【变式2-4】（2023-2024七年级上·全国·专题练习）已知单项式与的次数相同． (1)求的值； (2)求当，时单项式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于的方程，解方程即可求得的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把，的值代入即可求解． 【解答】（1）∵单项式与的次数相同， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 则当，时， 原式． 【点评】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得的值是关键． 【变式2-5】（2023-2024七年级上·四川成都·期中）已知是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据“单项式的次数是所有字母的指数和”即可解答． 【解答】解：∵是关于x，y的五次单项式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-6】（2024-2025七年级·全国·假期作业） （1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【解答】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【题型3】 多项式的辨别 【例3】（2023-2024七年级·内蒙古包头·期末）下列式子：，其中是多项式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式即几个单项式的和，根据定义判断即可． 【解答】根据题意，是多项式的是，共2个， 故选A． 【变式3-1】（2023-2024七年级·河北廊坊·期末）下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题． 【解答】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（2023-2024七年级上·江苏苏州·期末）下列式子，，，中，多项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据多项式的定义，逐一判断，即可求解，本题考查了多项式的定义，解题的关键是：熟练掌握多项式定义． 【解答】解：是单项式，是多项式，是分式，是多项式， 其中多项式有2个， 故选：． 【变式3-3】（2023-2024七年级上·广东惠州·期中）下列式子中不是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，单项式是指字母和数字之积，几个单项式的和叫做多项式，由此进行判断即可． 【解答】解：A、是多项式，故此选项不符合题意； B、是单项式不是多项式，故此选项符合题意； C、是多项式，故此选项不符合题意； D、是多项式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-4】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）在下列式子中： 、、2、、、，多项式有 个 【答案】3 【分析】此题主要考查了多项式．熟练掌握多项式定义是解题关键． 根据几个单项式的和叫做多项式进行分析判断即可． 【解答】解：、、2、、、中， 多项式有、、，共3个． 故答案为：3． 【变式3-5】（2023-2024七年级·上海嘉定·阶段练习）在代数式，下列结论正确的是（   ） A．有个多项式，个单项式 B．有个多项式，个单项式 C．有个多项式，个单项式 D．有个多项式，个单项式 【答案】A 【分析】根据多项式和单项式概念，逐个分析判断即可．本题考查了多项式和单项式的概念，看清两个分式是关键． 【解答】解：在代数式中， 多项式有：，，共计个， 单项式有：，，，共计个， 故选：A． 【变式3-6】（2023-2024七年级·全国·课后作业）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是单项式的有 ，是多项式的有 ． （填序号） 【答案】 ①②⑥； ③④⑦；． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式． 【解答】解：单项式有：，， 多项式有：，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②⑥；③④⑦． 【点评】本题考查单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断． 【题型4】 多项式的项、常数项和次数 【例4】（2023-2024七年级·福建福州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．多项式是五次三项式 B．多项式的常数项是 C．多项式的次数是2 D．单项式的系数为2 【答案】B 【分析】本题考查了单项式以及多项式的相关定义，熟记相关定义是解本题的关键．单项式中的数字因数即为单项式的系数；单项式中所有字母的指数和即为单项式的次数；多项式中每个单项式即为多项式的项，多项式中次数最高的单项式的次数即为多项式的次数．据此解答即可． 【解答】解：A. 多项式是三次三项式，故本选项说法错误，不符合题意； B. 多项式的常数项是，本选项说法正确，符合题意； C. 多项式的次数是3，故本选项说法错误，不符合题意； D. 单项式的系数为，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】（2023-2024七年级上·湖北荆州·期末）对于多项式，下列说法错误的是（   ） A．它是二次三项式 B．各项分别是，， C．最高次项的系数是7 D．常数项是 【答案】B 【分析】本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念即可求出答案． 【解答】解：A、它是二次三项式，正确，故A不符合题意； B、各项分别是，，，错误，故B符合题意； C、最高次项的系数是7，正确，故B不符合题意； D、常数项是，正确，故D不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（2023-2024七年级上·上海·单元测试）多项式是 次 项式，其中最高次项的系数是 ． 【答案】 六 五 【分析】本题考查多项式的次数，项数和系数．熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据多项式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，进行作答即可． 【解答】解：根据题意可得多项式一共有五项，其中：、、的次数均是，的次数是，是常数项， ∴多项式最高次项六，最高次项的系数是， 故答案为：六，五，． 【变式4-3】（2023-2024七年级上·四川达州·期末）若是关于x的 五次四项式，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的项、次数的定义．由于是关于的五次四项式，则需满足，，代入即可得的值． 【解答】解：多项式是关于的五次四项式， ，， ． 故答案为：． 【变式4-4】（2023-2024七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-5】（2023-2024七年级·山东济宁·期中）已知关于x的多项式不含项和项，则当时，这个多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零”是解题的关键． 【解答】解：多项式不含项和项， ， 解得：， 原多项式为， 当时， 原式 ； 故答案：． 【变式4-6】（2023-2024七年级上·江苏无锡·期中）当，时，关于、的二次三项式的值为，那么当，时，式子 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据二次三项式的次数和项数的定义，确定值，再把代回二次三项式中得到等式，再把x和y值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果． 【解答】解：∵二次三项式 ∴，， 解得：， 则二次三项式为， 当，时，， 即 ∴ 当，时，， 故答案为：． 【题型5】 多项式按某个字母的升（降）幂排列 【例5】（2023-2024七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的_____次_____项式；是关于字母x的______次______项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【解答】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 【变式5-1】（2023-2024七年级·上海青浦·期中）将多项式按字母的升幂排列得 ． 【答案】 【分析】按照字母m的指数从小到大的顺序排列重新排列即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按m还是n的降幂或升幂排列． 【变式5-2】（2023-2024七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【解答】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 【变式5-3】（2023-2024七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（   ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式5-4】（2023-2024七年级·陕西渭南·期中）把按字母的升幂排列后，其中的第二项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【解答】解：∵多项式按字母的升幂排列为：， ∴其中的第二项是． 故选：A． 【变式5-5】（2023-2024七年级·河南周口·期中）多项式 是 次 项式，并将这个多项式按的降幂排列 ． 【答案】 五 五 【分析】此题考查了多项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握多项式次数及项数的判断方法．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，再由y的幂，按照降幂排列即可． 【解答】解：多项式最高次项是，最高次数是5次，有5个单项式组成， 故此多项式是五次五项式； 按y的降幂排列为：． 故答案为：五；五；． 【变式5-6】（2023-2024七年级上·吉林松原·期中）已知关于x、y的多项式是六次五项式． （1）m的值是______，该多项式的常数项是______； （2）将此多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列， （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按x降幂排列即可． 【解答】解：（1）∵多项式是六次五项式， ∴，解得，且多项式的常数项是； （2）根据（1）得多项式为， ∴按x的降幂排列为． 【题型6】 整式的辨别 【例6】（2023-2024七年级上·全国·课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内： ． 单项式：{ …}； 多项式：{ …} 整式：{ …}． 【答案】单项式：；多项式：；整式： 【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【解答】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 【点评】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义． 【变式6-1】（2023-2024七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【解答】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 【变式6-2】（2023-2024七年级·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】直接利用整式的定义分析得出答案． 【解答】解：在式子，0，，，中，整式有：，0，，，共4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键． 【变式6-3】（2023-2024七年级·辽宁丹东·期中）下列说法中，正确的有（   ） ①系数是； ②的次数是； ③和都是整式； ④多项式是三次四项式． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查单项式、多项式、整式，解题的关键是掌握：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式通常说成几次几项式；单项式和多项式统称为整式．据此判断即可． 【解答】解：①系数是，说法正确； ②的次数是，原说法不正确； ③和都是整式，说法正确； ④多项式是三次四项式，说法正确， ∴正确的有个． 故选：C． 【变式6-4】（2024七年级上·上海·专题练习）下列式子：，其中单项式有 ； 整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【解答】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 【变式6-5】（2023-2024七年级上·江苏·周测）把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． （1）单项式：_______ ； （2）多项式：_______ ； （3）整式：_______ ； （4）二项式：_______ ． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【解答】解：（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点评】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 【变式6-6】（2023-2024七年级·湖北黄石·期中）把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥y； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩； ⑪； ⑫； ⑬ 单项式_______________ ； 多项式_______________ ； 整式_______________ 【答案】②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬ 【分析】根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；整式的定义：单项式和多项式统称为整式；解答即可． 【解答】解：单项式有：②，③，⑥，⑫，⑬； 多项式有：①，⑧，⑨，⑩； 整式有：①；②；③；⑥；⑧；⑨；⑩；⑫；⑬； 故答案为：②③⑥⑫⑬；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩⑫⑬． 【点评】本题主要考查的是整式，熟练掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 【题型7】 整式中的有关规律性问题 【例7】（2024-2025七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， （1）直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； （2）第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 【变式7-1】（2023-2024七年级上·广东汕头·期中）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律题，结合题意确定单项式变化规律是解题关键．由题意可知，奇数个数的系数为负，偶数个数的系数为正，系数的绝对值分别为序数的平方，次数为序数加1，即可求解． 【解答】解：根据题意，，，，，，…， 则第个单项式是． 故答案为：． 【变式7-2】（2023-2024七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 【变式7-3】（2024-2025七年级·河南周口·开学考试）用小棒按照如下方式摆图形． 摆第8个图形需要( )根小棒，摆第个图形需要( )根小棒． 【答案】 57 / 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．根据题意确定图形变化规律，即可确定摆第8个图形和摆第个图形所需要的小棒根数． 【解答】解：根据题意， 摆第1个图形需要根小棒， 摆第2个图形需要根小棒， 摆第3个图形需要根小棒， …… 则摆第8个图形需要根小棒， 所以，摆第个图形需要根小棒． 故答案为：57；． 【变式7-4】（2023-2024七年级·重庆九龙坡·期末）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，正十二边形需要黑色棋子的个数是（   ） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】此题主要考查了图形的变化类，根据多边形的周长的方法进行计算，注意每个顶点的重复．结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是；第2个图形中黑色棋子的个数是；以此类推即可求解． 【解答】解：第1个图形中黑色棋子的个数是； 第2个图形中黑色棋子的个数是； 第3个图形中黑色棋子的个数是； 第4个图形中黑色棋子的个数是； 第n个图形中黑色棋子的个数是； 正十二边形需要黑色棋子的个数是：（个）． 故选：D． 【变式7-5】（2023-2024七年级·广东汕头·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2023个图案有多少个三角形 ．    【答案】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2023个图案中三角形的个数． 【解答】解：第①个图案有4个三角形，即 第②个图案有7个三角形，即 第③个图案有10个三角形，即 第个图案三角形个数为， 所以第2023个图案有三角形的个数为 故答案为：． 【变式7-6】（2023-2024七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)10，13，16 (2) (3)6070 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数 （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为． （3）将代入求解即可． 【解答】（1）第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下； 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2023个图形需要的火柴棒根数为6070根． 【中考真题提前练】 1.（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则 ， ． 【答案】 【分析】由题意推导可得an=，即可求解． 【解答】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=， ∵， ∴2+=7， ∴a4=， ∵， ∴a5=， 同理可求a6=， ∴an=， ∴a2022=， 故答案为：，． 【点评】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 2.（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系： ，4，，16，，64，……① 0，7，，21，，71，……② 根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ． 【答案】 1024 【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可. 【解答】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为； 第二行数的规律为， ∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为， ∴， 故答案为：1024；． 【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型. 3．（2023·湖北十堰·中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 （用含n的式子表示）．    【答案】/ 【分析】当时，有个三角形；当时，有个三角形；当时，有个三角形；第n个图案有个三角形，每个三角形用三根计算即可． 【解答】解：当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 当时，有个三角形； 第n个图案有个三角形， 每个三角形用三根， 故第n个图案需要火柴棍的根数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减的数字规律问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 4．（2023·四川德阳·统考中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【答案】39 【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【解答】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 16 7 4 ∴， 故答案为：39 【点评】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键． 5.（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（   ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【解答】解：第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 6．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】单项式的次数是：， 故答案为：． 7．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【解答】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 8.（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【解答】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 学科网（北京）股份有限公司 $$