专题训练2-2：分段函数及其应用-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

分段函数及其应用的题型专练 题型一：分段函数求值 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 2．设函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案. 【详解】易知， 所以，即可得. 故选：A 3．已知函数则 . 【答案】3 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】，， 故答案为：3 4．设函数，则 . 【答案】20 【分析】根据自变量范围选择对应解析式依次求解即可. 【详解】解：∵函数， ， . 故答案为：20. 5．已知，则 . 【答案】1 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 6．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 【答案】1 【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）． 【详解】由题意， 故答案为：1. 题型二：分段函数求参 7．设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得. 【详解】因为，又， 所以或， 解得或. 故选：C 8．已知，若，则实数为（    ） A．或2 B．2或 C．或 D．2 【答案】D 【分析】分情况讨论，求的值. 【详解】若，，解得； 若，，舍去. 故选：D 9．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 10．已知函数，若，则x的可能取值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】AD 【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可. 【详解】当时，,解得； 当时，，解得； 综上，或． 故选：AD． 11．已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 12．已知函数若，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】由， 故答案为： 13．已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数对应关系代入求解即可； （2）令，讨论的范围解方程求解得答案. 【详解】（1）因为，且，所以. 因为，所以. （2）依题意，令， 若，则，解得， 与矛盾，舍去； 若，则，解得， 故，解得，所以实数的值为； 综上所述：的值为. 题型三：分段函数解不等式 14．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 15．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解. 【详解】因为， 令，则可化为， 当时，，即，解得（负值舍去），即， 当时，，即， 而，故上述不等式无解； 综上，， 若，则，解得（负值舍去）； 若，则，解得（舍去）； 综上：. 故选：A. 16．设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 17．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数，分类讨论，由已知列出方程，求解即可求出的值，代入函数即可得出答案. 【详解】当，即时， 则由可得，，无解； 当，且，即时， 由可得，，所以， 整理可得，，解得（舍去）或； 当，即时， 由可得，，无解. 综上所述，. 所以，. 故答案为：. 18．已知，求的的取值范围 . 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 19．设函数，则 ；若，则的取值范围是 【答案】 【分析】将代入相应段解析式求解即可得；对于求，按的值分和两种情况求解即可. 【详解】由题， 若，则或， 解得或， 若，则的取值范围是. 故答案为：； 20．已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】按照分段函数解析式，分和两种情况分别代入解析式解不等式即可得解. 【详解】当时，， 所以； 当时，， 解得， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 21．设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 22．已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 题型四：分段函数求值域或值域求参数范围 23．设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 24．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值. 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 25．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 26．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 27．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合，由题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象，    由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 28．若函数无最大值，则实数a的取值范围 . 【答案】 【分析】 分类讨论a的取值范围，脱掉绝对值符号，结合函数的单调性以及无最大值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知当时，， 当时，在上，， 此时在上单调递增，且， 故时，有最大值，不合题意； 当时，在时，，在上单调递减， 在时，，在上单调递增， 此时要使得函数无最大值，需满足且， 即，解得，结合，则； 当时，在上，，在上单调递减， 此时要使得函数无最大值，需满足， 即，即，结合，可得， 综合以上，实数a的取值范围为， 故答案为： 29．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，，，则有，分类讨论此时函数的值域即可. 【详解】函数的值域为， 当时，，， 则有， 时，，不合题意， 由二次函数的性质可知，时不合题意， 故，又由，故时，， 解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 30．设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合二次函数的性质与基本不等式可得最小值； （2）对a进行分类讨论，结合（1）的结论可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，由二次函数的性质可知； 当时，，当且仅当时等号成立，即最小值为2， 因为，所以的最小值为； （2）①当时， 当，由二次函数的性质可知： ，不满足是的最小值，故舍去； ②当时， 当时，由二次函数的性质可知：， 由（1）知当时，的最小值为，若是的最小值， 则，解得. 故答案为：；. 题型五：分段函数图像及应用 31．记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】    如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 32．对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】A 【分析】先依次解出不等式、和的解，进而得函数的解析式，再通过研究函数单调性即可得解. 【详解】因为；；， 所以可得， 又将代入得；将代入得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 将代入得，将代入得， 所以函数在处取得最大值为，无最小值. 故选：A. 33．定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意画出函数 的图象，再根据图象即可得到函数 的最小值. 【详解】分别画出 的图象，则函数 的图象为图中实线部分. 由图知：函数 的最低点为 由 ，解得 . 所以 的最小值为 . 故答案为：. 34．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的定义域为R D．的值域为 【答案】D 【分析】由已知结合分段函数的性质分别检验各选项即可判断. 【详解】因为函数，所以，故选项A错误； 若，则或，解得或，故选项B错误； 根据分段函数的定义知，函数的定义域为，故选项C错误； 当时，；当时，； 所以分段函数的性质得，函数的值域为，故选项D正确. 故选：D. 35．已知函数，，构造函数，那么函数 A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．有最大值3，最小值1 【答案】C 【分析】根据函数的定义令，可得函数的解析式，作函数的图象即可求解. 【详解】由得，； 故，故可作的图象如下， 通过图象观察可得有最大值1，没有最小值，故选C． 【点睛】本题考查了函数的图象的应用，准确得到函数的解析式作出函数的图象是解题的关键，属于中档题． 题型六：分段函数的综合应用 36．已知函数，下列关于函数的结论正确的是（   ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】根据分段函数的定义域判断A，分段研究函数的单调性，利用单调性求解值域判断BD，先求，再求判断C. 【详解】函数函数的定义域为，故A错误； 当时，单调递增，则， 当时，，所以函数的值域为， 故在上单调递增，则选项BD正确； 又，所以，故选项C错误. 故选：BD 37．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【分析】根据分段函数的定义域、值域、不等式等知识求得正确答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 38．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 【答案】BCD 【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值. 【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误； 对B：当时，；当时，； 则的值域为，故B正确； 对C：当时，，故C正确； 对D：当时，，解得，不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 综上所述：若，则的值是2，故D正确； 故选：BCD． 39．如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．若，则或2 【答案】CD 【分析】结合函数的图像和定义域，值域等性质进行判断即可． 【详解】由图像值，故A错误； 函数的定义域为，，故B错误； 函数的值域为，，故C正确； 若，则或2，故正确 故选：． 40．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是R B．的值域是 C．若，则x的值为 D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、二次函数的单调性，运用代入法逐一判断即可. 【详解】A：函数的定义域为，所以本选项不正确； B：当时，， 当时，，，所以有， 综上所述：的值域是，所以本选项正确； C：当时，，不符合； 当时，，或不符合， 综上所述：当时，x的值为，所以本选项正确； D：，所以本选项正确， 故选：BCD 41．已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． (1)写出函数的定义域和值域； (2)求的值． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) 【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域； （2）求出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】（1）解：由图可知，函数的定义域为，值域为. （2）解：当时，设，则，解得， 当时，可设，则，解得， 所以，， 则，因此，. 42．函数 (1)在区间上为增函数，求实数a的取值范围； (2)方程有三个不同的实数根，求实数a的取值范围； (3) 是否存在实数a使函数恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由分段函数单调性，结合条件列出不等式求出实数a的取值范围； （2）当时，由函数的单调性可知不满足题意，当时，结合在1处函数值与1的大小，可得关于a的不等式，解得a即可. (3)构造函数，对a分类讨论求得的最小值，再让最小值大于等于0，解得a的范围即可. 【详解】(1)依题意 (2)当时，f(x)在单调递增，当 f(x)在单调递增， 要使方程有三个不同的实数根，则， 又当时，恒成立， 则 (3)令 要使函数恒成立，则恒成立， 则成立，即 当时，符合题意 单调递增 则， 当时，g(x)在单调递减，在单调递增，在单调递减在单调递增， 则，又， ， 当时，g(x)在单调递减， 在单调递减，在单调递增 则， 又，， 综上. 【点睛】本题考查了分段函数的单调性的判断，注意端点处的函数值大小关系，考查了函数最值计算，属于中档题． 43．定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．若函数. （1）求函数的解析式及其单调区间； （2）求函数的值域. 【答案】（1），函数在上是增函数，在上是减函数.（2） 【分析】（1）对与的大小分类讨论即可． （2）分别求分段函数在各个区间段上的值域，再求它们的并集即可． 【详解】（1）由 由 ∴ ∴函数在上是增函数，在上是减函数. （2） 当时， 当时，， 当时，， ∴的值域为. 【点睛】（1）考查了分类讨论思想及新定义概念问题． （2）考查了分段函数的值域问题求解方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分段函数及其应用的题型专练 题型一：分段函数求值 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．设函数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数则 . 4．设函数，则 . 5．已知，则 . 6．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 . 题型二：分段函数求参 7．设函数，若，则（     ） A． B． C．或 D．或 8．已知，若，则实数为（    ） A．或2 B．2或 C．或 D．2 9．设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 10．（多选）已知函数，若，则x的可能取值为（    ） A．1 B． C．5 D． 11．已知，若，则 . 12．已知函数若，则实数 ． 13．已知函数. (1)求，的值； (2)若，求实数的值. 题型三：分段函数解不等式 14．设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 15．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 17．已知函数，若，则 . 18．已知，求的的取值范围 . 19．设函数，则 ；若，则的取值范围是 20．已知函数，若，则的取值范围是 ． 21．设函数，则不等式的解集为 . 22．已知函数，则不等式的解集为 ． 题型四：分段函数求值域或值域求参数范围 23．设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 25．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 26．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 28．若函数无最大值，则实数a的取值范围 . 29．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 30．设. （1）当时，的最小值是 ； （2）若是的最小值，则a的取值范围是 . 题型五：分段函数图像及应用 31．记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 32．对任意实数，规定取三个值中的最小值，则函数（    ） A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1 C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值 33．定义为中的最大值，设，则的最小值为 . 34．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的定义域为R D．的值域为 35．已知函数，，构造函数，那么函数 A．有最大值1，最小值﹣1 B．有最小值﹣1，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．有最大值3，最小值1 题型六：分段函数的综合应用 36．(多选)已知函数，下列关于函数的结论正确的是（   ） A．的定义域为R B．的值域为 C． D．在上单调递增 37．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 38．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．若，则的值是2 39．（多选）如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．的值域为 D．若，则或2 40．（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域是R B．的值域是 C．若，则x的值为 D． 41．已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段． (1)写出函数的定义域和值域； (2)求的值． 42．函数 (1)在区间上为增函数，求实数a的取值范围； (2)方程有三个不同的实数根，求实数a的取值范围； (3) 是否存在实数a使函数恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 43．定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．若函数. （1）求函数的解析式及其单调区间； （2）求函数的值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$