专题03轴对称（6基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题03 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津西青·期中）2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．春秋航空 B．东方航空 C．厦门航空 D．海南航空 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24八年级上·天津西青·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·天津·期中）下面有4个图案，其中是轴对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 折叠问题 1．（23-24八年级上·天津河东·期中）在三角形纸片中，，将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 4．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，将沿折叠使得顶点C恰好落在边上的点M处，D在上，点P在线段上移动，若，，，则周长的最小值为 ． 5．（22-23八年级上·天津·期中）如图，和是由沿着、边翻折得到的，若，则的度数为 ． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 2．（21-22八年级上·天津西青·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为 ． 4．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．    5．（23-24八年级上·天津和平·期中）如图，E为边的中点，，交的外角的平分线于点D，于F，且． (1)求证：； (2)求证：． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E交于点F，．    (1)求的度数 (2)若，连接，求的周长． 7．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，． (1)求证：≌； (2)求证：垂直平分． 8．（21-22八年级上·天津津南·期中）如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 画轴对称图形 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形在坐标系中，，．在图中画出三角形关于x轴的对称图形，并分别写出对应点、、的坐标．    2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，在平面直角坐标系内，各顶点的坐标分别是，，．线段两端点的坐标分别为，    (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形．（点，，的对称点分别是），并直接写出．的坐标； (2)若与全等，请直接写出一个满足条件的点的坐标． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1． (1)请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C坐标分别为，； (2)画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (3)求出的面积． 4．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，， (1)画出的关于y轴对称的． (2)写出各顶点的坐标． (3)求的面积． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为， ， ． (1)画出关于轴对称的（点与点是对称点，点与点是对称点）； (2)点B关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于直线对称的点的坐标为 ； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为 　　，点关于直线对称的点的坐标为 ． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·天津津南·期中）设等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则其周长为（    ）． A．20 B．22 C．26 D．22或26 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ）． A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的度数等于（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图， 已知，点B的对应点 E在线段上，，则的大小是 （度）． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 8．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是、边上的动点，与相交于点F，且．则下列3个结论：①图中共有两对全等三角形；②是等腰三角形；③．其中正确的结论有 （ 只需写出相应序号 ） 9．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，与中，，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 10．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有（　　） A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．    （1）当 时，为等边三角形； （2）当 时，为直角三角形． 3．（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，在等边三角形中，点D，E，F分别在边上，且．    (1)判断的形状； (2)证明（1）中结论． 4．（23-24八年级上·天津西青·期中）已知：如图，点是等边内一点，点是BP延长线上一点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)线段三者之间有怎样的数量关系?并请你说明理由． 5．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，、都是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，连接和，求证： (1)； (2)若交于M，交于N，并判断的形状并说明理由． 尺规作图—作垂线 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，有，用尺规作图的方法，分别作边的垂直平分线和边的垂直平分线，和交于点P．（保留作图痕迹，不要求写作法） 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）尺规作图（不需要写出具体作法，但要保留作图痕迹） 如图，点P是直线l外一点，作出直线l过点P的垂线． 3．（21-22八年级上·天津·期中）尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．    4．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，在内部求作一点，使它到，的距离相等，且到点，的距离也相等．要求：    (1)只用没有刻度的直尺和圆规； (2)保留作图痕迹，不必写出作法． 5．（23-24八年级上·天津和平·期中）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    等腰三角形的综合应用 1．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是BC的中点，BE⊥AD于E，交AC于F，连接DF．求证：∠1＝∠2． 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）已知，如图，在中，，，且，是内部一点．且，． (1)用含的代数式表示，，，得______，______，______； (2)求的度数； (3)若，试猜想的形状．请直接写出你的结论． 3．（23-24八年级上·天津武清·期中）在中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．    (1)如图①，若点D在边上时，证明：； (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）； (3)若点D在的反向延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明） 4．（23-24八年级上·天津和平·期中）在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图，当点在线段上，且时，证明； (2)设，． ①如图，当点在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明） ②如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明． 5．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，．点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且．    (1)用含有的式子表示线段的长(直接写出结果)； (2)如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； (3)如图3，延长交轴于点，连接，过点作，，轴于点．猜想线段的数量关系，并证明． 等边三角形的综合应用 1．（23-24八年级上·天津静海·期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系（只猜想，不用证明）； ②你能求出与的夹角(小于等于90°的角）度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 2．（23-24八年级上·天津津南·期中）数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    3．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，，都是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如图2，当与的位置发生变化，使，，三点在一条直线上，求证：． 4．（22-23八年级上·天津·期中）已知，平分． (1)在图1中，若， ①求度数； ②求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，点P，点Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．    (1)如图①，连接，交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的大小． (2)设点P的运动时间为，当是直角三角形时，求t的值； (3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交于点M，请直接写出的大小，不需要说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、C、D均不能找到一条直线，使A、C、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、C、D不是轴对称图形，不符合题意； B能找到一条直线，使B沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故B是轴对称图形，符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·天津西青·期中）2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．春秋航空 B．东方航空 C．厦门航空 D．海南航空 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的判断是解题的关键． 4．（23-24八年级上·天津西青·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，故B正确； C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 5．（21-22八年级上·天津·期中）下面有4个图案，其中是轴对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐图判定求解即可． 【详解】解：解：第1个是轴对称图形， 第2个不是轴对称图形， 第3个不是轴对称图形， 第4个是轴对称图形， 综上所述，是轴对称图形的有2个． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 折叠问题 1．（23-24八年级上·天津河东·期中）在三角形纸片中，，将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠知，，可证，求得，进而求得． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C    【点睛】本题考查折叠的性质、三角形外角的性质、内角和定理；由折叠得到角相等是解题的关键． 2．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图，和是分别沿着，边翻折形成的，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，可求得和的度数，根据图形折叠的性质，可求得和的度数，根据即可求得答案． 【详解】∵，， ∴，，． ∵和是分别沿着，边翻折形成的， ∴，． ∴，． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．根据折叠的性质，可得，从而，再由的周长，即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处， ， ， ， 的周长． 故答案为： 4．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，将沿折叠使得顶点C恰好落在边上的点M处，D在上，点P在线段上移动，若，，，则周长的最小值为 ． 【答案】19 【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值，从而求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，，， ∴M点为上一个固定点，则长度固定， ∵， ∴要使得周长最小，即使得最小， ∵， ∴满足最小即可， 显然，当P、B、C三点共线时，满足最小，如图所示， 此时，P点与D点重合，， ∴周长最小值即为， 根据折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴周长最小值即为， 故答案为：19． 【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键． 5．（22-23八年级上·天津·期中）如图，和是由沿着、边翻折得到的，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】由题意设，利用三角形的内角和定理可求解的值，即可求解，再由折叠的性质“折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等”可求得的度数，根据三角形外角的性质可求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， 则， 解得， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 线段垂直平分线的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中， 垂直平分，点 P为直线上的任意一点，则的最小值是（   ）    A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线可得，故当点P在上时，有最小值． 【详解】连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上，即当点P在上时，有最小值，最小值． 故选：C． 2．（21-22八年级上·天津西青·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD交于点G．下列结论：①DE＝DF；②AE＝AF；③∠EAF+∠EDF＝180°；④AD垂直平分EF；⑤点G一定是△ABC的重心．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可以判断①；证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDA，可以判断②；根据∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°，可得∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，即可判断③；根据点A，D都在线段EF的垂直平分线上，即可判断④；根据只有当AB=AC时，AD才是中线，即可判断⑤． 【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∠EAG=∠FAG，故①正确， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，∠EDA=∠FDA，故②正确； ∵∠EAD+∠EDA=90°，∠FDA+∠DAF=90°， ∴∠EAD+∠EDA+∠FDA+∠DAF=180°，即∠EAF+∠EDF=180°，故③正确； ∵AE=AF，ED=FD， ∴点A，D都在线段EF的垂直平分线上， ∴AD是EF的垂直平分线，故④正确； ∵AD是△ABC的角平分线，只有当AB=AC时，AD才是中线， ∴点G不一定是△ABC的重心，故⑤错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质． 3．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， ，即， 的周长， 故答案为：22． 4．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，连接，，若的周长为7，则的长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可求出．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∵的周长为7， ∴． 故答案为：7 5．（23-24八年级上·天津和平·期中）如图，E为边的中点，，交的外角的平分线于点D，于F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质： （1）根据线段垂直平分线的性质定理即可求证； （2）过点作于点，由“”可判定，由全等三角形的性质得，，再由直角三角形全等的判定方法“”可判定，由全等三角形的性质得，由即可求证； 掌握相关的判定方法及性质，根据题意添加辅助线，构建是解题的关键． 【详解】（1）证明：为边的中点，， ； （2）证明：如图，过点作于点， 为角平分线， ， ，， ， ， 在和中， ， ()， ，， 在和中， ， ()， ， ． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E交于点F，．    (1)求的度数 (2)若，连接，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，（1）根据直角三角形的性质可知与互余，结合对顶角相等，即可求出的度数；（2）的周长等于，根据线段的垂直平分线得出，则，结合即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：连接，    为的垂直平分线， ， 的周长， ， 的周长． 7．（22-23八年级上·天津东丽·期中）如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，． (1)求证：≌； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）利用证明和全等； （2）和全等，可证明，再证明和全等，可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明： ，， ， 在和中， ≌； （2）≌， ， ，， ≌， ， ，， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定．掌握全等的证明方法以及垂直平分线的判定定理是解题的关键． 8．（21-22八年级上·天津津南·期中）如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 画轴对称图形 1．（23-24八年级上·天津津南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形在坐标系中，，．在图中画出三角形关于x轴的对称图形，并分别写出对应点、、的坐标．    【答案】图形见解析，，，的坐标分别为：、、 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．依据轴对称的性质进行作图，即可得到． 【详解】解：如图，即为所求；   ，，的坐标分别为：、、． 2．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，在平面直角坐标系内，各顶点的坐标分别是，，．线段两端点的坐标分别为，    (1)请在图中作出关于y轴的轴对称图形．（点，，的对称点分别是），并直接写出．的坐标； (2)若与全等，请直接写出一个满足条件的点的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， (2) 【分析】本题坐标与图形变换-轴对称变换，全等三角形的性质： （1）根据关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，找出点、、关于轴对称的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）由图可知，根据与全等，利用网格特点找到点即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作，，，；    （2）如图，点的坐标为．    3．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1． (1)请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C坐标分别为，； (2)画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点的坐标 (3) 【分析】（1）首先根据A点坐标可确定原点位置，然后再画出坐标系； （2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，再连接，最后写出的坐标即可； （3）的面积利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：建立坐标系如下： （2）如图所示： ∴点的坐标； （3）的面积：． 【点睛】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，求解网格三角形的面积，关键是几何图形都可看作是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊点的对称点． 4．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，， (1)画出的关于y轴对称的． (2)写出各顶点的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】此题考查了作轴对称图形，确定直角坐标系中点的坐标，网格中图形的面积． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，顺次连线即可得到； （2）根据点在坐标系中的位置确定坐标即可； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：由图可知； （3）解：由题意得：． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为， ， ． (1)画出关于轴对称的（点与点是对称点，点与点是对称点）； (2)点B关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于直线对称的点的坐标为 ； (3)平面内一点关于轴对称的点的坐标为 　　，点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】(1)详见解析 (2)； (3)； 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案；点关于直线对称的点的纵坐标相同，横坐标为，即可得出答案． （3）关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案；点关于直线对称的点的坐标为，由此可得答案． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． （2）点关于轴对称的点的坐标为． 点关于直线对称的点的纵坐标，横坐标为， 点关于直线对称的点的坐标为． 故答案为：；． （3）平面内一点关于轴对称的点的坐标为． 点关于直线对称的点的纵坐标为，横坐标为， 点关于直线对称的点的坐标为． 故答案为：；． 等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．，交于点H． 若， 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·天津津南·期中）设等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则其周长为（    ）． A．20 B．22 C．26 D．22或26 【答案】D 【分析】此题考查等腰三角形的定义，三角形三条边的关系，以及分类讨论的数学思想．因为等腰三角形的底边和腰不确定，6可以为底边也可以为腰长，故分两种情况考虑，求出三角形的周长． 【详解】解：若6为等腰三角形的腰长，则10为底边的长，，符合题意， 此时等腰三角形的周长； 若10为等腰三角形的腰长，则6为底边的长，，符合题意， 此时等腰三角形的周长； 则等腰三角形的周长为26或22． 故选：D． 3．（23-24八年级上·天津西青·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：当为顶角时；当为底角时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：当为顶角时，顶角度数即为； 当为底角时，顶角度数为， 综上所述，等腰三角形的一个角是，则它的顶角是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．（23-24八年级上·天津·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的度数等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而推出，最后由进行计算即可，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 故选：A． 5．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图， 已知，点B的对应点 E在线段上，，则的大小是 （度）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，根据全等三角形的性质得出，，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分当时，当时， 当时， 三种情况分别利用数形结合的思想找到符合条件的B点个数即可得到答案． 【详解】解：如图， 当时，符合条件的B有一个， 当时，符合条件的B有两个， 当时，符合条件的B有一个 综上所述，符合条件的点B共有4个． 故答案为：4． 7．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，的平分线交于点，平分，且交于点，若，则 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：10． 8．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如下图，在中，，，M是边上的中点，点D、E分别是、边上的动点，与相交于点F，且．则下列3个结论：①图中共有两对全等三角形；②是等腰三角形；③．其中正确的结论有 （ 只需写出相应序号 ） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． ①根据中，，M是边上的中点， 得到，推出，根据三线合一的性质得到，，根据等边对等角得到，推出，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，根据，推出，得到，推出，根据，，推出，共三对三角形全等，结论①错误； ②根据，得到，推出是等腰三角形，结论②正确； ③根据，推出,得到，结论③正确． 【详解】①∵中，，M是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故共三对三角形全等，结论①错误； ②∵， ∴， ∴是等腰三角形，故结论②正确； ③∵， ∴, ∴，故结论③正确． 综上分析可知，正确的结论有②③． 故答案为：②③． 9．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，与中，，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，得到，利用证明即可得到； （2）利用三角形内角和定理和等腰三角形性质即可证明出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图， ∵， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 10．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据等边对等角先求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于.    ∵， ∴， ∴. 等边三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有（　　） A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知； ②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③同②得：，即可得出结论； ④过点C作于点M，于点N，根据，得出，然后得出平分． ⑤利用，利用三角形外角性质，得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和都是正三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ②在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴ ∴，故②正确； ③由②可知，， ∴， 由①可知，， ∴， ∴，故③正确； ④如图，过点C作于点M，于点N， 由①可知，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分，故④正确； ⑤由①可知，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤． 故选：D． 2．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．    （1）当 时，为等边三角形； （2）当 时，为直角三角形． 【答案】 或 【分析】（1）由题意得，，，再由等边三角形的性质得到，即，解方程即可； （2）讨论或时，利用与之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴当时，是等边三角形， 由题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，为等边三角形； 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴当为直角三角形时，只能是或， 当时，如图，    ∴， ∴， ∵，BQ=tcm， ∴， 解得； 当时，如图，    ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时为直角三角形． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质、解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质． 3．（23-24八年级上·天津武清·期中）如图，在等边三角形中，点D，E，F分别在边上，且．    (1)判断的形状； (2)证明（1）中结论． 【答案】(1)为等边三角形 (2)见解析 【分析】（1）根据题意猜想为等边三角形； （2）本题考查了等边三角形的判定，利用等边三角形性质及已知条件，可得，根据三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得为等边三角形． 【详解】（1）解：为等边三角形； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， 同理可得：， ∴， ∴为等边三角形． 4．（23-24八年级上·天津西青·期中）已知：如图，点是等边内一点，点是BP延长线上一点，且，．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)线段三者之间有怎样的数量关系?并请你说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由“”即可证明； （2）由（1）得：，得到，，证明，即可得到结论； （3）由是等边三角形可得，最后由即可得到结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得：， ，， 是等边三角形， ， ， ，即， 是等边三角形； （3）解：， 理由如下：是等边三角形， ， ，即． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 5．（23-24八年级上·天津西青·期中）如图，、都是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，连接和，求证： (1)； (2)若交于M，交于N，并判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据均是等边三角形，即可求证)； （2） 由（1）可知:和均是等边三角形，求证即可得出结论. 【详解】（1）∵均是等边三角形， ∴, ∴, 即. ∴. （2）由（1）可知:, ∴, 即. ∵均是等边三角形, ∴. 又点在同一条直线上， ∴，即. ∴. ∴. ∴. 又, ∴为等边三角形. 【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键. 尺规作图—作垂线 1．（22-23八年级上·天津河西·期中）如图，有，用尺规作图的方法，分别作边的垂直平分线和边的垂直平分线，和交于点P．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【分析】根据基本作图作、线段的垂直平分线、即可． 【详解】解：如图，、为所作． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）尺规作图（不需要写出具体作法，但要保留作图痕迹） 如图，点P是直线l外一点，作出直线l过点P的垂线． 【答案】画图见解析 【分析】以P为圆心，大于P到l的距离为半径画弧，交l于A，B两点，再分别以A，B为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点C，作直线即可． 【详解】解：如图，直线即为所求作的垂线． 【点睛】本题考查的是作已知直线的垂线，掌握“作垂线的基本步骤”是解本题的关键． 3．（21-22八年级上·天津·期中）尺规作图：请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作垂线与角平分线即可． 【详解】解：如图：点P即为所求．    【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，垂直平分线的应用，作垂线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23-24八年级上·天津河东·期中）如图，在内部求作一点，使它到，的距离相等，且到点，的距离也相等．要求：    (1)只用没有刻度的直尺和圆规； (2)保留作图痕迹，不必写出作法． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】作的平分线和线段的垂直平分线，则它们的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）如图，点即为所求； 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的性质定理、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级上·天津和平·期中）①如图，某地区要在区域内建一个超市，按照要求，超市到两个新建的居民小区，的距离相等，到两条公路，的距离也相等．这个超市应该建在何处？本题要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹    ②如图，在正方形网格中有一，点、、均在格点上，，点在线段上（点与、不重合），点在线段上（点与、不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出直线，并用文字简要说明点和点如何找到的（不要求证明）    【答案】①见解析；②见解析 【分析】①由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以超市在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以超市在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． ②在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 【详解】解：①分别作出公路夹角的角平分线和线段的中垂线，他们的交点为，则点就是修建超市的位置． ②如图，在上取格点，使，再取格点，作直线交于点，直线即为所求． 理由：如图，取的中点，连接，作格点，交、于、， ， 根据勾股定理求得， ∵， 的周长,； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（）， ∴， ∴的周长的一半，， ∴直线恰好将的周长和面积都平分 【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，尺规作垂线，尺规作角平分线，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握尺规作图以及依据直线恰好将的周长和面积都平分，构造全等三角形求解． 等腰三角形的综合应用 1．（21-22八年级上·天津和平·期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是BC的中点，BE⊥AD于E，交AC于F，连接DF．求证：∠1＝∠2． 【答案】见解析 【分析】过点B作BM⊥AC，交AD于G，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠C＝∠ABG＝∠DBG＝45°，根据等角的余角相等可得∠CBF＝∠DAB，进而证明△ABG≌△BCF，得到BG＝CF，进而证明△CFD≌△BGD，即可证明∠1＝∠2． 【详解】证明：过点B作BM⊥AC，交AD于G，如图， ∵AB＝BC， ∴∠DBG＝∠ABG＝∠ABC＝45°，∠C＝∠CAB＝＝45°， ∴∠C＝∠ABG＝∠DBG＝45°， ∵BE⊥AD， ∴∠DAB+∠ABE＝90°， ∵∠CBF+∠ABE＝∠ABC＝90° ∴∠CBF＝∠DAB， 在△ABG和△BCF中， ， ∴△ABG≌△BCF（ASA）， ∴BG＝CF， ∵D为CB中点， ∴CD＝BD， 在△CFD和△BGD中， ， ∴△CFD≌△BGD（SAS）， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）已知，如图，在中，，，且，是内部一点．且，． (1)用含的代数式表示，，，得______，______，______； (2)求的度数； (3)若，试猜想的形状．请直接写出你的结论． 【答案】(1)，， (2) (3)是等腰直角三角形 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证≌，≌，可得，，由三角形内角和定理可求解； （3）由等腰三角形的性质可得，，可求，即可求解． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， ， ， ； 故答案为：，，； （2）如图，过点作于，过点作于，过点作交的延长线于，交于． ，， ， ，，， ≌， ， ，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·天津武清·期中）在中，，，点是直线上的一动点（不和，重合），于，交直线于．    (1)如图①，若点D在边上时，证明：； (2)若点D在的延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明）； (3)若点D在的反向延长线上，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出正确结论（不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）易证，结合条件容易证到，从而有，就可得到； （2）同理证明，得到； （3）同理证明，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ． ∴． ∴， ∴； （2）解：当点在的延长线上时，如图2．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 则； （3）解：当点在的反向延长线上时，如图3．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段和差等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 4．（23-24八年级上·天津和平·期中）在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．    (1)如图，当点在线段上，且时，证明； (2)设，． ①如图，当点在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明） ②如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先证明，即可求证，则，最后根据，即可求证； （2）①由（1）同理可得，则，根据，即可得出；②和（1）同理可得，推出，即可得出，再根据，，得出，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）同理可得， ∴，即， ∵， ∴； ②和（1）同理可得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴．    5．（23-24八年级上·天津南开·期中）如图1，等腰直角放置在平面直角坐标系中，点，点，．点在轴上，连接，以为腰作等腰直角，其中．若点的横坐标为，且．    (1)用含有的式子表示线段的长(直接写出结果)； (2)如图2，若，连接，求点的坐标以及的度数； (3)如图3，延长交轴于点，连接，过点作，，轴于点．猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)， (3)，证明见解析 【分析】（1）由点的坐标结合为等腰直角三角形得出，由点的横坐标为得出，即可得到答案； （2）由得出，作轴于，则，证明得到，，从而得出，即可得出点的坐标和为等腰直角三角形，即可得解； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，点，， ， 点的横坐标为， ， ； （2）解：， ， 为等腰直角三角形， ，， 如图，作轴于，则，    ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，在上截取，连接，    轴，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在和， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、列代数式、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键． 等边三角形的综合应用 1．（23-24八年级上·天津静海·期中）如图1，在中，于，，D是AE上的一点，且，连接，． (1)试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系（只猜想，不用证明）； ②你能求出与的夹角(小于等于90°的角）度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不发生变化，理由见解析 (3)①，②能， 【分析】（1）延长交于，求出，证出，即可推出； （2）求出，证出，推即可出； （3）求出，证出，推出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：， 理由：延长交于． ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：不发生变化， 理由是：， ， ， 在和中， ， ， ， （3）解：①， ， ， 在和中， ， ， ， ②能． 理由：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， 即与所成的角的度数为． 【点睛】本题考查了三角形综合题，等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 2．（23-24八年级上·天津津南·期中）数学模型学习与应用： （1）【模型学习】如下图，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到__________，__________．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．    （2）【模型应用】如下图，为等边三角形，，，求证：；    （3）【模型变式】如下图，在中，，，于点E，于点D，，，则__________．    【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3）解：，， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，，都是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如图2，当与的位置发生变化，使，，三点在一条直线上，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论； （2）由（1）可知，再根据全等三角形的性质，即可得出的度数； （3）根据等边三角形的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出，再根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证得是解决本题的关键． 4．（22-23八年级上·天津·期中）已知，平分． (1)在图1中，若， ①求度数； ②求证； (2)在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】（1）①先求出，进而即可求解；②根据直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得，从而证明； （2）在上截取，连接，证明，则，然后证明为等边三角形，则． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴， ∵， ∴； ②证明：在中，，中， ， ∴， ∴ ∴． （2）（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明选段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．正确作出辅助线是解题的关键． 5．（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，点P，点Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是．    (1)如图①，连接，交于点M． ①求证：； ②在点P，Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的大小． (2)设点P的运动时间为，当是直角三角形时，求t的值； (3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，直线，交于点M，请直接写出的大小，不需要说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不变，； (2)或； (3)． 【分析】（1）①利用“”可直接证明； （2）由得，利用外角的性质并进行等量代换可得； （3）分，两种情况，利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半列式求解； （4）先利用“”证明，得出，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】（1）①∵是等边三角形， ∴，， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴． ②不变，．理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． （2）设运动时间为t秒，则， ①当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ②当时， ∵， ∴． ∴，即， 解得； ∴当为直角三角形时，或． （3）∵在等边中，，， ∴， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，含角直角三角形的性质等知识点，第2问需要分类讨论，有一定难度，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$