精品解析：安徽省淮南市八公山区2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2025届九年级第一次学情调研 数学卷（RJ） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A、方程 中未知数的次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意． C、方程由两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． 【详解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0， ∴方程无实数根． 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据对称轴解析式，顶点坐标以及二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：将代入，求出，故图象与y轴交点的坐标是，选项A错误； 对称轴是直线，故选项B错误； 顶点坐标为，故选项C错误， 因为函数开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确． 故选：D． 4. 关于方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵关于方程的一个根是，设另一个根为， ∴ ∴， 故选：C． 5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为， 故选B． 6. 若方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据根与系数关系得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ∴， 故选：A 7. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ） A. B. 2s C. D. 或2s 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，P、Q之间的距离等于，先用含x的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【详解】设后P、Q之间的距离等于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 当时，，应舍去 ∴， ∴需要经过． 故选：A． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了主要二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．求出二次函数的对称轴，根据点离函数对称轴的距离判断即可． 【详解】解：依题意可得函数对称轴为，且函数开口向上， 点关于 的对称点为， 根据题意可得，当时，随着轴的增大而减小， ， 故选D． 9. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，可得，对称轴为直线 ，根据当时，y随x的增大而减小，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线 ， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，求得对称轴是解题的关键． 10. 如图，在中，对角线，相交于点， ，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点向作垂线，交于点， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设，则， ∵ ， ∴， ∴， 当时，, 当时，．且图像是二次函数的一部分, 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式非负，得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，特别注意二次项系数非零这个条件不能忽略． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答． 【详解】解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2， 则抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴对角线BD的最小值为2， 故答案为2． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C． （1）______； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作 于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，面积的计算，三角形相似，熟练掌握三角形相似是解题的关键． （1）将点代入函数解析式即可求出答案； （2）求出解析式，设点，则点，求出当时，最大，即时，最大，即可得到答案． 【详解】解：（1）将点代入函数解析式， 即， 解得， 故答案为： ． （2）由（1）可得， 令，即 ，解得或， 令，即， 故， 设解析式为：， 将代入， 解得， 解析式为：， 设点，则点， ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，为， ， ， ， ，则， 当最大时，即时，最大， 则点， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解下列方程： （1） （配方法） （2） 【答案】（1）， （2） ， 【解析】 【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可； （2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： ， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴，． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或 ， 解得 ，． 【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键． 16. 抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求二次函数解析式的方法，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为，再将代入，即可得到答案． 【详解】解：由题意可设函数解析式为， 将代入， ， 解得， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 定义：如果一元二次方程满足 ，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； （2）已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】（1）一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； 【小问2详解】 解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 18. 如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． （1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前 行的点数和； （2）请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； （3）三角点阵中前行的点数和能是 吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型； （1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，则前行共有个点，然后求它们的和，前行共有个点，则，然后解方程得到的值； （2）将代入，即可求解； （3）由（1）得，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点， 前行共有个点， ∴前行共有个点， 由题意可得：， 整理得， ，， 为正整数， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵前行共有个点， ∴当时，，即三角点阵中前行的点数和为， 故答案为：． 【小问3详解】 依题意，得， 即， 解得：或 ， 为正整数， ． 当 时，三角点阵中前行的点数的和是 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， 解得 ． 20. 某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？ 【答案】（1） （2）商场每天要盈利元，每件应再降价元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超过 ； （2）设每件应再降价a元，根据商场每天要盈利元列方程，解方程后再根据尽快减少库存确定答案即可． 【小问1详解】 解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意可得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：平均每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：设每件应再降价a元， 由题意可得：， 解得， 为扩大销售量，尽快减少库存，应该降价元， 答：商场每天要盈利元，每件应再降价元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线（、为常数）与轴交于、． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段长的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，一次函数解析式，解题的关键是求出函数解析式，根据点的坐标计算线段的长． （1）将，代入二次函数表达式中，解关于，的二元一次方程组，即可得到结果； （2）先由的横坐标求得点的坐标，坐标求出直线的表达式，进而求得的坐标，再求出抛物线的顶点的坐标，可得的长，即可求解的面积； （3）设，由勾股定理得，再利用二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、为常数）与轴交于、， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∴， ∴对称轴为直线，顶点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，将代入， 得， 解得：， ∴直线的表达式为， 令，则， ∴， ∵顶点， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， 解方程得 或， ∴当的横坐标为或时，有最小值，最小值为． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践： 项目任务：校园草坪设计 项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计： 校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求： ①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形． 任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“ ”） 任务2 （2）验证猜想：请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积______； 任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？ 任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角 ．用含x的代数式表示四边形 的面积． 【答案】（1）； ；（2）平方米；（3）1米；（4）平方米 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得甲、乙方案中的小路的总面积相等，再由甲和丙方案中的小路是的形状和分布方式不同，可得两者总面积不相等； （2）根据小路总面积横向小路面积 纵向小路面积重叠部分的面积，即可得出答案； （3）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可； （4）如图3，连接、、、，过点F作 ，交 于M， 则四边形 是平行四边形，则可证明 ，再证明 ，得到四边形 是矩形，解直角三角形得到 ，同理可得 ，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：（1）∵甲、乙两种方案中，经过平移之后种植草坪的面积都相当于一个长为米，宽为的长方形面积，且整块地的面积相等， ∴甲、乙两种方案中的小路面积相等， ∴． ∵甲方案中小路是规则的矩形、丙方案中小路是平行四边形，且丙方案中小路的分布方式与甲方案不同， ∴， 故答案为：； ． （2）平方米， 故答案为：平方米； （3）由（1）可得 ， 整理得： ， 解得或（舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （4）如图3，连接、、、，过点F作 ，交 于M， 则四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∴ ， ∵， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， 在中， ， 同理可得 ， ∴四边形 的面积为平方米． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数（b、c为常数）． （1）当，时，求函数的最小值； （2）当 时，函数的最小值为，求b的值； （3）当且时，函数有最小值 ，求二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题： （1）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）根据题意得到解析式，再把解析式化为顶点式求出最小值，再根据最小值为建立方程求解即可； （3）先求出解析式为，则函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此分对称轴在直线左侧，在直线右侧，和在直线和之间三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，二次函数解析式为， ∵ ， ∴当时，函数有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：当 时，二次函数解析式为， ∵ ， ∴当 时，函数有最小值，最小值为， ∵当 时，函数的最小值为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线 ， ∵ ， ∴函数开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，则当时，函数有最小值， ∴， ∴（舍去）； 当，即时，函数的最小值为， ∴， 解得或 （舍去）； 综上所述，， ∴函数解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届九年级第一次学情调研 数学卷（RJ） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 关于方程的一个根是，则另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过（ ） A. B. 2s C. D. 或2s 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C． （1）______； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作 于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解下列方程： （1） （配方法） （2） 16. 抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 定义：如果一元二次方程满足 ，那么我们称这个方程为“和谐方程”． （1）判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； （2）已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 18. 如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点． （1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前 行的点数和； （2）请直接写出三角点阵中前行的点数和_____； （3）三角点阵中前行的点数和能是 吗？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20. 某商场销售某男款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利64元，此时平均每天可售出30件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在国庆期间该商场决定在每件盈利64元的情况下再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件男款上衣再次降价时，每降价1元，每天可多售出2件，若商场每天要盈利元，每件应再降价多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线（、为常数）与轴交于、． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段长的最小值． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践： 项目任务：校园草坪设计 项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计： 校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求： ①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形． 任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“ ”） 任务2 （2）验证猜想：请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积______； 任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？ 任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角 ．用含x的代数式表示四边形 的面积． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数（b、c为常数）． （1）当，时，求函数的最小值； （2）当 时，函数的最小值为，求b的值； （3）当且时，函数有最小值 ，求二次函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $