第13章 全等三角形 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第13章 全等三角形 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十三章（全等三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（　） A．两个等边三角形不一定全等 B．全等三角形的面积不一定相等 C．面积相等的两个三角形不一定全等 D．形状相同的两个三角形不一定全等 3．如图，，，只需补充一个条件 ，就可得．下列条件中不符合要求的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，所以．在这个过程中，得到的条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）  A． B． C． D． 8．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．中，，则 ° ． 12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 13．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为 ． 14．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则 ． 15．若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 16．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为 度． 17．如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ． 18．在四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，已知，求证：． 20．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 21．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 22．如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 23．已知：，，，，，．求的长． 24．如图在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画一条直线平分的周长； (2)在1的基础上，在直线上且在的上方找点D，使； (3)在图2中，画格点F，使且； (4)在图2中，在线段上找一点M，连，使． 25．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 全等三角形 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十三章（全等三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项． 【详解】解：如图， ∵ 又∵和全等， 故选：D． 2．下列说法错误的是（　） A．两个等边三角形不一定全等 B．全等三角形的面积不一定相等 C．面积相等的两个三角形不一定全等 D．形状相同的两个三角形不一定全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的定义，形状和大小都相同的两个三角形全等，由此逐项判断即可． 【详解】解：两个等边三角形的边长不一定相等，因此不一定全等，故A选项说法正确； 全等三角形的面积一定相等，故B选项说法错误； 面积相等的两个三角形不一定全等，故C选项说法正确； 形状相同的两个三角形大小不一定相同，因此不一定全等，故D选项说法正确； 故选B． 3．如图，，，只需补充一个条件 ，就可得．下列条件中不符合要求的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．由平行可知到，可得到，故只需添加，或一组角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴，故A不符合题意； 当时，只有2个相等的元素，不等判定和全等，故B符合题意； 当时， 在和中 ∴，故C不符合题意； 当时，可知，满足，故D不符合题意， 故选：B． 4．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，所以．在这个过程中，得到的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，由作图可知，，，，由证明三角形全等即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，，， 在和， ， ∴， ∴， ∴得到的条件是， 故选：D． 5．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得是以为底的等腰三角形，则点C的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义和中垂线的性质是解题的关键．画出的垂直平分线即可确定点C的位置． 【详解】解：∵是以为底的等腰三角形， ∴点C在的中垂线上， 如图，点C的位置有2个，    故选：B． 6．如图，在中，，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线．若，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，则可证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 8．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形三边关系的应用．延长到，使，连接，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可求解． 【详解】解：延长到，使，连接，如图：   ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选： A． 9．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握线段垂直平分线的性质． 10．如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则， ，，， ， 当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，， ， ，， ， 即最小时，的度数为． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．中，，则 ° ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了等腰三角形的各角之间的关系，确定等腰三角形的顶角，再结合计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：50． 12．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 13．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据题意，作，根据角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，，即，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．由题意知，直线是线段的垂直平分线，则即可得出结论． 【详解】解：由题意知，直线是线段的垂直平分线 在直线上 ． 故答案为：5． 15．若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 16．如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为 度． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 17．如图，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，延长，做，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，做， 设， 平分， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 18．在四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据线段的中点定义可得，再设点的运动时间为秒，则，从而可得，然后根据已知可得分两种情况：当，时；当，时，分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：：∵点为的中点，， ∴， 设点的运动时间为秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴①当，时，， 此时， 解得：， ∴， 此时点的运动速度为：； ②当，时，， 此时， 解得：， 此时点的运动速度为：； 综上所述：当点的运动速度为或时，能够使与全等． 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【详解】解：在和中， ， ∴． 20．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作． 21．如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E． (1)若，求的度数； (2)若，的长为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质,三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， ，， 周长为． 22．如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分． 23．已知：，，，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 24．如图在网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D，E都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，画一条直线平分的周长； (2)在1的基础上，在直线上且在的上方找点D，使； (3)在图2中，画格点F，使且； (4)在图2中，在线段上找一点M，连，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查作图应用与设计作图，旋转的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取中点，连接，延长即可得出． （2）取格点，连接，，可得为等腰直角三角形，可得，连接交于点，连接延长交于点即可． （3）把线段绕点顺时针旋转得到线段即可； （4）取格点，连接，，交于点，连接即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 理由：由图可知：为等腰直角三角形， ∴ ∵为中点 ∴是垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：如图，点即为所求； （4）如图，点即为所求； 理由：由（3）可得： ∴， 由图可知：为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 25．图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．    (1)_____（用t的代数式表示） (2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$