第02讲 垂直于弦的直径（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第02讲 垂直于弦的直径 课程标准 学习目标 ①垂径定理 ②垂径定理的推论 1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行选择应用。 知识点01 垂径定理 1. 垂径定理的内容：⌒ 垂直于弦的 ， 弦，平分弦所对的 和 。 即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则： CE DE，BC (⌒) BD (⌒)，AC (⌒) AD (⌒)。 注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。 在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。即：（） 【即学即练1】 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　） A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC 【即学即练2】 2．如图，在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则⊙O的半径长为 　 　． 【即学即练3】 3．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为　　． 【即学即练4】 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 知识点02 垂径定理的推论 2. 垂直定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的 。 推论2：弦的垂直平分线经过 ，并且 弦所对的 。 推论3：平分弦所对一条弧的直径， 弦，并且平分弦所对的 。 【即学即练1】 5．如图，AB是⊙O的直径，点B是的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是的中点 B．AB⊥CD C．AB平分CD D．CD平分AB 题型01 垂径定理求圆的半径（直径） 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式1】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则⊙O的半径等于　 　． 变式1 变式2 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，⊙O的直径长是　 ． 【变式3】如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝10，求⊙O的直径． 【变式4】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝2cm，求⊙O的半径． 题型02 垂径定理求弦长 【典例1】如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长． 【变式1】如图所示，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．8cm B．cm C．6cm D．2cm 【变式2】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【变式3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 【变式4】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）求证：E是OB的中点； （2）若AB＝16，求CD的长． 题型03 垂径定理求弦心距离 【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD＝8，OA＝5，则AH的长为 　 　． 【变式2】已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为（　　）cm． A．14或2 B．14 C．2 D．6 【变式3】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　 　． 【变式4】如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12． （1）求线段OD的长； （2）当EO＝BE时，求DE的长． 题型04 垂径定理的应用 【典例1】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【变式1】《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【变式2】往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 【变式3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【变式4】一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？ 【变式5】如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． （1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R． 1．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 第1题 第2题 第3题 2．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 4．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 第4题 第5题 5．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 7．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为（　　） A．3厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 8．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 9．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　 　． 第11题 第12题 12．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　 　m． 13．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为 　cm． 14．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　 　． 15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　 　． 16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8． （1）求CE的长度； （2）求OC的长度． 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆半径为7cm，求小圆的半径． 18．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若CE＝，求⊙O的半径． 19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 20．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成． （1）如图1，一辆货车宽5.8m，高4m，它能通过该隧道吗？ （2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.7m的货车能驶入这个隧道吗？ （3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则一辆宽为2.8m，高为4m的货车 　 　通过隧道（填“能”或“不能”）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 垂直于弦的直径 课程标准 学习目标 ①垂径定理 ②垂径定理的推论 1. 掌握垂径定理以及垂径定理的相关推论，并能够在不同的题目对其熟练的进行选择应用。 知识点01 垂径定理 1. 垂径定理的内容： 垂直于弦的 直径 ， 平分 弦，平分弦所对的 优弧 和 劣弧 。 即若AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD垂足为E，AB交CD弧于B，交弧CAD于A，则： CE ＝ DE，弧BC ＝ 弧BD，弧AC ＝ 弧AD。 注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。 在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。即：（） 【即学即练1】 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　） A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC 【分析】先根据垂径定理得CM＝DM，，，得出BC＝BD，再根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ADC，而OM与BM的关系不能判断． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CM＝DM，，， ∴BC＝BD，∠ACD＝∠ADC． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离3，则⊙O的半径长为 　5　． 【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可． 【解答】解：∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝3， ∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°， 由勾股定理得：AO＝＝＝5， 故答案为：5． 【即学即练3】 3．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点M，已知AM＝5，BM＝1，∠CMB＝60°，则CD的长为　2　． 【分析】连接OD，过点O作OE⊥CD，根据题意先求出OM，再由∠CMB＝60°，得∠MOE＝30°，再根据勾股定理求得OE，DE，由垂径定理得出CD的长． 【解答】解：连接OD，过点O作OE⊥CD， ∵∠CMB＝60°，∴∠MOE＝30°， ∵AM＝5，BM＝1，∴OB＝3，OE＝， ∴DE＝， ∴CD＝2， 故答案为2． 【即学即练4】 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则OE＝（　　） A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【分析】先利用垂径定理得到CE＝4，然后根据勾股定理计算OE的长． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝CD＝×8＝4， 在Rt△OCE中，OE＝＝＝3（cm）． 故选：C． 知识点02 垂径定理的推论 2. 垂直定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径 垂直于 弦，并且 平分 弦所对的 两条弧 。 推论2：弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且 平分 弦所对的 两条弧 。 推论3：平分弦所对一条弧的直径， 垂直平分 弦，并且平分弦所对的 另一条弧 。 【即学即练1】 5．如图，AB是⊙O的直径，点B是的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是的中点 B．AB⊥CD C．AB平分CD D．CD平分AB 【分析】利用垂径定理一一判断即可． 【解答】解：∵B是的中点， ∴＝， ∵AB是直径， ∴AB⊥CD， ∴AB平分CD，＝， 故A，B，C正确， 故选：D． 题型01 垂径定理求圆的半径（直径） 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【分析】先连接OA，由垂径定理求出AE的长，根据CE：ED＝1：5可设CE＝x，则⊙O的半径＝3x，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出OA的长． 【解答】解：连接OA， ∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10cm， ∴AE＝AB＝×10＝5cm， ∵CE：ED＝1：5， ∴设CE＝x，则OA＝3x，OE＝2x， 在Rt△AOE中， ∵AE2+OE2＝OA2，即52+（2x）2＝（3x）2，解得x＝cm， ∴OA＝3x＝3cm． 故选：C． 【变式1】如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB＝8，AC＝6，则⊙O的半径等于　5　． 【分析】作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA，则四边形ONAM是矩形，利用垂径定理求得OM和AM的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：作OM⊥AB，ON⊥AC于点M、N．连接OA． 则AM＝AB＝4，AN＝AC＝3，四边形ONAM是矩形． ∴OM＝AN＝3， 在直角△OAM中，AM＝＝＝5． 故答案为：5． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，⊙O的直径长是　10　． 【分析】连接OC，如图，利用勾股定理计算出OC即可． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB， ∴∠CDO＝90°， 在Rt△OCD中，OC＝＝5， ∴AB＝2OC＝10， 即⊙O的直径为10． 故答案为10． 【变式3】如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝10，求⊙O的直径． 【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：连接OB，设OB＝OA＝R，则OE＝10﹣R， ∵AD⊥BC，BC＝10， ∴∠OEB＝90°，BE＝BC＝5， 由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2， R2＝（10﹣R）2+52， 解得：R＝， 即⊙O的直径为． 【变式4】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝2cm，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据三个直角可得矩形，再利用垂径定理可得一组邻边相等，进而可得结论； （2）根据勾股定理可得半径． 【解答】（1）证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AD＝AB，AE＝AC， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°， ∴四边形ADOE是正方形； （2）解：连接OA， ∵AC＝2cm， ∴AE＝1cm， 在Rt△AOE中，OA＝＝（cm）， 答：⊙O的半径是cm． 题型02 垂径定理求弦长 【典例1】如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长． 【分析】连接OC，如图，利用垂径定理得到CE＝DE，再计算出OC、OE，然后利用勾股定理计算出CE即可． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∵EB＝9，AE＝1， ∴AB＝10，OC＝OA＝5， ∴OE＝4， 在Rt△OCE中，CE＝＝3， ∴CD＝2CE＝6． 【变式1】如图所示，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　） A．8cm B．cm C．6cm D．2cm 【分析】先根据垂径定理的推论得，CD⊥AB，由于⊙O的直径CD＝10cm，则⊙O的半径为5cm，又已知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝3，OC＝5，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB的长度． 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM， ∴⊙O的半径为5cm，CD⊥AB， ∴OA＝OC＝5cm， 又∵OM：OC＝3：5， 所以OM＝3cm， 在Rt△AOM中，AM＝＝4（cm）， ∴AB＝2AM＝2×4＝8（cm）． 故选：A． 【变式2】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【分析】作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长． 【解答】解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD， ∵BE＝1，AE＝5， ∴OC＝AB＝＝＝3， ∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2， ∵Rt△OME中，∠AEC＝30°， ∴OM＝OE＝×2＝1， 在Rt△OCM中， ∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2， ∴CD＝2CM＝2×2＝4． 故选：A． 【变式3】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆的半径r＝8，小圆的半径r＝6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长． 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD； （2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE＝6，CE＝DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：作OE⊥AB，则AE＝BE，CE＝DE， 故BE﹣DE＝AE﹣CE； 即AC＝BD； （2）解：连接OC，OA， ∵OE⊥AB且OE⊥CD， ∴OE＝4，CE＝DE， ∴DE＝CE＝＝＝2， AE＝＝＝4， ∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2． 【变式4】如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）求证：E是OB的中点； （2）若AB＝16，求CD的长． 【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可． （2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【解答】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ＝， ∴AC＝AD， ∵过圆心O的线CF⊥AD， ∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC＝CD， ∴AC＝AD＝CD． 即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD＝30°， 在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB， ∴点E为OB的中点； （2）解：在Rt△OCE中，AB＝16， ∴OC＝AB＝8， 又∵BE＝OE， ∴OE＝4， ∴CE＝＝＝4， ∴CD＝2CE＝8． 题型03 垂径定理求弦心距离 【典例1】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8， ∴， 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， 由勾股定理可得：． 故选：C． 【变式1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD＝8，OA＝5，则AH的长为 　8　． 【分析】连接OC，根据垂径定理求出CH，再根据勾股定理求出OH即可． 【解答】解：连接OC，则OC＝OA＝OB＝5， ∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8， ∴∠OHC＝90°，CH＝DH＝4， 由勾股定理得：OH＝＝＝3， ∵OA＝5， ∴AH＝OA+OH＝5+3＝8， 故答案为：8． 【变式2】已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，则弦MN和EF之间的距离为（　　）cm． A．14或2 B．14 C．2 D．6 【分析】分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1， ∵MN＝12cm，EF＝16cm， ∴CE＝8cm，MD＝6cm， ∵OE＝OM＝10cm， ∴CO＝6cm，OD＝8cm， ∴CD＝OD﹣OC＝2cm； ②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2， ∵MN＝12cm，EF＝16cm， ∴CE＝8cm，MD＝6cm， ∵OE＝OM＝10cm， ∴CO＝6cm，OD＝8cm， ∴CD＝OC+OD＝14cm； 故选：A． 【变式3】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　3≤OP≤5　． 【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5． 【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM＝BM， ∵AB＝8， ∴AM＝4， 在Rt△AOM中，OM＝， OM的长即为OP的最小值， ∴3≤OP≤5． 【变式4】如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12． （1）求线段OD的长； （2）当EO＝BE时，求DE的长． 【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BD＝BC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OE＝x，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）连接OB． ∵OD过圆心，且D是弦BC中点， ∴OD⊥BC，BD＝BC， 在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2． ∵BO＝AO＝8，BD＝6． ∴OD＝2； （2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2． 设BE＝x，则OE＝x，DE＝6﹣x． （2）2+（6﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝﹣16（舍），x2＝4． 则DE＝2． 题型04 垂径定理的应用 【典例1】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（　　） A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米 【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O． 连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O 连接OA．根据垂径定理，得AD＝6（米）， 设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2＝36+（r﹣4）2，解得r＝6.5 故选：A． 【变式1】《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10， ∴AE＝BE＝5， 设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸， ∵DE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25， 即2x＝26， 解得：x＝13 所以CD＝26（寸）． 故选：C． 【变式2】往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝24cm， ∴BD＝AB＝12（cm）， ∵OB＝OC＝13cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm）， 即水的最大深度为8cm， 故选：B． 【变式3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论． 【解答】解：（1）连接OA， 由题意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34（米）； （2）连接OA′， ∵OE＝OP﹣PE＝30米， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16（米）． ∴A′B′＝32（米）． ∵A′B′＝32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 【变式4】一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16m（如图），桥拱最高处离水面4m． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m，问水面涨高了多少？ 【分析】已知到桥下水面宽AB为16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题． 【解答】解：（1）如图所示，设点O为AB的圆心，点C为的中点， 连接OA，OC，OC交AB于D，由题意得AB＝16m，CD＝4m， 由垂径定理得OC⊥AB，AD＝AB＝×16＝8（m）， 设⊙O半径为xm，则在Rt△AOD中， OA2＝AD2+OD2，即x2＝82+（x﹣4）2， 解得x＝10，所以桥拱的半径为10m； （2）设河水上涨到EF位置（如图所示）， 这时EF＝12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M）， ∴EM＝EF＝6m， 连接OE，则有OE＝10m， OM＝＝8（m） OD＝OC﹣CD＝10﹣4＝6（m）， DM＝OM﹣OD＝8﹣6＝2（m）． 【变式5】如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． （1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R． 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； （2）连接AO、BO，AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC， ∴BE＝BC＝×8＝4， 在Rt△ABE中，AE＝＝＝3， 设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中， OB2＝BE2+OE2， 即R2＝42+（R﹣3）2， R＝， 答：圆片的半径R为cm． 1．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，再根据勾股定理求出OC即可． 【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA， ∵OC⊥AB，OC过圆心O，AB＝2， ∴AC＝BC＝，∠OCA＝90°， 由勾股定理得：OC＝＝＝1， 即圆心O到弦AB的距离为1， 故选：A． 2．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，易得CO是△ABE的中位线得到EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，依据勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径， ∴CO是△ABE的中位线， ∴EB＝2OC， 在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1， ∵AO2＝OC2+AC2， ∴x2＝（x﹣1）2+22， 解得：， 即，， ∴EB＝2OC＝3， 故选：B． 3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可． 【解答】解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝4， 设OF＝x，则ON＝OF， ∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2 即：（4﹣x）2+22＝x2 解得：x＝2.5 故选：B． 4．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】因为CD⊥OC交⊙O于点D，连接OD，△OCD是直角三角形，则CD＝，因为半径OD是定值，当OC取得最小值时线段CD取得最大值． 【解答】解：连接OD， ∵CD⊥OC交⊙O于点D， ∴△OCD是直角三角形， 根据勾股定理得CD＝， ∵半径OD是定值， ∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝， ∴CD＝＝BC＝． 故选：A． 5．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】先过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD＝AB，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求出r的值． 【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵OD⊥AB， ∴AD＝AB＝×8＝4cm， 设OA＝r，则OD＝r﹣2， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42， 解得r＝5cm． ∴该输水管的半径为5cm； 故选：C． 6．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】连接EB，由题意得出OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，得出EB＝ED＝CD＝5，OE＝4，由垂径定理得出AO＝BO＝AB，由勾股定理求出OB，即可得出结果． 【解答】解：连接EB，如图所示： ∵C（0，9），D（0，﹣1）， ∴OD＝1，OC＝9， ∴CD＝10， ∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4， ∵AB⊥CD， ∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3， ∴AB＝2OB＝6； 故选：C． 7．数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板（其中斜边上带有刻度）的直角顶点C放在⊙O上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边AC经过圆心O，此时小明发现三角板的斜边AB在⊙O上截得的线段（DE）长为2厘米，已知三角板的直角边长为7厘米，则⊙O的半径为（　　） A．3厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【分析】利用垂径定理得ME＝DM＝1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得结果． 【解答】解：过O点作OM⊥AB， ∴ME＝DM＝1cm， 设MO＝h，CO＝DO＝x， ∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC， ∴∠MAO＝45°， ∴AO＝h ∵AO＝7﹣x， ∴， 在Rt△DMO中， h2＝x2﹣1， ∴2x2﹣2＝49﹣14x+x2，解得：x＝﹣17（舍去）或x＝3， 故选：A． 8．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（　　） A．AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可． 【解答】解：OC＝2CD．理由如下： ∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB， ∴AD＝DB， ∵OC＝2CD， ∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO， ∴四边形OACB为菱形． 故选：B． 9．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得． 【解答】解：如图， ①若CD＝8， 则CF＝CD＝4， ∵OC＝OA＝5， ∴OF＝3， ∵EF＝1， ∴OE＝2， 则AE＝， ∴AB＝2AE＝2； ②若AB＝8， 则AE＝AB＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OE＝3， ∵EF＝1， ∴OF＝4， 则CF＝3， ∴CD＝2CF＝6； 综上，另一弦长为6或2， 故选：C． 10．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　） A． cm B．9 cm C．cm D．cm 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD＝OC，设AD＝a，则OD＝a，由勾股定理求出OA＝OB＝OE＝a，求出EF＝FC＝4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【解答】解： 连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠ADO＝∠BCO＝90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO（HL）， ∴OD＝OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC， 设AD＝a cm，则OD＝OC＝DC＝AD＝a cm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA＝OB＝OE＝a cm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF＝FC＝4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：＝42+， 解得：a＝﹣4（舍去），a＝8， a＝4（cm）， 故选：C． 11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半径为 　5　． 【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BD的长，在Rt△BOD中根据勾股定理求解即可． 【解答】解：连接OB， ∵OC⊥AB于点D，AB＝8， ∴BD＝AB＝4， 在Rt△BOD中， ∵OB2＝OD2+BD2 ＝32+42 ＝25， ∴OB＝5， 故答案为：5． 12．如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　1.3　m． 【分析】设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【解答】解：设圆的半径为r， 由题意可知，，EF＝2.5m 在Rt△OFD中，，r+OF＝2.5m， ∴， 解得r＝1.3． 经检验：r＝1.3是方程的解， 故答案为：1.3． 13．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交弧AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝8cm，CD＝2cm，则轮子的半径为 　5　cm． 【分析】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【解答】解：设圆心为O，连接OB． Rt△OBC中，， 根据勾股定理得： OC2+BC2＝OB2，即： （OB﹣2）2+42＝OB2， 解得：OB＝5； 故轮子的半径为5cm， 故答案为：5． 14．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE的长为　2　． 【分析】连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE＝2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，由三角形中位线定理得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中由勾股定理可求出CE． 【解答】解：连接BE，如图所示： ∵OD⊥AB，AB＝8， ∴AC＝AB＝4， 设⊙O的半径OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5， ∴AE＝2r＝10； ∵OD＝5，CD＝2， ∴OC＝3， ∵OC是△ABE的中位线， ∴BE＝2OC＝6， 且BE⊥AB 在Rt△CBE中，CE＝＝＝2， 故答案为：2． 15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值时，点A的坐标为 　（﹣14，0）　． 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得． 【解答】解：连接PO， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值， 连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6、MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP'＝r＝4， ∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14， ∴AB＝2OP'＝2×14＝28； ∴A点坐标为（﹣14，0）， 故答案为：（﹣14，0）． 16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8． （1）求CE的长度； （2）求OC的长度． 【分析】（1）由垂径定理得到CE＝CD＝4； （2）由勾股定理求出OC＝＝5． 【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×8＝4； （2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4， ∴OC＝＝5． 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm． （1）求证：AC＝BD； （2）若大圆半径为7cm，求小圆的半径． 【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求证即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：作OE⊥AB，垂足为E， 由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∴AE﹣CE＝BE﹣DE， 即AC＝BD； （2）解：连接OA，OC， 在Rt△AOE中，AE＝AB＝5cm，OA＝7cm， ∴OE＝＝＝2（cm）， 在Rt△OCE中，CE＝CD＝3cm， ∴OC＝＝＝（cm）， 即小圆的半径为cm． 18．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若CE＝，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据垂径定理得出AF＝BF，BE＝CE，根据线段垂直平分线性质得出AC＝BC，AB＝BC，求出AC＝BC＝AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可； （2）根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB＝ACB＝30°，求出OC＝2OE，再根据勾股定理求出OE即可． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O， ∴CE＝BE， ∴AC＝AB， 同理AF＝BF，AC＝BC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CD⊥AB，AC＝BC， ∴∠DCB＝＝30°， ∴OC＝2OE， ∵CE＝，OC2＝OE2+CE2， 即（2OE）2＝OE2+（）2， 解得：OE＝1（负数舍去）， ∴OC＝2OE＝2， 即⊙O的半径为2． 19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造． 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？ 【分析】（1根据垂径定理，勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂径定理、勾股定理求出OG，进而计算出CG即可． 【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m， ∴OC⊥AB，AB＝6m， ∴AC＝BC＝AB＝3m， 设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m， 在 Rt△AOC中， OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2， 解得r＝5， 即该圆的半径为5m； （2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G， ∵OD⊥EF， ∴EG＝FG＝EF＝m， 连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m， ∴OG＝＝3m， ∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m）， 即水面上涨的高度为 1 米． 20．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成． （1）如图1，一辆货车宽5.8m，高4m，它能通过该隧道吗？ （2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为4m，高为2.7m的货车能驶入这个隧道吗？ （3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则一辆宽为2.8m，高为4m的货车 　不能　通过隧道（填“能”或“不能”）． 【分析】（1）设CD⊥AB于点D，根据勾股定理得出OD长，再进行比较即可； （2）设CD⊥AB于点D，连接OC，根据勾股定理得出CD长，再进行比较即可； （3）设CD⊥AB于点D，连接OC，根据勾股定理得出CD长，再进行比较即可； 【解答】解：（1）如图1所示， 设CD⊥AB于点D，CD＝4m， ∵OC＝5m， ∴， ∵， ∴这辆车能通过该隧道； （2）设CD⊥AB于点D，OD＝4m，连接OC，如图2所示， ∵OC＝5m， ∴， ∵3＞2.7， ∴这辆车能通过该隧道； （3）设CD⊥AB于点D，OD＝3.1m，连接OC，如图3所示， ∵OC＝5m， ∴， ∵， ∴这辆车不能通过该隧道， 故答案为：不能． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$