专题08 最短路径问题-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（山东专用）

专题08 最短路径问题 异侧两定一动模型 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 3．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．    4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 同侧两定一动模型 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 8．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为 ． 9．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 11．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    一动两定模型 12．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    13．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 14．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．    15．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 17．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点、分别是边、上的动点，若，，，则的最小值为 ． 18．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知五边形，． (1)在，上分别找一点M，N，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 两定两动模型 19．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 20．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 21．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，是内部的一条线段，在的两边上各取一点组成四边形，如何取点才能使该四边形周长最小？ 22．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 1．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·山东东营·期中）如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 5．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 8．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点．    (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在直线上画出点P，使得的距离最短； 9．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使的周长最小． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 最短路径问题 异侧两定一动模型 1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．    【答案】详见解析 【详解】解：如图，把点向下平移河的宽度得到，连接与相交于点，过点作交于，即为修桥地点，    【点睛】本题考查了最短路径问题、两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 同侧两定一动模型 5．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，在的正方形网格中，有A，B两点，在直线ɑ上求一点P，使最短，则点P的位置应选在（　　） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】A 【详解】如答图，点是点A关于直线a的对称点，连接，则与直线a的交点即为点P，此时最短． ∵与直线a交与点C， ∴点P的位置应选在C点． 同理，也可以找到点B关于直线a的对称点求得． 故选A． 6．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 7．（23-24八年级上·山东青岛·期中）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 【答案】见解析 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由作图可知：， 要使的从点到点的路程最短，根据两点之间线段最短，连接，交直线于点，点即为所求； 故加工厂应该建在处． 8．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在y轴上运动，当的值最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 两点关于轴对称， 如图，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小， 直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 故答案为：； 9．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 10．（23-24八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】10 【详解】解：连接，，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 一动两定模型 12．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路径．    【答案】见详解 【详解】解；如图所示：作点A的对称点，作点B的对称点，连接，交C街和D街于点， 则， 当点共线时，小明行走的路径最短， 故小明行走的最短路径是，    13．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【详解】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 14．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．    【答案】见解析 【详解】解：如图所示，作点P关于直线a的对称点，作点P关于直线b的对称点，连接，分别交直线a，b于点A，B，连接 由轴对称的性质知，，， ∴先沿路线到点A处吃草，再沿路线到点B处饮水，最后沿路线回到营地， 即四点共线时，按这样的路线放牧所走的总路程最短．    15．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 16．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，点、分别是边、上的动点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作线段关于的对称线段，连接交于点，过点作于点，交于点， 此时，有最小值，即， 根据对称可知，，，， ，，，， ， 即， ， ， ， 即， ， 即的最小值为， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图所示，已知五边形，． (1)在，上分别找一点M，N，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； 【详解】（1）解：分别找到关于，的对称点，，连接与，的交点即为最小周长点，如图所示， ； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，，， ∴． 两定两动模型 19．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 【答案】作图见解析 【详解】解：如图所示，点即为所求． 20．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，是内部的一条线段，在的两边上各取一点组成四边形，如何取点才能使该四边形周长最小？ 【答案】见解析 【详解】（1）作出点A关于直线的对称点C； （2）作出点B关于直线的对称点D； （3）连接，交于点E，交于点F， （4）连接， 则四边形即为所求． 【点睛】本题考查了将军饮马河原理的应用，熟练掌握原理并灵活运用是解题的关键． 22．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【答案】同学乙指出的最短路径正确，见解析 【详解】解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线上任意选一点，在直线上任意选一点，连接，，，． 由轴对称性质，易得，． ， ， 当共线时， ∵ 是最短路径． 1．（23-24八年级上·山东淄博·期中）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 2．（23-24八年级上·山东东营·期中）如图，等腰三角形的底边长为6，腰的垂直平分线分别交边、于点，，若为边的中点，为线段上一动点，若三角形的周长的最小值为，则等腰三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：连接，交于点M， 是等腰三角形，点D是边的中点， ，， 是线段的垂直平分线， 点C关于直线的对称点为点A，， 此时的周长最小， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，B'P． 则，，，． ∵ ， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 在中，， 当、、在同一直线上时，取最大值，即为5． ∴的最大值是5． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：作A关于直线对称点C， ∴， ∵， ∴C的坐标为； 连接并延长，交直线于P点， 此时，取得最大值， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 5．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，等边的边长为1，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：连接交于点， 直线，且与△关于直线对称， ，，共线， ， ， ， ， ，， ，关于直线对称， 当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长， 故选B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 6．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值． 【答案】 【详解】解：如图13-4-12所示，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． 又∵点D为边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 7．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解： （2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求． （3）证明：∵A点关于直线的对称点是， ∴， ∴（两点之间，线段最短） 8．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点．    (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在直线上画出点P，使得的距离最短； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；    9．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使的周长最小． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，点P即为所求． ∵点A和点关于直线l对称， ∴， ∴的周长， 此时的周长最小． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$