4.1 数列的概念（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念（第2课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 了解数列的递推公式,能通过递推公式求项，培养数学运算的核心素养 理解数列的前n项和公式，理解前n项和公式与通项公式的关系 根据数列的通项公式，研究数列的函数特征. 新课导入 [例3] 如果数列 的通项公式为 ，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解： 反思 结合上节课所学内容及本例题的解答，你觉得通项公式的作用有哪些？ 1.通项公式能够很清楚的表示数列中序号和项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项； 3.检验某数是否是该数列中的一项. 问题1 做为特殊的函数的数列，还有没有其它特别的表达方式？ 典例分析 [例4] 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 着色的三角形个数: 1 3 9 27 思考 换个角度你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？ 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算去寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. ×3 ×3 ×3 a1=1 a2=3a1 a3=3a2 a4=3a3 从第二项起，后一项是前一项的3倍 3an-1(n≥2) 1(n=1) an= 猜想 概念生成 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 作用: 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 问题2 通项公式与递推公式有什么联系呢？ 项与序号之间的关系: 通项公式 项与项之间的关系： 递推公式 区 别 联 系 两者都能确定一个数列. 典例分析 [例5] 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 新课讲授 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 问题3 什么是数列的前n项和公式？ 数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即 Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 新课讲授 问题4 数列的前n项和公式与数列的通项公式有什么关系呢？ = 当n≥2时， 当n = 1时， Sn 与an的关系式 典例解析 [例] 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+n，你能求出{an}的通项公式吗？ 解： 当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 当n = 1时， 当n≥2时， 综上所述，{an}的通项公式是an =2n . 典例解析 [变式] 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =2n2－n＋1，求{an}的通项公式. 解：（1）当 n ≥ 2 时， 故数列{an}的通项公式为 当n = 1时， 不符合上式 强调：(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2), 但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*). (2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值, 则数列的通项公式应采用分段表示。 学以致用 教材P8 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 学以致用 教材P8 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 试猜想它们的通项公式 学以致用 教材P8 学以致用 教材P8 能力提升 题型一 由数列的递推公式求数列的通项公式 例题 1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式. 【解析】由递推式可得， a2－a1 = 1， a3－a2 = 1， … an－an－1 = 1 把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1 ∴数列的通项为 an = n. 又 a1 = 1 能力提升 题型一 由数列的递推公式求数列的通项公式 例题 2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式. 【解析】由递推式可得 把以上n-1个式子相乘得 又 a1 = 1 ∴数列的通项为 . 方法总结 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 能力提升 1.累加法 一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，常用an= (an - an-1 )+ (an-1 - an-2 )+…+(a2 - a1 )+a1求通项公式. 2.累乘法 一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，常用 求通项公式. 能力提升 例题 题型二 由数列的前n项和求通项公式 3.已知数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> ，求数列 <m></m> 的通项公式； [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> . 由于 <m></m> 也满足上式， 因此数列 <m></m> 的通项公式是 <m></m> . 能力提升 例题 题型二 由数列的前n项和求通项公式 4. 已知数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和 <m></m> ，求数列 <m></m> 的通项公式． [解析] 当 <m></m> 时， <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> . 由于 <m></m> 不满足上式， 因此数列 <m></m> 的通项公式是 <m></m> 方法总结 由数列的前n项和求通项公式的三个步骤 能力提升 （1）求 <m></m> ; （2）当 <m></m> 时，求 <m></m> ; （3）最后验证，当 <m></m> 时，若 <m></m> 满足 <m></m> ，则直接得到通项公式;若不满足，则 <m></m> 能力提升 例题 题型三 数列单调性的简单应用 5.已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是( @18@ ) A. 摆动数列 B. 递减数列 C. 递增数列 D. 常数列 C [解析] 因为 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是递增数列，故选C. 能力提升 例题 题型三 数列单调性的简单应用 6. 已知数列 <m></m> 的通项公式为 <m></m> . （1）数列中有多少项是负数？ （2）</m>为何值时，</m>有最小值？并求出最小值. （2）设 <m></m> 相对应的函数为 <m></m> ， 则函数 <m></m> 图象的对称轴方程为 <m></m> . <m></m> ， <m></m> 或3时， <m></m> 有最小值，且 <m></m> ， 其最小值为 <m></m> . [解析] (1)由 <m></m> ，解得 <m></m> . <m> </m> ， <m></m> ， <m></m> .∴数列中有两项是负数. 课堂小结 这节课的收获有哪些？ 1.递推公式：（1）初始值；（2）递推关系式 （1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式 （2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式 （3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式 $$