第06讲 直线与圆的位置关系（1）（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第06讲 直线与圆的位置关系（1） 课程标准 学习目标 ①直线与圆的位置关系 ②切线的判定 ③切线的性质 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。 （2）d ＝ r直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫做直线与圆的 切点 。 （3）d＞r直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。 【即学即练1】 1．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：根据圆心到直线的距离6小于圆的半径7，则直线和圆相交， 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（　　） A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤4 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点， ∴AB＝5， 当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点， ∴CD×AB＝AC×BC， ∴CD＝r＝， 当直线与圆如图所示也可以有交点， ∴≤r≤4． 故选：C． 知识点02 切线的判定 1. 切线的判定定理： 经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。 2. 切线的判定的方法： （1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 （2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 【即学即练1】 3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【即学即练2】 4．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线． 【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线． 【解答】证明：连接OF，CF． ∵AC是直径， ∴∠AFC＝90°， ∴∠BFC＝90°， 又∵E是BC的中点， ∴EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵OC＝OF， ∴∠OFC＝∠FCO， ∵∠ACB＝∠FCO+∠ECF＝90°， ∴∠EFC+∠OFC＝90°，即∠EFO＝90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是⊙O的切线． 知识点03 切线的性质 1. 切线的性质： （1） 圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。 （2） 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。 （3） 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。 【即学即练1】 5．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（　　） A．32° B．64° C．29° D．58° 【分析】由切线的性质及圆周角定理可得出答案． 【解答】解：连接AD， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴CA⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵∠CED＝∠CAD＝58°， ∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°， 故选：D． 【即学即练2】 6．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，CD切⊙O于点D，过点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．4﹣6 【分析】连接OD，利用平行线的性质和圆周角定理得到∠DOC＝30°，利用切线的性质定理得到OD⊥BC，在Rt△ODC中，利用直角三角形的边角关系定理求得OC，则BC＝OC﹣OB． 【解答】解：连接OD，如图， ∵DE∥AB， ∴∠E＝∠ABE＝15°， ∴∠DOC＝2∠E＝30°． ∵CD切⊙O于点D， ∴OD⊥CD． ∵AB＝12，AB是⊙O的直径， ∴OD＝OB＝AB＝6， 设BC为x，则OC=6+x，DC= 在Rt△ODC中， 即： 解得 ∴BC＝4﹣6． 故选：D． 题型01 确定直线与圆的位置关系 【典例1】⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 【分析】因为圆心到直线的距离大于半径，所以直线l与圆相离． 【解答】解：（1）∵4＞2， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O相离， 故选：C． 【变式1】一个圆的半径是9cm．如果圆心与直线上一点之间的距离是9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相交或相切 D．相离 【分析】根据题意画出相应的图形，根据图形结合直线与圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：如图， 直线l1上的点A到圆心O的距离为9cm，等于半径9cm，此时l1与⊙O相交， 直线l2上的点B到圆心O的距离为9cm，等于半径9cm，此时l2与⊙O相切， 因此，一个圆的半径是9cm．如果圆心与直线上一点之间的距离是9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系可能相交，也可能相切， 故选：C． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断． 【解答】解：作CD⊥AB于点D． ∵∠B＝30°，BC＝4cm， ∴CD＝BC＝2cm， 即CD等于圆的半径． ∵CD⊥AB， ∴AB与⊙C相切． 故答案为：B． 【变式3】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【分析】设⊙O的半径为r，解一元一次方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝4，x2＝﹣1，则r＝4，所以d＞r，可知直线l与⊙O相离，于是得到问题的答案． 【解答】解：设⊙O的半径为r， 解一元一次方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝4，x2＝﹣1， ∵⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根， ∴r＝4， ∵圆心O到直线l的距离d＝6， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O相离， 故选：B． 【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【分析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．求出CH的值即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H． ∵S平行四边形ABCD＝BC•CH， ∴CH＝＝2， ∵2＜5， ∴直线AD与⊙C相交， 故选：A． 题型02 根据直线与圆的位置关系求值 【典例1】设⊙O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与⊙O相切时，m的值为　9　． 【分析】先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据Δ＝0即可求出m的值． 【解答】解：∵d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且直线Z与⊙O相切， ∴d＝R， ∴方程有两个相等的实根， ∴Δ＝36﹣4m＝0， 解得m＝9． 故答案为：9． 【变式1】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是 　r＝4.8或6＜r≤8　． 【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上． 若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：根据勾股定理求得直角三角形的斜边AB＝＝10， 当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于； 当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8． 故半径r的取值范围是r＝4.8或6＜r≤8． 故答案为：r＝4.8或6＜r≤8． 【变式2】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是　r＞2且r≠　． 【分析】作PA⊥x轴，连接OP，根据勾股定理计算出OP＝2，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r的取值范围为r＞2且r≠． 【解答】解：作PA⊥x轴，连接OP，如图， ∵点P的坐标为（1，2）， ∴OA＝1，PA＝2， ∴OP＝， ∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞2且r≠． 故答案为：r＞2且r≠． 【变式3】已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 　0＜m＜　． 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y＝kx得， ﹣5＝12k， ∴k＝﹣； 由y＝﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝﹣x+m（m＞0）， 设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示） 当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝m， ∴A（m，0），B（0，m）， 即OA＝m，OB＝m； 在Rt△OAB中， AB＝， 过点O作OD⊥AB于D， ∵S△ABO＝OD•AB＝OA•OB， ∴OD•m＝×m×m， ∵m＞0，解得OD＝m 由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜． 故答案为：0＜m＜． 题型03 利用切线的性质进行计算 【典例1】如图，点A、C是⊙O上两点，连接AC并延长交切线BD于点D，连接OB、OC、BC、AB，若∠CBD＝40°，则∠BOC＝（　　） A．40° B．55° C．70° D．80° 【分析】由切线的性质得∠OBD＝90°，求出∠OBC＝50°，再由等边对等角得出∠OBC＝∠OCB＝50°，最后再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【解答】解：∵BD切⊙O于D， ∴∠OBD＝90°， ∵∠CBD＝40°， ∴∠OBC＝∠OBD﹣∠CBD＝90°﹣40°＝50°， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝80°， 故选：D． 【变式1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．80° B．40° C．50° D．70° 【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，得出∠AOB＝100°，再利用圆周角定理可得答案． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝80°， ∴∠AOB＝100°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 故选：C． 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【分析】由切线的性质得到∠OAP＝90°，由等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠B＝20°，由三角形外角的性质求出∠AOP的度数，由直角三角形的性质即可求出∠P的度数． 【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A， ∴半径OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝20°， ∴∠AOP＝∠B+∠OCB＝20°+20°＝40°， ∵∠P+∠AOP＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠AOP＝50°． 故选：C． 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】连接AC，根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，根据圆周角定理可得∠AOC＝80°，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADC＝40°， ∴∠AOC＝80°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣80°）÷2＝50°， ∵AP是⊙O的切线， ∴∠BAP＝90°， ∴∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠P＝∠ACB﹣∠CAP＝90°﹣40°＝50°， 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线DC交AB的延长线于点C．若BC＝4，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【分析】连接OD，由切线的性质得出∠ODC＝90°，设OD＝OB＝x，由勾股定理得出x2+82＝（x+4）2，则可得出答案． 【解答】解：连接OD， ∵DC是⊙O的切线， ∴OD⊥DC， ∴∠ODC＝90°， ∴OD2+DC2＝OC2， 设OD＝OB＝x， ∵BC＝4，CD＝8， ∴x2+82＝（x+4）2， ∴x＝6， ∴OD＝6， 即⊙O的半径为6． 故选：B． 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 【分析】根据切线的性质得到OA⊥AC，根据三角形的内角和定理得到∠AOC＝90°﹣30°＝60°，求得∠OAD＝60°，连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝60°， 连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∠ABD=30° ∵OA＝2， ∴AB＝4， ∴AD=2 ∴BD＝＝2， 故选：B． 【变式2】如图，DE与⊙O相切于点D，交直径AB的延长线于点E，C为圆上一点，∠ACD＝60°．若DE的长度为3，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接OD、BD，如图，先根据切线的性质得到∠ODE＝90°，再根据圆周角定理得到∠DBA＝60°，则可判断△ODB为等边三角形，所以∠DOB＝60°，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OD、OE，然后计算OE﹣OB即可． 【解答】解：连接OD、BD，如图， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°， ∵∠DBA＝∠ACD＝60°，OD＝OB， ∴△ODB为等边三角形， ∴∠DOB＝60°， 在Rt△ODE中，∵∠DOE＝60°， ∴OD＝DE＝×3＝， ∴OE＝2OD＝2， ∴BE＝OE﹣OB＝2﹣＝． 故选：B． 【变式3】如图，AB是⊙O的切线，切点为点H，连接OA、OB分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且∠DCE＝52.5°，若⊙O的半径长为2，且∠A＝30°，则AB的长为（　　） A．6 B． C． D． 【分析】连接OH、DE，根据切线的性质，得到∠AHO＝∠BHO＝90°，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到，∠AOH＝60°，利用勾股定理求出，然后利用圆周角定理得到∠DOE＝105°，从而得到∠BOH＝45°，推出BH＝OH＝2，即可求出AB的长． 【解答】解：连接OH、DE， ∵AB是⊙O的切线，切点为点H， ∴OH⊥AB， ∴∠AHO＝∠BHO＝90°， ∵∠A＝30°， ∴，∠AOH＝60°， ∵OH＝2， ∴OA＝4， 在Rt△AHO中，， ∵∠DCE＝52.5°， ∴∠DOE＝2∠DCE＝105°， ∴∠BOH＝∠DOE﹣∠AOH＝105°﹣60°＝45°， ∵∠BHO＝90°， ∴BH＝OH＝2， ∴， 故选B． 题型04 切线的判定与性质 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODE＝90°， ∵AD//OE， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝∠DAO， ∴∠DOE＝∠EOB， ∵OD＝OB，OE＝OE， ∴△DOE≌△BOE（SAS）， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴直线BE与⊙O相切； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2， ∴r2+42＝（r+2）2， ∴r＝3， ∴AB＝2r＝6， ∴BC＝AC+AB＝2+6＝8， 由（1）得：△DOE≌△BOE， ∴DE＝BE， 在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2， ∴82+BE2＝（4+DE）2， ∴64+DE2＝（4+DE）2， ∴DE＝6， ∴DE的长为6． 【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 【分析】（1）连接OE，证明∠OEA＝90°即可； （2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长． 【解答】（1）证明：连接OE． ∵OE＝OB， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∴∠OEA＝∠C， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OEA＝90° ∴AC是⊙O的切线； （2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H， 由题意可知四边形OECH为矩形， ∴OH＝CE， ∵BF＝6， ∴BH＝3， 在Rt△BHO中，OB＝5， ∴OH＝＝4， ∴CE＝4． 【变式2】如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长． 【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°得证； （2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝4，求得DE＝BE＝4，得到DF＝12，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中， ∵BE＝EC， ∴DE＝EC＝BE， ∴∠1＝∠3， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝90°， 即∠ODF＝90°， ∴半径OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：∵OB＝BF， ∴OF＝2OD， ∴∠F＝30°， ∵∠FBE＝90°， ∴BE＝EF＝4， ∴DE＝BE＝4， ∴DF＝12， ∵∠F＝30°，∠ODF＝90°， ∴∠FOD＝60°， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°， ∴∠A＝∠F， ∴AD＝DF＝12． 【变式3】如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC． （1）求证：EC是圆O的切线； （2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF， ①求证：AC＝CF； ②若AD＝1，求线段FG的长． 【分析】（1）连接OC，证得OC⊥CE，即可证得结论； （2）①通过证得∠AOC＝45°＝∠COF＝45°，得出＝，即可证得AC＝CF； ②作CM⊥OE于M，首先证得CF＝CG，得出CM垂直平分FG，然后通过三角形平分线的性质证得CM＝CD，即可证得Rt△ACD≌Rt△FCM，从而证得FM＝AD＝1，即可证得FG＝2FM＝2． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∵EO⊥AB， ∴∠OGB+∠B＝90°， ∵EG＝EC， ∴∠ECG＝∠EGC， ∵∠EGC＝∠OGB， ∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EC是圆O的切线； （2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B， ∴∠AOC＝45°， ∵EO⊥AB， ∴∠COF＝45°， ∴＝， ∴AC＝CF； ②解：作CM⊥OE于M， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90° ∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°， ∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°， ∴∠FGC＝67.5°， ∵∠COF＝45°，OC＝OF， ∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°， ∴∠GFC＝∠FGC， ∴CF＝CG， ∴FM＝GM， ∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF， ∴CD＝CM， 在Rt△ACD和Rt△FCM中 ∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL）， ∴FM＝AD＝1， ∴FG＝2FM＝2． 1．如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：∵圆的直径为8cm， ∴圆的半径为4cm， ∵圆心到直线的距离8cm， ∴圆的半径＜圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故选：A． 2．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3， 点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3， 故该圆与x轴相离，与y轴相切， 故选：A． 4．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”；淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是⊙O的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．他们都正确 D．他们都错误 【分析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，AC∥OD，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO＝90°，可以证明DE是⊙O的切线． 【解答】解：当AB＝AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD＝BD， ∵AO＝BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AC∥OD， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 当AC∥OD时， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD． ∴DE是⊙O的切线． 故选：C． 5．如图，⊙O与△OAB的边AB相切干点B，将△OAB绕点B顺时针方向旋转得到△O′A′B，使得点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A'＝25°，则∠OCB的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】连接OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB＝∠OBO′＝60°，由⊙O与△OAB的边AB相切，可求∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝30°，利用三角形内角和公式即可求解． 【解答】解：连接OO′， ∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'， ∴BO′＝BO＝OO′， ∴△BOO′为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴∠OBA＝∠O′BA′＝90°， ∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°， ∵∠A′＝25°， ∴∠A′O′B＝90°﹣∠A′＝90°﹣25°＝65°， ∴∠AOB＝∠A′O′B＝65°， ∴∠OCB＝180°﹣∠COB﹣∠OBC＝180°﹣65°﹣30°＝85°． 故选：C． 6．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2 【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间． 【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图． 在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b）， 当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0）， 则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形． 连接圆心O和切点C．则OC＝2． 则OB＝OC＝2．即b＝2； 同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，b＝﹣2． 则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1） 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可． 【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧， ∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0）， ∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切， ∴当△BO′D≌△FBE时， ∴EF＝BD＝2， ∴F点的坐标为：（5，1）， ∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）和（1，3）． 故选：B． 8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 【分析】根据题意CD与⊙P相切分⊙P在直线CD左侧时⊙P在直线CD右侧时，求出⊙P运动的路程，即可根据速度求得时间． 【解答】解：①由题意可知CD与⊙P1相切于点E， ∴P1E⊥CD， ∵⊙P半径为2cm， ∴P1E＝2cm， ∵∠AOD＝30°，P1E⊥CD， ∴P1O＝4cm， ∴PP1＝PO﹣P1O＝10﹣4＝6（cm）， ∴t＝3秒． ②当圆心P在直线CD的右侧时，PP2＝PO+P2O＝10+4＝14（cm）， 则需要运动的时间为7秒． 综上所述，⊙P与直线CD相切时经过的时间为3或7秒钟， 故选：C． 9．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H， ∵PQ是⊙C的切线， ∴CQ⊥PQ， ∴PQ＝＝， 当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴CH＝BC•sinB＝2， ∴PQ的最小值为：＝3， 故选：D． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】由OA＝OC，点D是AC中点，根据等腰三角形的“三线合一”可证明OQ垂直平分AC，可判断②正确；因为∠AOD＝∠COD＝∠AOC，∠B＝AOC，所以∠B＝∠AOD，可判断①正确；由∠PCA＝∠PAB，得∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B＝∠AOD，则∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°，再证明∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC，则∠QCO＝∠QAO＝90°，可证明直线PA和CQ都是⊙O的切线，可判断③正确；假设CQ∥AO正确，∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°，可推导出∠AOC＝90°，则∠B＝∠AOC＝45°，与已知条件不符，所以CQ∥AO不正确，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D是AC中点， ∴AD＝CD， ∵OA＝OC， ∴OQ⊥AC， ∴OQ垂直平分AC， 故②正确； ∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC， ∵∠B＝AOC， ∴∠B＝∠AOD， 故①正确； ∵∠PCA＝∠PAB， ∴∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAC＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝∠B， ∵∠B＝∠AOD， ∴∠PAC＝∠AOD， ∵∠ADO＝90°， ∴∠PAO＝∠PAC+∠OAC＝∠AOD+∠OAC＝90°， ∵OC＝OA，QC＝QA， ∴∠OCA＝∠OAC，∠QCA＝∠QAC， ∴∠QCO＝∠OCA+∠QCA＝∠OAC+∠QAC＝∠QAO＝90°， ∵OA、OC都是⊙O的半径，PA⊥OA，CQ⊥OC， ∴直线PA和CQ都是⊙O的切线， 故③正确； 假设CQ∥AO正确，则∠AQC＝180°﹣∠QAO＝90°， ∴∠AQC＝∠QAO＝∠QCO＝90°， ∴∠AOC＝360﹣∠AQC﹣∠QAO﹣∠QCO＝90°， ∴∠B＝∠AOC＝45°，显然与已知条件不符， ∴CQ∥AO不正确， 故④错误， 故选：C． 11．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　相交　． 【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【解答】解：由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点， 所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 故答案为：相交． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，则∠E的度数为 　40°　． 【分析】连接OC，根据同弧所对的圆周角相等推出∠CAB＝∠CDB＝25°，得出∠COE的度数，再根据切线的性质结合直角三角形量锐角互余即可推出结果． 【解答】解：如图，连接OC， ∵， ∴∠CAB＝∠CDB＝25°， ∴OC＝OA， ∴∠OAC＝OCA＝25°， ∴∠COE＝50°， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠COE＝40°， 故答案为：40°． 13．如图，⊙O内有一Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝53°，点B在圆上，边AC经过圆心O．△DEF是△ABC平移后的图象，点A，B的对应点D，E在⊙O上，点C的对应点F在⊙O外，若DF与⊙O相切，连接OE，则∠COE＝　16　°． 【分析】如图：连接OD，即∠ODF＝90°，由平移的性质可得∠F＝∠C＝90°，∠DEF＝∠B＝90°，AC∥DF，再根据平行的判定与性质可得∠ODE＝∠DEF＝53°、∠COD＝∠ODF＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠DOE＝180°﹣2∠DEF＝74°，最后根据角的和差即可解答． 【解答】解：如图：连接OD，即∠ODF＝90°， ∵△DEF是△ABC平移后的图形， ∴∠F＝∠C＝90°，∠DEF＝∠B＝90°，AC∥DF， ∴∠ODE＝∠DEF＝53°，∠COD＝∠ODF＝90°， ∵OE＝OD， ∴∠DEO＝∠DEF＝53°， ∴∠DOE＝180°﹣2∠DEF＝74°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝16°． 故答案为：16． 14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝120°，P是AB边上的一动点，以P为圆心，线段PB的长为半径画圆，当⊙P与△ADC边所在的直线相切时，⊙P的半径为 　或或　． 【分析】分三种情况讨论：当⊙P与直线AC相切时；当⊙P与直线AD相切时，当⊙P与直线CD相切时，分别解答即可． 【解答】解：∵菱形ABCD，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，， 如图1，当⊙P与直线AC相切时，切点为E，连接PE，则∠PEA＝90°， 设PE＝PB＝x，则AP＝4﹣x， ∵∠PAE＝30°， ∴AP＝2PE， ∴4﹣x＝2x， 解得； 如图2，当⊙P与直线AD相切时，切点为F，连接PF，则∠PFA＝90°， 设PF＝PB＝x，则AP＝4﹣x， ∵∠PAF＝60°， ∴， ∴， 解得； 如图3，当⊙P与直线CD相切时，切点为G，连接PG，作DH⊥AB于点H，则∠PGD＝90°，四边形PGDH是矩形， 设PG＝PB＝x，则DH＝x， ∵∠DAH＝60°， ∴， ∴， 解得； 综上，⊙P的半径为或或． 故答案为：或或． 15．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，以P为圆心，2为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 　1≤n＜10　． 【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围． 【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1， ∵P（m，n）到y轴的距离小于2， ∴﹣2＜m＜2， 而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， 当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10， 当m＝﹣1时，n＝1， ∴n的取值范围是1≤n＜10， 故答案为：1≤n＜10． 16．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（OA＞OB），C（a，﹣a）（a为常数），以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C，使点A、B在⊙C上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若OA＝8，OB＝6，直线y＝x+b与⊙C有且只有一个公共点，则b＝　4或24　． 【分析】（1）由点C的坐标知，改点在直线y＝﹣x上，由圆的定义知，点C在AB的中垂线上，故上述两条直线的交点，即为点C为位置，即可求解； （2）求出点T（﹣，），由CT＝AC＝CB，即可求解． 【解答】解：（1）由点C的坐标知，该点在直线y＝﹣x上，由圆的定义知，点C在AB的中垂线上， 故上述两条直线的交点，即为点C为位置，由此画出⊙C如下图所示． （2）如下图所示，设直线y＝x+b与⊙C有且只有一个公共点为点T， 则CT和直线y＝x+b垂直，且CT＝AC＝CB， ∵点C在直线y＝﹣x， ∴点T是直线y＝﹣x和直线y＝x+b的交点， 则点（﹣，）， 由CT＝AC＝CB得：， 解得b＝4或24． 故答案为：4或24． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 【分析】（Ⅰ）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，求出∠AOB＝2∠C＝142°，进而得∠AOE，则可求出答案； （Ⅱ）连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E＝30°，根据含30°解的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接OA． ∵AE切⊙O于点A， ∴OA⊥AE， ∴∠OAE＝90°， ∵∠C＝71°， ∴∠AOB＝2∠C＝2×71°＝142°， 又∵∠AOB+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝38°， ∵∠AOE+∠E＝90°， ∴∠E＝90°﹣38°＝52°． （Ⅱ）连接OA， 设∠E＝x． ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E＝x， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝x， ∴∠AOE＝∠ABO+∠BAO＝2x． ∵AE是⊙O的切线， ∴OA⊥AE，即∠OAE＝90°， 在△OAE中，∠AOE+∠E＝90°， 即2x+x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠E＝30°． 在Rt△OAE中，OA＝OE， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝DE， ∵DE＝2， ∴OA＝2，即⊙O的半径为2． 18．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 【分析】（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可； （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，42+r2＝（r+2）2，可得r＝3，再根据勾股定理可解决问题． 【解答】（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 19．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案； （2）首先连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接OD， ∵OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠CAD＝∠ADO＝25°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAD＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°； （2）连接OF，OD， 由（1）得：OD∥AC， ∴∠AFO＝∠FOD， ∵OA＝OF，点F为的中点， ∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD， ∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵OA＝OD＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴AB＝OA+OB＝6． 20．如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长． 【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG＝CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC＝∠OEC＝60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点； （2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论； （3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM＝2CF，MC＝MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM＝2MG＝2CM＝4CF，然后利用BC＝6CF进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点． ∴AG＝CG， 又∵∠A＝60°， ∴△ACG为等边三角形， ∴∠C＝∠AGC＝60°， 又∵CO＝OE， ∴△OCE是等边三角形， ∴∠AGC＝∠OEC＝60°． ∴OE∥AB， ∵O为AC中点， ∴E为CG的中点； （2）证明：由（1）得OE∥AG， ∵ED⊥AG， ∴OE⊥ED， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：作GM∥FD交BC于M，如图， ∵E为CG的中点， ∴EF为△CMG的中位线， ∴EF＝MG， ∵CF、FE是⊙O的切线． ∴CF＝EF， ∴MC＝MG， ∵△MGB为30°角的直角三角形， ∴BM＝2MG＝2CM＝4CF， ∴BC＝6CF＝6×2＝12． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直线与圆的位置关系（1） 课程标准 学习目标 ①直线与圆的位置关系 ②切线的判定 ③切线的性质 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系。 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用。 知识点01 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图 （1）d＜r直线与圆 ，有 个交点，直线叫圆的 。 （2）d r直线与圆相切，与圆只有 个交点，此时直线叫做圆的 ，交点叫做直线与圆的 。 （3）d＞r直线与圆 ，与圆 公共点。 【即学即练1】 1．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【即学即练2】 2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（　　） A．0≤r≤ B．≤r≤3 C．≤r≤4 D．3≤r≤4 知识点02 切线的判定 1. 切线的判定定理： 经过半径的 且与这条半径 的直线叫做圆的切线。 2. 切线的判定的方法： （1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。 证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。 ②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。 ③利用三角形的全等转换证明垂直。 ④利用平行线转换证明垂直。 （2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。 【即学即练1】 3．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M． 求证：CD与⊙O相切． 【即学即练2】 4．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点． 求证：直线EF是半圆O的切线． 知识点03 切线的性质 1. 切线的性质： （1） 圆的切线 经过 的半径。 （2） 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 。 （3） 经过切点且垂直于切线的直线必经过 。 【即学即练1】 5．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（　　） A．32° B．64° C．29° D．58° 【即学即练2】 6．如图，AB是⊙O的直径，延长AB至C，CD切⊙O于点D，过点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接BE．若AB＝12，∠ABE＝15°，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．4﹣6 题型01 确定直线与圆的位置关系 【典例1】⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，则直线l和⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定 【变式1】一个圆的半径是9cm．如果圆心与直线上一点之间的距离是9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相交或相切 D．相离 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相离 【变式3】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 题型02 根据直线与圆的位置关系求值 【典例1】设⊙O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与⊙O相切时，m的值为　 　． 【变式1】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是 　 　． 【变式2】以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是　 　． 【变式3】已知直线y＝kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 　 　． 题型03 利用切线的性质进行计算 【典例1】如图，点A、C是⊙O上两点，连接AC并延长交切线BD于点D，连接OB、OC、BC、AB，若∠CBD＝40°，则∠BOC＝（　　） A．40° B．55° C．70° D．80° 【变式1】如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．80° B．40° C．50° D．70° 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【变式3】如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【典例1】如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线DC交AB的延长线于点C．若BC＝4，CD＝8，则⊙O的半径为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，OA＝2，则BD的长为（　　） A．2 B．2 C．3 D．3 【变式2】如图，DE与⊙O相切于点D，交直径AB的延长线于点E，C为圆上一点，∠ACD＝60°．若DE的长度为3，则BE的长度为（　　） A． B． C． D．2 【变式3】如图，AB是⊙O的切线，切点为点H，连接OA、OB分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且∠DCE＝52.5°，若⊙O的半径长为2，且∠A＝30°，则AB的长为（　　） A．6 B． C． D． 题型04 切线的判定与性质 【典例1】如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD，OE交CD于点E，连接BE． （1）求证：直线BE与⊙O相切； （2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长． 【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 【变式2】如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长． 【变式3】如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC． （1）求证：EC是圆O的切线； （2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF， ①求证：AC＝CF； ②若AD＝1，求线段FG的长． 1．如果一个圆的直径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 2．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 3．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 4．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件嘉嘉说：“这个条件可以是AB＝AC”；淇淇说：“满足条件AC∥OD也可以判定DE是⊙O的切线”；对于他们的说法，下列判断正确的是（　　） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．他们都正确 D．他们都错误 5．如图，⊙O与△OAB的边AB相切干点B，将△OAB绕点B顺时针方向旋转得到△O′A′B，使得点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A'＝25°，则∠OCB的度数为（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 6．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　） A．0≤b＜2 B．﹣2 C．﹣22 D．﹣2＜b＜2 7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　） A．点（0，3） B．点（1，3） C．点（6，0） D．点（6，1） 8．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧的距离10cm处．如果⊙P以2cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．3 B．7 C．3或7 D．6或14 9．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且∠PCA＝∠PAB，点D是AC中点，OD的延长线交AP于点Q，则下列结论：①∠B＝∠AOD；②OQ垂直平分AC；③直线PA和CQ都是⊙O的切线；④CQ∥AO．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 11．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 　 　． 第11题 第12题 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点E，则∠E的度数为 　 　． 13．如图，⊙O内有一Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝53°，点B在圆上，边AC经过圆心O．△DEF是△ABC平移后的图象，点A，B的对应点D，E在⊙O上，点C的对应点F在⊙O外，若DF与⊙O相切，连接OE，则∠COE＝　 　°． 第13题 第14题 14．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝120°，P是AB边上的一动点，以P为圆心，线段PB的长为半径画圆，当⊙P与△ADC边所在的直线相切时，⊙P的半径为 　 　． 15．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，以P为圆心，2为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 　 　． 16．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（OA＞OB），C（a，﹣a）（a为常数），以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C，使点A、B在⊙C上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若OA＝8，OB＝6，直线y＝x+b与⊙C有且只有一个公共点，则b＝ 　． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 18．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 19．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 20．如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$