第13章 全等三角形（12类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第13章 全等三角形（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 2、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 3、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 4、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 5、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 知识点02 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点03 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 知识点04 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点05 等腰三角形的概念、性质与判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点06 等边三角形的概念、性质与判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点07 五种基本作图 知识点08 逆命题与逆定理 1、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 2、互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 知识点09 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点10 角平分线 1、角的平分线的作图 作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 （2）分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 （3）画射线OC，射线OC即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 3、角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 ( 03 题型归纳 ) 题型一　命题 例题：（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列命题中是真命题的是( ) A．对顶角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．相等的角互补 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或者相交 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是  （   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：____________________________________________． 题型二　定理与证明 例题：（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 3．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 题型三　全等三角形的判定 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角、一条直角边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条斜边、一条直角边对应相等 2．（2023七年级下·上海·专题练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 题型四　全等三角形的性质 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； (3)已知，若△ABC是锐角三角形，请直接写出的取值范围． 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在△ABC中，点，分别在边和上，，且△ABC的周长比的周长大6，则的长为______． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，，三点在同一直线上，且． (1)若，，求的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当满足____________时，． 题型五　全等三角形的判定与性质的综合 例题：（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，△ABC中，，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在五边形中，，，，． · (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的，并证明三点在一条直线上； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【猜想】如图①，线段的端点在直线上，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，点、点在的同侧、分别过点作直线的垂线，垂足分别为点、．猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）【发现】如图②，若点、点在的两侧，其它条件不变，请直接写出线段、、之间的数量关系为：_________；（不用证明） （3）【应用】如图③，点在直线上，且，，，点与点在的两侧、分别过点作直线的垂线，垂足分别为点、、．若，，，则_________． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 题型六　等腰三角形的性质 例题：（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则_________．      巩固训练 1．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点D在上，，，则_______． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 题型七　等腰三角形的判定 例题：（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知△ABC中，，于，平分交于，交于． 求证：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知△ABC．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形． 证明：平分（已知） （①__________） ， ②__________（③__________） ④__________⑤__________（⑥__________） （⑦__________） 是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在△ABC中，，点在边上，点在边上，且，将△ADE沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：△BDF是等边三角形． 题型八　等腰三角形的判定与性质的综合 例题：（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，和都是直角三角形，直角顶点分别是和，点依次排列在直线上，． (1)证明：； (2)若于点，证明：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，，和是△ABC内的两点，平分，，若，，则的长为_______． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是________． 3．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 题型九　尺规作图 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，为△ABC的边上的中线，过点作的垂线，垂足为点． (1)仅用圆规在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的面积为的面积为20，求的面积． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知：线段和；求作：△ABC，使得，，．（要求：尺规作图，不写做法，但保留作图痕迹） 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 题型十　互逆命题与互逆定理 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 巩固训练 1．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 3．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是________． 题型十一　线段垂直平分线 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则△BCP周长的最小值为_______． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 题型十二　角平分线 例题：（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在△ABC内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．△ABC三条高所在直线的交点处 B．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三个角的角平分线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有_______．（填序号） 3．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，△ABC中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为________． ( 22 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 全等三角形（题型清单） ( 02 知识速记01 思维导图 ) 知识点01 命题、定理与证明 1、命题 表示判断的语句叫做命题。命题的两层含义:(1)命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句;(2)命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断。 2、命题的组成 命题是由条件和结论两部分组成。条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题通常可写成“如果..那么...”的形式。 3、命题的分类 命题分为真命题和假命题两类: 真命题:有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题，称为真命题。假命题:有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立或不一定成立，像这样的命题，称为假命题。 4、定理 基本事实:人们在长期实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假依据的真命题。数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 5、证明及证明的一般步骤 证明:根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明 知识点02 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.判定全等三角形（边角边） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点03 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 知识点04 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点05 等腰三角形的概念、性质与判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 知识点06 等边三角形的概念、性质与判定 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 3.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点07 五种基本作图 知识点08 逆命题与逆定理 1、互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。 2、互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 知识点09 线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点10 角平分线 1、角的平分线的作图 作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 （2）分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 （3）画射线OC，射线OC即为所求。 2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 3、角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 ( 03 题型归纳 ) 题型一　命题 例题：（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【答案】D 【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键． 【详解】解：A、如果，那么，是命题，不符合题意； B、对顶角相等，是命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列命题中是真命题的是( ) A．对顶角相等，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角相等 C．相等的角互补 D．同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或者相交 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据平行线的性质、相交线的定义、对顶角性质、补角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，两直线不平行，原命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； C、相等的角不一定互补，原命题是假命题，不符合题意； D、同一平面内，两条直线的位置关系只有平行或者相交，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，根据题意可得的值要满足，但不满足，据此可得答案． 【详解】解：要说明命题“若，则”是假命题，那么的值要满足，但不满足， ∴四个选项中只有C选项符合题意，故选：C． 3．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：___________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 题型二　定理与证明 例题：（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解；(2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 3．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点拨】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 题型三　全等三角形的判定 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（    ） A．两个锐角对应相等 B．一个锐角、一条直角边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条斜边、一条直角边对应相等 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据判定方法依次进行判断即可． 【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意； B、一个锐角和一条直角边对应相等，利用或可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意； C、两条直角边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意； D、一条直角边和斜边对应相等，利用可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2023七年级下·上海·专题练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键．由全等三角形的判定方法得出：即可． 【详解】证明：在和中 ， ． 题型四　全等三角形的性质 例题：（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； (3)已知，若△ABC是锐角三角形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可； （3）设，利用三角形的内角和定理可求出，然后利用三角形外角的性质以及锐角三角形的特点列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ； （3）解：设， ∵， ∴，， ∵△ABC是锐角三角形， ∴，， ∴， 解得，即． 巩固训练 1．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在△ABC中，点，分别在边和上，，且△ABC的周长比的周长大6，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据得到，，结合△ABC的周长比的周长大6，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形的周长，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵△ABC的周长比的周长大6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，，三点在同一直线上，且． (1)若，，求的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当满足____________时，． 【答案】(1)；(2)，见解析；(3) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定． （1）由全等三角形的性质求得，，据此求解即可； （2）由得出，，再进行相应等量代换； （3）当时，．由，得出，进而，从而得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴，， ∴； （3）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五　全等三角形的判定与性质的综合 例题：（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，△ABC中，，于点D． (1)求证：； (2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由直角三角形的性质可得，，从而得出，再由“”可证，可得，再证明即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在五边形中，，，，． · (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的，并证明三点在一条直线上； (2)求证：． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析；(2)见解析 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，利用旋转构造出全等三角形时解本题的关键． （1）先根据题意画出图形，再由旋转的性质可得，由，可得； （2）由旋转的性质可得，，再由可得，即：，最后通过“”证明即可． 【详解】（1）如图所示， 将绕点顺时针旋转，,， ， ， ， 三点在一条直线上； （2）将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， ， ， 即：， ， ； 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）（1）【猜想】如图①，线段的端点在直线上，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，点、点在的同侧、分别过点作直线的垂线，垂足分别为点、．猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）【发现】如图②，若点、点在的两侧，其它条件不变，请直接写出线段、、之间的数量关系为：_________；（不用证明） （3）【应用】如图③，点在直线上，且，，，点与点在的两侧、分别过点作直线的垂线，垂足分别为点、、．若，，，则_________． 【答案】（1），证明见详解（2）（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握三角形判定定理． （1）由题意可知，，进而根据“”证明，由全等三角形的性质可得，，即可证明猜想结论； （2）由题意可知，，进而根据“”证明，由全等三角形的性质可得，，即可证明结论； （3）证明，，由全等三角形的性质可得，，，，进而可得，然后由求解即可． 【详解】（1）线段、、之间的数量关系为， 证明如下：由旋转可知，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）线段、、之间的数量关系为， 证明如下： 由旋转可知，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 【详解】（1）解：由题意得：∵，，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则，，， ②若， 则，，． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 题型六　等腰三角形的性质 例题：（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，△ABC为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则_________．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵△ABC是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    巩固训练 1．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，点D在上，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由等边对等角得出，结合三角形外角的定义及性质得出，再由三角形内角和定理计算得出，从而推出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 题型七　等腰三角形的判定 例题：（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，已知△ABC中，，于，平分交于，交于． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质、角平分线定义等知识，先由角的互余关系得，再由角平分线定义得，则，然后由对顶角相等得，则，即可得出结论，熟练掌握等腰三角形的判定和角的互余关系是解题的关键． 【详解】证明：，， ， 平分， ， ， 又， ， ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知△ABC．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______． 【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）推理填空：如图，已知，作的平分线，将直角尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点，猜想是等腰三角形． 证明：平分（已知） （①__________） ， ②__________（③__________） ④__________⑤__________（⑥__________） （⑦__________） 是等腰三角形． 【答案】①角平分线的定义；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤；⑥等量代换；⑦等角对等边 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，涉及了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，按照推理过程即可求证； 【详解】证明：平分（已知） （角平分线的定义） ∵DN∥EM， （两直线平行，内错角相等） （等量代换） （等角对等边） 是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在△ABC中，，点在边上，点在边上，且，将△ADE沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：△BDF是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质,平行线的性质和等边三角形的判定，掌握翻折变换的性质是解题关键．利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出即可得出答案； 【详解】证明：，， ， 将△ADE沿折叠，点的对应点为点， ， ， ， △BDF是等边三角形． 题型八　等腰三角形的判定与性质的综合 例题：（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，和都是直角三角形，直角顶点分别是和，点依次排列在直线上，． (1)证明：； (2)若于点，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，，再利用证明即可； （2）证明是等腰直角三角形．结合（1）可得与都是等腰直角三角形，且，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：， ，即． ， ． ， ． 和都是直角三角形，直角顶点分别是和， ， ． 在与中， ． （2）证明：， 是等腰直角三角形． 结合（1）可得与都是等腰直角三角形，且， ． ， ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，，和是△ABC内的两点，平分，，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在△ABC中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是________． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵等边△ABC， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 3．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：， ∴， ∵对角线平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴． 题型九　尺规作图 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，为△ABC的边上的中线，过点作的垂线，垂足为点． (1)仅用圆规在线段上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若的面积为的面积为20，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)6 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，平行线的的判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过C作的垂线即可； （2）证明，，，进而得出，利用三角形中线的性质可得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求， 由作图可知：， 又， ∴； （2）解：连接， ∵为△ABC的边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDF中， ，∴， ∴，， ∴， ∵的面积为的面积为20， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知， ∴， ∴， 依据是，故选：A． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知：线段和；求作：△ABC，使得，，．（要求：尺规作图，不写做法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查基本尺规作三角形，根据尺规作一个角等于已知角和尺规作线段的步骤画图即可． 【详解】解：如图，△ABC即为所求作： 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在△ABC中，作边的垂直平分线，与，分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线；根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：边的垂直平分线如图所示． 题型十　互逆命题与互逆定理 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 巩固训练 1．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．如果两个数相等，那么它们的平方相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题逆命题的真假，熟知三角形内角和定理，对顶角性质，两直线位置关系等知识是解题的关键．先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意； B、原命题的逆命题为：两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：若两直线有交点，则两直线垂直，是假命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个数的平方相等，那么它们相等，是假命题，不符合题意； 故选A． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题， 则原定理没有逆定理，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是________． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【分析】本题考查写原命题的逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 题型十一　线段垂直平分线 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则△BCP周长的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，角所对直角边是斜边的一半，连接，由垂直平分线的性质得，当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为，故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选A． 题型十二　角平分线 例题：（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在△ABC内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．△ABC三条高所在直线的交点处 B．△ABC三条边的垂直平分线的交点处 C．△ABC三个角的角平分线的交点处 D．△ABC三条中线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有_______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的证明，灵活运用所学知识是关键．根据角平分线的性质即可判断①；根据角平分线的判定即可判断②；根据条件证明即可判断③；根据条件证明即可判断④． 【详解】∵， ∴是的平分线，故①正确； ∵， ∴是的平分线，故②正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故④正确； 故答案为：①②③④． 3．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，△ABC中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$