第二章 一元二次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第二章 一元二次方程 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；根据题意化为一般形式，进而即可求解． 【详解】解： 即 ∴一次项系数是 故选：C． 2．下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程； ②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程； ③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程； ④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程； ⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程． 综上，只有③是一元二次方程． 故选：A． 3．代数式的值一定（    ） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不小于1 【答案】D 【分析】将代数式配方后即可得到答案. 【详解】， ∵， ∴， 即代数式的值一定不小于1， 故选：D. 【点睛】此题考查代数式的配方，平方的非负性，正确计算是解题的关键. 4．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 5．某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了18个人， 故选B． 6．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解此题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 8．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．投入教育经费的年平均增长百分率为，根据年投入教育经费万元，到年底三年累计投入亿元，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意得， ， 故选：D． 9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为， 根据题意得：， 故选：A． 10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如，若已知，则的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，分别计算即可． 【详解】解：当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得， 综上，的值为或， 故选D． 【点睛】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键． 二、填空题 11．一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是 ． 【答案】x1＝2，x2＝0 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：∵3x2﹣6x＝0， ∴3x（x﹣2）＝0， ∴3x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝2，x2＝0， 故答案为：x1＝2，x2＝0． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】m≤且m≠0 【分析】根据判别式即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（2m-1）x+m-=0有实数根， ∴m≠0且△=（2m-1）2-4m（m-）=-2m+1≥0， 则m的范围为m≤且m≠0． 故答案为：m≤且m≠0． 【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 13．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为： 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛， 由题意得：， 故选：． 14．若，那么 ． 【答案】或1 【分析】本题考查解一元二次方程，令，求出的值后再检验． 【详解】解：， ， 令 ， 或， 或， 解得或， 经检验，或都是原方程的解， 故答案为：或1． 15．对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，分别根据一元二次方程的解，根的判别式判断即可． 【详解】解：①若方程有一根，则，即，故①正确； ②若，则可知方程有一个根为， 则，故②正确； ③若方程的两个根是， 所以方程的两个根为，，故③正确； ④若c是方程的一个根， 则， 当时，则一定有成立，故④错误． 综上分析可知：其中正确的是①②③，共3个． 故答案为：3． 三、解答题 16．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3）解： ，， ∴，； （4）解： ∴，． 17．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中a是方程的一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了实数的混合运算、分式的化简求值、解一元二次方程． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简和加法进行计算即可； （2）先利用分式的运算法则化简分式得到最简结果，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件得到字母的值，代入化简结果计算即可． 【详解】（1） （2） ∵ ∴， ∴或 ∴， ∵是分式无意义， ∴， ∴原式 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边和恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， ， ， 无论为何值，， ，即， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， ， ， ， 或， 又时，，不合题意舍去， ． 19．随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 【答案】(1)该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 (2)10月份的销量不能达到5.5万盒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为，根据“某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒”列出一元二次方程，计算即可得解； （2）先求出10月份的销量，再与万盒比较即可得解． 【详解】（1）解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为； （2）解：（万盒）， ∵， ∴10月份的销量不能达到5.5万盒． 20．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】(1) (2)此时花圃的长为9米，宽为5米 (3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式： （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； （3）解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 21．如图，在矩形中，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)请直接写出当P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是以为腰的等腰三角形（结果可保留根号）． 【答案】(1)2秒 (2)秒4秒 (3)秒或秒或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，勾股定理，等腰三角形的定义： （1）分别求出，，再求出，则可利用梯形面积计算公式建立方程求解； （2）设P，Q两点从出发经过x秒时，点P，Q间的距离是，如图所示，过点Q作于E，则四边形是矩形，则，求出，由勾股定理，得，据此建立方程求解即可； （3）分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设P，Q两点从出发开始到t秒时，四边形的面积为， 由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴P，Q两点从出发开始到2秒时，四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过x秒时，点P，Q间的距离是，      如图所示，过点Q作于E，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得或 ∴P，Q两点从出发经过秒4秒时，点P，Q间的距离是，． （3）解：过点P作于M，于N，设运动时间为y秒，    则 ①当时，则． ∴． ∴； ②当时，在中，由勾股定理得： ∴， 整理，得， 解得或； 综上所述，当P，Q两点从出发开始到秒或秒或时，点P，Q，D组成的三角形是以为腰的等腰三角形． 22．综合与实践 阿强对于直播行业兴趣浓厚，于是投身进直播行业销售一款金甲战士玩具，进价为元/个．大数据表明，当每个金甲战士玩具的售价定为元时，一周可售出个．在此基础上，每个玩具的售价每上涨元，每周的销售量减少个；每降价元，每周的销售量可增加个． (1)若每个金甲战士玩具的售价降低元，则一周能售出_____个，每个玩具可获利_____元． (2)儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，提升产品知名度，决定降价销售，预计周获利元，求玩具的售价． (3)大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为元的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得元的周利润？若能，求涨多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当售价定为元时，可获得元的利润 (3)不能获得元的周利润，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据每降价元，每周的销售量可增加个，可求出每周的销量，根据利润售价进价，可求出每个玩具的利润； （2）设每个玩具的售价为元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程即可求解； （3）设涨价元，根据每周的利润每个玩具的利润销量，列方程，结合根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：每降价元，每周的销售量可增加个， 每个金甲战士玩具的售价降低元，每周得销量增加了个， 每个金甲战士玩具的售价降低元，则一周能售出个， 进价为元/个，原来每个金甲战士玩具的售价定为元， 现在每个玩具可获利：元，即元， 故答案为：，； （2）设每个玩具的售价为元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 为吸引客流，尽可能多地提高销量， ， 当售价定为元时，可获得元的利润； （3）设涨价元， 根据题意可得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 涨价后不能获得元的周利润． 23．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③； (2)①证明见解析；②存在，的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图像上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论； ②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，不是完全平方数， 不是“完美方程”； ②， ，不是完全平方式， 不是“完美方程”； ③， ，是完全平方式， 是“完美方程”； 故答案为：③； （2）解：①证明： ，且是完全平方数， 此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ， ， 或， 或， 设方程的两个实数根分别为、， ，， 始终在函数的图像上， ， ， 即存在实数，使得始终在函数的图像上，的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数是3，则一次项的系数是（    ） A． B．2 C． D．4 2．下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．代数式的值一定（    ） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不小于1 4．《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 6．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2022 B．2019 C．2020 D．2021 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如，若已知，则的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 二、填空题 11．一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是 ． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 13．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为： 14．若，那么 ． 15．对于一元二次方程，下列说法： 若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有 个．（填个数） 三、解答题 16．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 17．计算 (1) (2)先化简，再求值：，其中a是方程的一个根． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边和恰好是这个方程的两个根，求的值． 19．随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒． (1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率； (2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明． 20．如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 21．如图，在矩形中，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动． (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？ (3)请直接写出当P，Q两点从出发开始到几秒时，点P，Q，D组成的三角形是以为腰的等腰三角形（结果可保留根号）． 22．综合与实践 阿强对于直播行业兴趣浓厚，于是投身进直播行业销售一款金甲战士玩具，进价为元/个．大数据表明，当每个金甲战士玩具的售价定为元时，一周可售出个．在此基础上，每个玩具的售价每上涨元，每周的销售量减少个；每降价元，每周的销售量可增加个． (1)若每个金甲战士玩具的售价降低元，则一周能售出_____个，每个玩具可获利_____元． (2)儿童节大促来袭，为吸引客流，尽可能多地提高销量，提升产品知名度，决定降价销售，预计周获利元，求玩具的售价． (3)大促结束后，根据直播平台的规则，需在售价为元的基础上涨价，问涨价后是否仍能获得元的周利润？若能，求涨多少元；若不能，请说明理由． 23．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（式），则此方程叫“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程 ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图像上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$