26.3 解直角三角形（3大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十六章 解直角三角形 26.3 解直角三角形（3大题型提分练） 题型一 解直角三角形的相关计算 1．（2024·江苏无锡·一模）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，则高为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，是的高，若，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知在中，，，，那么的长是 ． 6．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知：如图，中，，，，则 ． 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 8．（2024·河北张家口·一模）如图1，五边形ABCDE中，BC=CD=DE=6，∠C=∠D=120°．小明针对图形特点，对这个图形进行了补充和研究： （1）分别延长BC，ED相交于点F，得到图2，则∠F= ； （2）再连接AC，AD，得到图3，若S△ABC=10，S△ADE=12，则S△ACD= ． 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 题型二 解非直角三角形 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在△ABC中，，，，则 ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知锐角中，，，则的长为 ． 7．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度 m．（取值1.732，结果精确到0.1米） 9．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，求的长． 10．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口处测得大厦底部点的俯角为，大厦顶部点的仰角为，和是方程的两根．嘉琪量得两幢楼之间的距离为． （1）求出、的度数； （2）求出大厦的高度．（结果保留根号） 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 3．（23-24九年级上·山西·期中）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 4．（2024重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 ．    8．（2024·湖北·模拟预测）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 10．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 4．（2024九年级·广西南宁·学业考试）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为（    ）．（参考数据：，，） A． B． C． D． 5．（2024九年级·山东济宁·学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,点P从点D出发，沿DC,CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与AD, AP所围成的图形的面积为y, y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 7．（23-24九年级·全国·课后作业）在中，边上的高，则 ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的面积为 ．（结果保留根号） 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 10．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的长． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中， ，，，求、的长． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 15．（23-24七年级上·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 解直角三角形 26.3 解直角三角形（3大题型提分练） 题型一 解直角三角形的相关计算 1．（2024·江苏无锡·一模）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．根据锐角三角函数关系得出设，，根据勾股定理可计算出，进而然后根据余弦的定义得出答案． 【详解】解：，， ， 设，， 故， 则． 故选：D 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义．利用正弦函数求得的长度即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形，，为边上的高， ∴在中，， ∴． 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，是的高，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，根据求出的长度，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 4．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作于点E，设正六边形的边长为a，分别计算出和即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点E， 设正六边形的边长为a， 则， 在直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知在中，，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】根据余弦值的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键在于利用余弦的定义求解． 6．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知：如图，中，，，，则 ． 【答案】24 【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在Rt△ACD中，由AC与sinC的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在Rt△ABD中，由AD与sinB的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长． 【详解】作AD⊥BC于D点，如图所示， 在Rt△ADC中，AC=10，sinC=， ∴AD=ACsinC=10×=8， 在Rt△ABD中，sinB=，AD=8， 则AB==24． 【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线AD构建直角三角形、熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 7．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理．利用三角函数求出的长，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．（2024·河北张家口·一模）如图1，五边形ABCDE中，BC=CD=DE=6，∠C=∠D=120°．小明针对图形特点，对这个图形进行了补充和研究： （1）分别延长BC，ED相交于点F，得到图2，则∠F= ； （2）再连接AC，AD，得到图3，若S△ABC=10，S△ADE=12，则S△ACD= ． 【答案】 60 【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质即可得解； （2）连接AF，利用等底同高的两个三角形面积相等，以及等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）由∠BCD=∠CDE=120°得，△CDF为等边三角形， 则∠F=60°； 故答案为：60； （2）连接AF，过点D作DG⊥CF于点G， 则S△ACF=S△ABC=10，S△ADF=S△ADE=12， ∵△CDF为等边三角形，且CF=DF=6， DG=6×sin60°=3， 则S△CDF=×6×3=9， 则S△ACD=10+12−9=13． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形的条件，在直角三角形的三条边和两个锐角这五个元素中，若已知关于这些元素的两个独立条件，其中至少有一个条件是边，则此直角三角形可解． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 10．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）在中，根据，可得，再由勾股定理可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 题型二 解非直角三角形 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可得出，，从而得出即可． 【详解】解：， 在中，， 在中，， ，， ， ， ， 故选：B．    【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在△ABC中，，，，则 ． 【答案】或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知锐角中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，设，根据正切值可得，勾股定理求得的值，进而求得的长． 【详解】如图，过点作于点， 设， ，, ， 故答案为： 【点睛】本题考查了解非直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 7．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度 m．（取值1.732，结果精确到0.1米） 【答案】3.5 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴（m）． 故答案为：3.5. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC＝BC，需要熟练掌握三角形函数定义，此题难度不大． 9．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出，在中，得出，根据，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 10．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口处测得大厦底部点的俯角为，大厦顶部点的仰角为，和是方程的两根．嘉琪量得两幢楼之间的距离为． （1）求出、的度数； （2）求出大厦的高度．（结果保留根号） 【答案】（1），；（2）大厦的高度BD为（20+20）米． 【分析】（1）利用公式法解出方程的两根，即可求出、的度数； （2）易得四边形AEDC是矩形，即可求得AC的长，然后分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用三角函数的知识求得BC与CD的长，继而求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， （2）如图，∵AC⊥BD， ∴BD⊥DE，AE⊥DE， ∴四边形AEDC是矩， ∴AC=DE=20米， ∵在Rt△ABC中，=45°， ∴BC=AC=20米， 在Rt△ACD中，tan30°=， ∴CD=AC•tan30°=20×=20（米）， ∴BD=BC+CD=20+20（米）； ∴大厦的高度BD为（20+20）米． 【点睛】此题考查了仰角与俯角的定义．注意能借助仰角与仰角构造直角三角形并解直角三角形是关键． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山西·期中）利用计算机可以辅助数学学习，如图是小明利用几何画板软件，绘制的他家（点）到两个景点，的示意图，景点位于他家的东南（即南偏东）方向，景点位于他家的正南方向，并测得，，则景点位于景点的（    ） A．南偏东方向 B．北偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】B 【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45º利用三角函数求BD=AD=cos∠DAB•AB，然后求出CD，再利用三角函数求出∠C=30º，景点B在景点C的方向就知道了 【详解】过B作BD⊥AC于D， 在Rt△ADB中，，∠DAB=45º， ∴BD=AD=cos∠DAB•AB=， ∵， ∴CD=AC-AD=km， 在Rt△CDB中， ∵BD=1km，CD=km， ∴tan∠C=， ∵tan30º=， ∴∠C=30º， 景点B在景点C北偏东30º方向， 故选择：B． 【点睛】本题考查利用解直角三角形确定方位角问题，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解题关键． 4．（2024重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 5．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是 ． 【答案】60°或120°/120°或60° 【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论． 【详解】解：当∠A是锐角时， 如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在中，sinA＝＝＝， ∴∠A＝60°． 当∠A是钝角时， 如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D， ∵AC＝5，△ABC的面积为5， ∴BD＝5×2÷5＝2， 在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝， ∴∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°． 故答案为60°或120°． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线． 6．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 ．    【答案】． 【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长. 【详解】解：∵， ∴. 在中，，， ∴， ∴ 在中，，， ∴ ∵平分， ∴. 在中，，， ∴ ∴    【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质. 8．（2024·湖北·模拟预测）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是 （，结果保留整数） 【答案】20 【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点， 由题意得：，， ， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 即这架无人机的飞行高度大约是， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 【答案】10.5 【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3． ∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形． 10．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，，则的长是（  ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解直角三角形，根据三角函数的定义求出，然后利用勾股定理即可求解．掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，， 则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 3．（2024·陕西西安·三模）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为　　 A． +1 B．2 C． D．- 【答案】B 【分析】作于，作于，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在直角三角形中表示出，进而根据列出方程求得，进而求得结果． 【详解】如图， 作于，作于， 在Rt中，， 在Rt中，，， ， 在Rt中，设， 在Rt中，， ， 由得， ， ， ， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 4．（2024九年级·广西南宁·学业考试）如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为（    ）．（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可． 【详解】解：作AE⊥BC于E， 则四边形ADCE为矩形， ∴EC=AD=62， 在Rt△AEC中，， 则， 在Rt△AEB中，∠BAE=45°， ∴BE=AE=200， ∴BC=200+62=262（m）， 则该建筑的高度BC为262m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2024九年级·山东济宁·学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3,点P从点D出发，沿DC,CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与AD, AP所围成的图形的面积为y, y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=3，AB=CD=5 当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×DP×ADsin60°=×3×sin60°=×3×x＝x，为正比例函数； 当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为：×(AD+CP)×ABsin60°=×（3+x−5）× 5× ＝，为一次函数． 由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡． 故选：A． 【点睛】此题主要考查动点的函数问题，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及三角函数的运用． 6．（23-24九年级上·上海松江·期中）在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 7．（23-24九年级·全国·课后作业）在中，边上的高，则 ． 【答案】 【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵AD⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形面积公式，过点作，交的延长线于点，则，解直角三角形得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 10．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里) ∴AC=BC=ABsin45°=10(海里) 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 (海里) 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查解直角三角形，利用互余关系求，特殊角的三角函数值求出的值． 【详解】解：在中，，，， ∴，． 12．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，在中，，，，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长． 【详解】过点作于． 在中， ，， ， 在中，， ． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中， ，，，求、的长． 【答案】 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 15．（23-24七年级上·重庆铜梁·期末）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$