第十二章 全等三角形（单元重点综合测试） -2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第十二章 全等三角形 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据下列条件，能判定的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，，的周长等于的周长 2．不能推出两个三角形全等的条件是（   ） A．有两边和夹角对应相等 B．有两角和夹边对应相等 C．有两角和一边对应相等 D．有两边和一角对应相等 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的个数是（      ） ①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形三条高都在三角形内部 ③周长相等的两个三角形全等 ④全等三角形面积相等 ⑤三角形中最小的内角不能大于 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，所以．在这个过程中，得到的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图1是玩具拼图模板的一部分，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和完全重合的是（　　） A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙 7．如图，在中，，，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，交于点，交于点，交于点，，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，在等边中，，点在上，且，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在边上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 10．如图，为的外角，为内部一点，连接为上一点，连接，，于点，过点作于点，．若，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．4 D．5 二、填空题 11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（选填、、、） 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    13．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 14．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ．    15．如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 三、解答题 16．尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 17．综合与探究：在中，，是的角平分线． (1)探究与发现：如图①，于点， ①若，，则______________，______________； ②若，，则______________； ③试探究与、的数量关系，并说明理由． (2)判断与思考：如图②，是上一点，于，这时与、有怎样的数量关系? (3)判断与思考：如图③，是线段延长线上一点，于，这时与、又有怎样的数量关系，请说明理由． 18．已知：如图，，求证：． 19．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 20．，，的平分线，相交于点E． (1)如图1，______； (2)如图2，过点E作直线，，的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：； (3)如图3，过点E的直线与，分别相交于点B，C（B，C在的同侧）求证：E为线段的中点； 21．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 22．在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设． (1)如图1，如果___________度； (2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由． (3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线） 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据下列条件，能判定的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，，的周长等于的周长 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． 【详解】解：A、满足，不能判定全等； B、对应边不相等，不能判定全等； C、对应边不相等，不能判定全等； D、符合，能判定全等． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度适中． 2．不能推出两个三角形全等的条件是（   ） A．有两边和夹角对应相等 B．有两角和夹边对应相等 C．有两角和一边对应相等 D．有两边和一角对应相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得． 【详解】解：A、有两边和夹角对应相等，能推出两个三角形全等，则此项不符合题意； B、有两角和夹边对应相等，能推出两个三角形全等，则此项不符合题意； C、有两角和一边对应相等，能推出两个三角形全等，则此项不符合题意； D、有两边和一角对应相等，不能推出两个三角形全等，则此项符合题意； 故选：D． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的个数是（      ） ①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形三条高都在三角形内部 ③周长相等的两个三角形全等 ④全等三角形面积相等 ⑤三角形中最小的内角不能大于 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形有关的线段和内角，全等三角形的判定与性质，根据相关知识点逐个判断即可． 【详解】①三角形的三条角平分线只在三角形的内部，说法错误； ②钝角三角形的高可能在三角形外部，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误； ④全等三角形面积相等，说法正确； ⑤三角形中最小的内角不能大于，说法正确； ∴正确的有④⑤共2个， 故选：B． 5．如图，在，上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点C，作射线，就是的角平分线．这是因为连结，，可得到，所以．在这个过程中，得到的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，由作图可知，，，，由证明三角形全等即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，，， 在和， ， ∴， ∴， ∴得到的条件是， 故选：D． 6．如图1是玩具拼图模板的一部分，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和完全重合的是（　　） A．甲和丙 B．丙和乙 C．只有甲 D．只有丙 【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：利用即可判定甲三角形与全等，所以甲三角形能和完全重合； 中的角为a和c的夹角，而乙三角形为c的邻角，所以乙三角形与不全等，即乙三角形不能和完全重合； 利用即可判定丙三角形与全等，所以丙三角形能和完全重合． 故选A． 7．如图，在中，，，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出是解题的关键． 首先由三角形内角和定理得到，然后证明出，得到，然后等量代换得到，进而代入求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 8．如图，交于点，交于点，交于点，，，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用证明，即可得，可判定；①没有条件可以证明，即可判断②；结合①和已知条件即可得，无条件能证明即可判断③；根据，可得，判断④． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ． 故①正确； 在和中， ， ， ， 故④正确； ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ②正确； 根据条件得不出，，， 与无法证明全等，故③错误； 综上①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 9．如图，在等边中，，点在上，且，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在边上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，假设点在线段上，根据等边三角形的性质，旋转的性质可得，可证，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，假设点在线段上，    ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，为的外角，为内部一点，连接为上一点，连接，，于点，过点作于点，．若，则线段的长为（    ） A．6 B．8 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意可证，得再证，得，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 二、填空题 11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（选填、、、） 【答案】 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角的步骤和全等三角形的判定方法，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题关键．根据作图痕迹得出，，即可利用证明，根据全等三角形的性质得出，即可得答案． 【详解】解：根据作法可知，，， ∴， ∴， ∴画出的依据是， 故答案为： 12．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，过点和分别作于，于，证明，由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：过点和分别作于，于， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于 ．    【答案】25 【分析】延长交于，由证明，得出，得出，，即可得出答案． 【详解】解：延长交于，如下图，    ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，证明三角形全等得出是解题的关键． 15．如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】①由条件证明，就可以得到； ②由①可以得出，进而得出结论； ③由条件知，由，就可以得出结论； ④根据三角形两边之和大于第三边，即可解答． 【详解】解：①， ，即． 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ③，， ， ． ，故③正确； ④在中，根据两边之和大于第三边，可得， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 三、解答题 16．尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-作一个角等于已知角，作角平分线及角平分线的性质定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可； （2）根据角平根线的性质，作的角平分线交直线l于点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，作的角平分线交直线l于点P，过点P作，垂足分别为， ，即点P到射线和的距离相等． 17．综合与探究：在中，，是的角平分线． (1)探究与发现：如图①，于点， ①若，，则______________，______________； ②若，，则______________； ③试探究与、的数量关系，并说明理由． (2)判断与思考：如图②，是上一点，于，这时与、有怎样的数量关系? (3)判断与思考：如图③，是线段延长线上一点，于，这时与、又有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)①，；②；③，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）①在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出结论；②同理，可求出及的度数，再将其代入中，即可求出结论；③  在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合角平分线的定义，可得出 在中，利用三角形内角和定理，可得出，再结合，即可得出； （2）由角平分线求得，由三角形的外角求得，再由三角形的内角和即可求得； (3)利用角平分线性质和三角形的外角的性质求出，再利用三角形的内角和即可得解． 【详解】（1）探究与发现： ①在中，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ③解：，理由如下： ， 平分， ∴， ∴ （2）平分， ， 为的外角， ， ， ， ， （3）.理由如下： 平分， 为的外角， ， ， ， 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据三角形内角和定理求出是解题的关键． 18．已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质；由三角形的外角性质和已知条件得出，由证明，得出对应边相等即可． 【详解】证明：∵ 在和中 ， 19．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据图形，找准等量关系，证明出全等三角形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求得； （2）首先根据垂直的定义及角平分线的定义可证得，，再根据定理，即可证得结论； （3）首先根据全等三角形的性质及角平分线的定义，即可证得，再根据定理，可证得，，据此即可证得结论． 【详解】（1）解：中，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵平分， ， 在和中， ， ∴； （3）证明：∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．，，的平分线，相交于点E． (1)如图1，______； (2)如图2，过点E作直线，，的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：； (3)如图3，过点E的直线与，分别相交于点B，C（B，C在的同侧）求证：E为线段的中点； 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据平分，平分，可得，，再根据，有，即有，问题随之得解； （2）先证明，即有，同理可证：，则问题得解； （3）在上取一点M，使得，连接，先证明，即有，，在（1）中已证明，即有，，即可得，再证明，即有，问题得解． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，平分， ，， ， ， ， 同理可证：， ； （3）证明：在上取一点，使得，连接，如图， 平分，平分， ，， ，， ， ，， 在（1）中已证明， ， ， ， ，， ， ， ， 为线段的中点． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 【答案】(1)4； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）根据线段中点定义可求，用的长度减去的长度可求； （2）根据运动时间和速度可判断出，，然后根据证明即可； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动， ∴， 又， ∴， 故答案为：4；； （2）解： 理由：∵点、的运动速度相等，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：∵点、的运动速度不相等， ∴． 又和全等，， ∴，， ∴，， 解得：，． 22．在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设． (1)如图1，如果___________度； (2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由． (3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线） 【答案】(1)； (2)； (3)图象见详解；； 【分析】（1）先证明（），则可得，根据，可知； （2）已知，则，则，根据则． （3）连接，作使得，，连接、：根据，，可得，证明，进而可得，则，由此可证明之间存在数量关系为； 【详解】（1）解：在与中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：已知， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． （3）解：连接，作使得，，连接、，可得下图： ∵， ， ∴； 在和中， ， ∴； ∴； ∴， ∴之间存在数量关系为． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$