第二章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第二章 实数 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．下列各式中，正确的是个数有(    ). ；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 7．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 8．已知，，则（  ） A． B． C． D． 9．如图，正方形其中两个顶点分别与和0对应（点B为一顶点），点A与对应．则点C在数轴上所对应的数为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．的平方根是   的算术平方根是    的平方根是 12．已知x，y 是实数，且，则 13．如图1，有两个大小不等的正方形，其中大正方形的而积为2，小正方形的面积为1，现沿图2中虚线方向将两个正方形切割为5个部分，并重新拼接，得到一个新的正方形如图3，则图3中正方形的边长为 ．    14．如图，图①中是第七届国际数学教育大会会徽图案、它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面积，则的值为 ．    15．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 三、解答题 16．计算 (1) (2) (3) 17．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 18．已知， (1)求的值 (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 19．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 20．如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 21．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分 ； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求的值； (3)已知，其中x是正整数，，则的值是 ． 22．（1）已知，求的平方根． （2）已知是的平方根，是的立方根，的小数部分是，求的算术平方根． 23．如图1，纸上有两个边长为1的小正方形组成的图形，我们可沿虚线把它剪开拼成一个正方形，易知拼成的正方形的面积是2，由算术平方根的意义可得，拼成的正方形的边长是．    (1)如图2所示，如果纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们也可沿虚线把它剪开拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的面积是________；边长是________； (2)如图3，以数轴上单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是________；点表示的数的相反数是________； (3)你能把如图4所示的由十个边长为1的小正方形组成的图形剪开并拼成一个正方形吗？若能，请画出示意图，并写出它的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数 （北师大2024新版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算结果错误； B、，故本选项的计算结果错误； C、与的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算结果错误； D、，故本选项的计算结果正确． 故选：D 2．在，，，，0，，，，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，立方根的求解，根据无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等进行判断即可． 【详解】解：，，，，127，0，为有理数， ，，为无理数，共有3个， 故选：B． 3．下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 4．已知下列各式：，，，，，其中不是最简二次根式的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，同时满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：（）被开方数不含分母；（）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：被开方数含有分母，不是最简二次根式； 被开方数可以化为分数，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的条件，是最简二次根式； 综上，不是最简二次根式的有个， 故选：． 5．已知，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和代数式的值，根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6．下列各式中，正确的是个数有(    ). ；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算．根据各个小题中的式子可以计算是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：①与2不是同类二次根式，不能合并，故错误； ②与不是同类二次根式，不能合并，故错误； ③，故正确； ④，故正确； 所以正确的有2个； 故选：B． 7．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 8．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 9．如图，正方形其中两个顶点分别与和0对应（点B为一顶点），点A与对应．则点C在数轴上所对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴与实数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：， ∵点A与对应， ∴点C在数轴上所对应的数为， 故选：D． 10．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 二、填空题 11．的平方根是   的算术平方根是    的平方根是 【答案】 ±3 2 【分析】先分别计算，再利用平方根、算术平方根的性质分别计算即可． 【详解】解：，它的平方根是±3， ，它的算术平方根是2， ，它的平方根是． 故答案为：±3，2，． 【点睛】本题考查二次根式的性质，求平方根、算术平方根．注意本题中是要经过计算后再求平方根或算术平方根． 12．已知x，y 是实数，且，则 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，直接利用二次根式有意义的条件分析即可得出答案，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：要使有意义， 则， 解得：， ∴ ∴， 故答案为：1． 13．如图1，有两个大小不等的正方形，其中大正方形的而积为2，小正方形的面积为1，现沿图2中虚线方向将两个正方形切割为5个部分，并重新拼接，得到一个新的正方形如图3，则图3中正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意得出图3中正方形的面积等于，进而即可求解． 【详解】解：根据题意：图3中正方形的面积等于， ∴图3中正方形的边长为， 故答案为：． 14．如图，图①中是第七届国际数学教育大会会徽图案、它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面积，则的值为 ．    【答案】// 【分析】先利用勾股定理得到规律，然后得出规律，再计算即可得到答案． 【详解】解：， ， …… ， 可得 ， ， ， …… ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用、算术平方根的运算等知识，得到是解题的关键． 15．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．将的三边长，，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，将的三边长，，代入得： ； 故答案为：． 三、解答题 16．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算小括号内的二次根式加减法，最后计算二次根式除法即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （3）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）整理后利用立方根的定义解方程即可； （2）移项后利用平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解： 解得：； （2） 或， 解得：或． 18．已知， (1)求的值 (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算： （1）先进行分母有理化得到，，再求出，，据此根据进行求解即可； （2）根据（1）所求得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，，且， ∴， ∴，， ∴ ． 19．是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【答案】(1)2， (2)①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：2，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 20．如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村正A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值为___________； (3)结合（1）（2）问，请求出下列代数式的最小值： ①的最小值； ②的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①25；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． （1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）①仿照（2）构造，设 则，同理求出的长即可得到答案；②将转换为，构造，设 则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所作： 根据两点之间线段最短可知，连接交于点C，点C即为所求； （2）解：如图所示，过点作，交延长线与点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：①如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ②如图所示，，过点作，交延长线与点，连接交于， 设 则， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 21．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分 ； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求的值； (3)已知，其中x是正整数，，则的值是 ． 【答案】(1)2 (2)0 (3)8 【分析】本题主要考查二次根式的加减及估算无理数的大小． （1）估算出的取值范围，进而可得出结论； （2）估算出的取值范围，然后求出，的值，再代入即可得出答案； （3）由（1）和已知条件可得出，的值，然后代入即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2． 故答案为：2． （2）解：， ， 的整数部分3， 的小数部分， ∴， ． （3）解：∵， ∴， ，其中是正整数，， ，， ． 22．（1）已知，求的平方根． （2）已知是的平方根，是的立方根，的小数部分是，求的算术平方根． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据非负性得出，得出的值，求出平方根，即可作答． （2）根据算术平方根的定义得到，由立方根的定义得到，联立方程组求得，的值；利用“夹逼法”求得，代入求值即可． 本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根以及实数的运算，属于基础题，熟记相关概念即可解题． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴的平方根为； （2）依题意得：． 解得． ． ． ． ． ． 23．如图1，纸上有两个边长为1的小正方形组成的图形，我们可沿虚线把它剪开拼成一个正方形，易知拼成的正方形的面积是2，由算术平方根的意义可得，拼成的正方形的边长是．    (1)如图2所示，如果纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们也可沿虚线把它剪开拼成一个大正方形，则拼成的大正方形的面积是________；边长是________； (2)如图3，以数轴上单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是________；点表示的数的相反数是________； (3)你能把如图4所示的由十个边长为1的小正方形组成的图形剪开并拼成一个正方形吗？若能，请画出示意图，并写出它的边长． 【答案】(1)5， (2)， (3)详见解析， 【分析】（1）由大正方形的面积等于5个小正方形的和，即可求解； （2）由勾股定理求出弧的半径长，即可得到答案； （3）按图形剪开可以拼成一个正方形，由大正方形的面积个小正方形面积的和，即可解决问题． 【详解】（1）解：小正方形的边长是1， 小正方形的面积． （1）大正方形的面积等于5个小正方形的和， 大正方形的面积， 大正方形的边长， 故答案为：5，； （2）由勾股定理得：弧的半径， 到原点的距离是， 表示的数是， 点表示的数的相反数是， 故答案为：，； （3）能拼成一个正方形，如图所示，    大正方形的面积， 大正方形的边长． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形的面积，实数与数轴，关键是把边长为1的10个小正方形组成的图形，剪开并拼成一个正方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$