3.2 一定是直角三角形吗（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制）

鲁教版八年级上册数学 第三章 勾股定理 2.一定是直角三角形吗 1 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题． （难点） 2 情境&导入 ∵在Rt△ABC, ∠C=90° ∴a2+b2=c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a b c A C B 问题：在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系？ 思考：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？ 若在△ABC, a2+b2=c2 则∠C=90°吗？ a b c A C B 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处. 情境&导入 勾股定理的初步认识 探索&交流 下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c 5、12、13 7、24、25 8、15、17 思考：1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，他们都是直角三角形吗？ 3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？ 5 探索&交流 得出结论 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 特别提醒 1.这是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说 “在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形. 2. a2+b2=c2 只是一种表现形式，满足a2=b2+c2 或b2=a2+c2 的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边. 探索&交流 1. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： （1）三个数都是正整数； （2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 勾股数有无数组. 特别提醒 一组勾股数中的各数都乘相同的倍数可以得到一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10 和9,12,15 也是勾股数，即如果a,b,c是一组勾股数，那么na，nb，nc（n为正整数）也是一组勾股数. 探索&交流 2．利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)“找”：找出三角形三边中的最长边． (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方. (3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 探索&交流 典例精析 例1.一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 图2 图1 9 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 探索&交流 探索&交流 典例精析 例2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3)一个三角形的三边a，b，c满足a:b:c＝3:4:5. 导引：紧扣直角三角形的定义和直角三角形的判定方法进行判断. 11 解：(1)在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝180°－25°－65°＝90°. 所以△ABC是直角三角形． (2)在△ABC中，因为AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2， 所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角． (3)设a=3x，则b=4x，c=5x． 因为(3x)2+(4x)2=25x2 = (5x)2 ，即a2+b2=c2 所以△ABC是直角三角形 . 探索&交流 探索&交流 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 随堂练习 练习&巩固 1.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A A 14 练习&巩固 2.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理. 15 练习&巩固 3.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知 AB ＝ 13，AD ＝ 12，AC ＝ 15，BD ＝ 5，求 CD 的长. A B D C 练习&巩固 解：因为AB ＝13，AD ＝12，BD ＝ 5， 所以 AD2＋BD2 ＝122 ＋52 ＝169 ＝132 ＝AB2. 所以△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝ 90°. 所以∠ADC ＝ 180°－∠ADB ＝ 90°. 所以△ACD 是直角三角形. 根据勾股定理， 得 CD2 ＝AC2－AD2 ＝ 152 －122 ＝ 81， 所以 CD ＝ 9. A B D C 课堂总结 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 18 $$